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高中数学 第一章综合素质检测 北师大版选修1-1

第一章综合素质检测 时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 1.设 a∈R,则“a>1”是“ <1”的( a ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A 1 1 [解析] a>1? <1, <1? / a>1,故选 A. a a 2.(2014·辽宁理,5)设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c,则下列命题中真命题是( A.p 或 q C.(?p)且(?q) [答案] A B.p 且 q D.p 或(?q) ) [解析] 取 a=c=(1,0),b=(0,1)知,a·b=0,b·c=0,但 a·c≠0,∴命题 p 为 假命题; ∵a∥b,b∥c,∴? λ ,μ ∈R,使 a=λ b,b=μ c, ∴a=λ μ c,∴a∥c,∴命题 q 是真命题. ∴p 或 q 为真命题. 3.有下列四个命题 ①“若 b=3,则 b =9”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 c≤1,则 x +2x+c=0 有实根”; ④“若 A∪B=A,则 A? B”的逆否命题. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 [答案] A [解析] “若 b=3,则 b =9”的逆命题:“若 b =9,则 b=3”,假; 1 2 2 2 2 ) B.2 D.4 “全等三角形的面积相等”的否命题是:“不全等的三角形,面积不相等”,假; 若 c≤1,则方程 x +2x+c=0 中,Δ =4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根; “若 A∪B=A,则 A? B”为假,故其逆否命题为假. 4.“若 a⊥α ,则 a 垂直于 α 内任一条直线”是( A.全称命题 C.不是命题 [答案] A [解析] 命题中含有全称量词,故为全称命题,且是真命题. 1 2 2 5.已知实数 a>1,命题 p:函数 y=log (x +2x+a)的定义域为 R,命题 q:x <1 是 x<a 2 的充分不必要条件,则( A.p 或 q 为真命题 C.?p 且 q 为真命题 [答案] A [解析] ∵a>1,∴Δ =4-4a<0,∴x +2x+a>0 恒成立,∴p 为真命题; 由 x <1 得-1<x<1,∴-1<x<1 时,x<a 成立,但 x<a 时,-1<x<1 不一定成立,∴q 为 真命题,从而 A 正确. 6.“B=60°”是“△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列”的( A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 在△ABC 中,若 B=60°,则 A+C=120°, ∴2B=A+C,则 A、B、C 成等差数列; 若三个内角 A、B、C 成等差,则 2B=A+C, 又 A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°. 7.“a=-1”是方程“a x +(a+2)y +2ax+a=0”表示圆的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 [答案] C [解析] 当 a=-1 时,方程为 x +y -2x-1=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 ) B.特称命题 D.假命题 ) B.p 且 q 为假命题 D.?p 或?q 为真命题 ) ) 2 即(x-1) +y =2 表示圆, 若 a x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆,则应满足 ?a =a+2≠0 ? ? ? a 2-4a3>0 ? 2 2 2 2 2 2 ,解得 a=-1,故选 C. 2 8.若集合 A={1,m },B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A ) [解析] 由“m=2”可知 A={1,4},B={2,4},所以可以推得 A∩B={4},反之,如果 “A∩B={4}”可以推得 m =4,解得 m=2 或-2,不能推得 m=2,所以“m=2”是“A∩B ={4}”的充分不必要条件. 9.下列命题中的真命题是( ) 2 π A.? x∈[0, ],sinx+cosx≥2 2 ?π ? B.? x∈? ,π ?,tanx>sinx ?2 ? C.? x∈R,x +x=-1 D.? x∈R,x +2x>4x-3 [答案] D π π [解析] ∵对任意 x∈R, 有 sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2, ∴A 假; ∵x∈( , π) 4 2 1 2 3 2 2 时,tanx<0,sinx>0,∴B 假;∵x +x+1=(x+ ) + >0,∴方程 x +x=-1 无解,∴C 2 4 假;∵x +2x-(4x-3)=x -2x+3=(x-1) +2≥2,∴对任意 x∈R,x +2x-(4x-3)>0 恒成立,故 D 真. 10.下列命题错误的是( 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 A.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题为“若方程 x +x-m=0 无 实根,则 m≤0” B.对于命题 p:“? x∈R,使得 x +x+1<0”,则?p:“? x∈R,均有 x +x+1≥0” C.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.“x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 [答案] C [解析] 若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题,或 p、q 一真一假,故选 C. 3 2 2 2 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) 11.命题“? x∈[-2,3],-1<x<3”的否定是________. [答案] ? x∈[-2,

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