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2006年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学试题及解答(WORD版)

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案 标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么球是表面积公式

P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) S ? 4? R

2

如果事件 A、B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V ?

4 3

?R

3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径

Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k

n?k

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A = ? x | x 2 (A) ? x | 2 ? x ? 3?
3

? 5 x ? 6 ? 0 ? , B ? ? x | 2 x ? 1 ? 3? ,

则集合 A ? B =
x ? 3?

(B) ? x | 2 ? x ? 3?

(C) ? x | 2 ?

(D) ? x | ? 1 ?

x ? 3?

2.复数 ? 1 ? 3i ? 的虚部为 (A)3 (B)-3 (C)2 (D)-2. 3.已知 f ( x ) ? ?
? 2 x ? 3, x ? 1 ? 2,     x ? 1 , 下面结论正确的是

(A)f(x)在 x=1 处连续

(B)f(1)=5
0

(C) lim f ( x ) ? 2
x?1


(D) lim f ( x ) ? 5
x?1

则 且 4.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 6 0 , m、 n为 异 面 直 线 , m ? ? , n ? ? , m、 n 所 成 的 角 为

(A) 3 0 (B) 6 0 (C) 9 0 (D) 1 2 0 5.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ( x ?
?
6 )

0

0

0

0

(B) y
)

? sin ( 2 x ?

?
6

)

(C) y ? co s( 4 x ?

?
3

(D) y ? co s( 2 x ? ? )
6
P A ? 2 P B , 则点

6.已知两定点 A ( ? 2, 0), B (1, 0 ), 如果动点 P 满足条件 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 (A) ? (B) 4 ? (C) 8 ? (A) P1 P2 ? P1 P3
???? ? ???? ?

(D) 9 ? 7.如图,已知正六边形 P1 P2 P3 P4 P5 P6 ,下列向量的数量积中最大的是 (B) P1 P2 ? P1 P4
???? ? ???? ?

(C) P1 P2 ? P1 P5

???? ?

???? ?

(D) P1 P2 ? P1 P6

???? ?

???? ?

8.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a 1、 b1 千克,生产乙产品每千 克需用原料 A 和原料 B 分别为 a 2、 b 2 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 d 1、 d 2 元。月初一次性购 进本月用原料 A、B 各 c1、 c 2 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最 大。在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克,月利润总额为z元,那么,用 于求使总利润 z ? d 1 x ? d 2 y 最大的数学模型中,约束条件为

第 1 页

? a 1 x ? a 2 y ? c1 , ? b x ? b2 y ? c 2 , (A) ? 1 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

? a 1 x ? b1 y ? c1 , ? (B) ? a 2 x ? b 2 y ? c 2 , ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?
2

? a 1 x ? a 2 y ? c1 , ? b x ? b2 y ? c 2 , (C) ? 1 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

? a 1 x ? a 2 y ? c1 , ? (D) ? b1 x ? b 2 y ? c 2 , ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

9.直线y=x-3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P、Q ,则梯形 APQB 的面积为 (A)48 (B)56 (C)64 (D)72. 10.已知球 O 半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,A、B 两点和 A、C 两点的球面距离都是 ? ,B、C 两点
4

的球面距离是 (A)
?
4

?
3

,则二面角 B ? O A ? C 的大小是
?
3

(B)

(C)

?
2

(D) 2 ?
3
2

11.设 a 、 b 、 c 分别为 ? ABC 的三内角 A、 B、 C 所对的边,则 a ? b ( b ? c ) 是 A =2 B 的 (A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件 12.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为 (A) 1 9
54

(B)

35 54

(C)

38 54

(D) 4 1
60

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。

13.在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC,M 是 AB 的中点,则 OM 与平 面 ABC 所成角的大小是______________(用反三角函数表示) 。 14.设离散型随机变量ξ 可能取的值为 1,2,3,4.P(ξ =k)=ak+b(k=1,2,3,4),又ξ 的数学期望 E ξ =3,则a+b=______________。 15.如图把椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的长轴 AB 分成 8 分,过每个分点作x轴的垂线

25

16

交椭圆的上半部分于 P1 , P2 ,?? P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则
P1 F ? P2 F ? ...... ? P7 F ? ____________.

16.非空集合 G 关于运算 ? 满足: 对任意的 a , b ? G , 都有 a ? b ? G , (2) (1) 存在 e ? G , 都有 a ? b ? b ? a ? a , 则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” 。现给出下列集合和运算: ①G={非负整数} ? 为整数的加法。 , ②G={偶数} ? 为整数的乘法。 , ③G={平面向量} ? 为平面向量的加法。 , ④G={二次三项式} ? 为多项式的加法。 , ⑤G={虚数} ? 为复数的乘法。 , 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是________。 (写出所有“融洽集”的序号)

三.解答题共 6 个小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)
第 2 页

已知 A、B、C 是 ? A B C 三内角,向量 m 且 m ? n ? 1. (Ⅰ)求角 A (Ⅱ)若
1 ? sin 2 B co s B ? sin B
2 2

? ( ? 1,

3 ), n ? (cos A , sin A ),

? ? 3, 求 t a n C 。

18. (本小题满分 12 分) 某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都“合 格”则该课程考核“合格” 。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9、0.8、0.7;在实验考 核中合格的概率分别为 0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数) 。

19. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、P 分别是 BC、 A 1 D 1 的中点, M、N 分别是 AE、 C D 1 的中点, A D = A 1 A 1 ? a , A b = 2 a , (Ⅰ)求证: M N // 平 面 A D D 1 A1 ; ; (Ⅱ)求二面角 P ? A E ? D 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P-DEN 的体积。

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? ,其中

a1 ? 1, a 2 ? 3, 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 , ( n ? 2 ) 记数列 ? a n ? 的
前 n 项和为 S n , 数列 ? ln S n ? 的前 n 项和为 U n . (Ⅰ)求 U n ; (Ⅱ)设 F n ( x ) ? 计算 lim n? ?
e
UN 2
n

x

2n

2 n ( n !)

, Tn ( x ) ?

?

F k ( x ), (其中 F k ( x ) 为 F k ( x ) 的导函数) ,

1

1

i ?1

Tn ( x ) Tn ?1 ( x )

21. (本小题满分 12 分)
??? ?

已知两定点 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 满足条件 P F 2 ? P F 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E,直线y=kx-1 与 曲 线 E 交 于 A 、 B 两 点 。 如 果 A B ? 6 3 , 且 曲 线 E 上 存 在 点 C , 使 O A ? O B? m O ,C求
m的 值 和 ? A B C 的 面 积 S 。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

第 3 页

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x ) ? x +
2

2 x

+ a ln x ( x ? 0 ), f(x)的导函数是 f ?(x ) 。对任意两个不相等的正数 x1、 x 2 ,证
x1 ? x 2 2

明: (Ⅰ)当 a ? 0 时,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f( );

(Ⅱ)当 a ? 4 时, f ? ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? x1 ? x 2 。

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)理科数学及参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分; 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D B A C A C 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分;把答案填在题中的横线上。 (13) arctan
2 ; (14)
1 10

11 A

12 B

; (15) 3 5 ; (16)①,③

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公 式,考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ? 1, 3 ? ? co s A , sin A ? ? 1 即 3 sin A ? co s A ? 1
? 3 1? ? ? 1 ? 2 ? sin A ? ? co s A ? ? ? 1 , sin ? A ? ? ? ? 6 ? 2 2 2? ? ? ?

?? ?

?

?

∵0 ? A ? ? ,? (Ⅱ)由题知

?

? A?

?

?

5?

∴A?

?
6

?

?
6

∴A ?
2

?
3
2

6 6 6 1 ? 2 sin B co s B co s B ? sin B
2 2
2

? ? 3 ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2 cos B ? 0

∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ? 1 而 tan B ? ? 1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去∴ tan B ? 2
2 2

? ? ? ∴ tan C ? tan ? ? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B ? ? ? ? ? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3 (18) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法,考察应用概率知识解决实际问 题的能力。满分 12 分。 解:记“甲理论考核合格”为事件 A1 ; “乙理论考核合格”为事件 A 2 ; “丙理论考核合格”为事件 A3 ;

tan A ? tan B

2?

3

8?5 3

记 Ai 为 Ai 的对立事件, i ? 1, 2, 3 ;记“甲实验考核合格”为事件 B1 ; “乙实验考核合格”为事件 B 2 ; “丙实验考核合格”为事件 B 3 ; (Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ,记 C 为 C 的对立事件 解法 1: P ? C ? ? P ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ?
? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P ? A1 A 2 A3 ?

?

?

?

?

?

?

? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7
第 4 页

? 0 .9 0 2

解法 2: P ? C ? ? 1 ? P ? C ? ? 1 ? P ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ?
? 1 ? ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 1 ? ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .9 ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .1 ? 0 .8 ? 0 .3 ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .7 ?
? 1 ? 0.098 ? 0 .9 0 2

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 (Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件 D
P ? D ? ? P ? ? A1 ? B1 ? ? ? A 2 ? B 2 ? ? ? A3 ? B 3 ? ? ? ?

? P ? A1 ? B1 ? ? P ? A 2 ? B 2 ? ? P ? A3 ? B 3 ? ? P ? A1 ? ? P ? B1 ? ? P ? A 2 ? ? P ? B 2 ? ? P ? A3 ? ? P ? B 3 ?
? 0.9 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.254016 ? 0 .2 5 4

所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 (19) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识,以及空间想象能力和推理 能力。满分 12 分 解法一: (Ⅰ)证明:取 C D 的中点 K ,连结 M K , N K ∵ M , N , K 分别为 A K , C D 1 , C D 的中点 ∵ M K // A D , N K // D D1 ∴ M K // 面 A D D 1 A1 , N K // 面 A D D 1 A1 ∴面 M N K // 面 A D D 1 A1 ∴ M N // 面 A D D 1 A1 (Ⅱ)设 F 为 A D 的中点 ∵ P 为 A1 D 1 的中点∴ P F // D1 D ∴ P F ? 面 A B C D 作 F H ? A E ,交 A E 于 H ,连结 P H ,则由三垂线定理得 A E ? P H 从而 ? P H F 为二面角 P ? A E ? D 的平面角。 在 R t ? A E F 中, A F ?
a 2 , EF ? 2a, AE ? 17 2
a

a

,从而 F H

?

AF ? EF AE

? 2a ? 17 2 a

? 2

2a 17

在 R t ? P F H 中, tan ? P F H ?

PF FH

?

D D1 FH

?
17 2

17 2

故:二面角 P ? A E ? D 的大小为 a rc ta n (Ⅲ) S ? N E P ?
1 2 S 矩 形 ECD P ?
1

1 4

B C ? C D1 ?

1 4

?a ?

a ? 4a
2

2

?

5 4

a

2

作 D Q ? C D 1 ,交 C D1 于 Q ,由 A1 D 1 ? 面 C D D 1C 1 得 A1C 1 ? D Q ∴ D Q ? 面 B C D 1 A1 ∴在 R t ? C D D1 中, D Q ? ∴V P ? DEN ? V D ? ENP ?
1 3
C D ? D D1 C D1 ? 2a ? a 5a ? 2 5 a

S ?NEP ? D Q ?

1

5

a ?
2

2 5

a ?

1 6

a

3

3 4

第 5 页

方法二:以 D 为原点, D A , D C , D D1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立直角坐标系,则
A ? a , 0, 0 ? , B ? a , 2 a , 0 ? , C ? 0, 2 a , 0 ? , A1 ? a , 0, a ? , D 1 ? 0, 0, a ?

∵ E , P , M , N 分别是 B C , A1 D1 , A E , C D 1 的中点 ∴E ?
?a a? ? ?a ? ? 3a ? ? , 2 a , 0 ? , P ? , 0, a ? , M ? , a , 0 ? , N ? 0, a , ? , 2? ?2 ? ?2 ? ? 4 ? ?

(Ⅰ) M N ? ? ?

???? ?

?

3

? 4 ? ? 取 n ? ? 0,1, 0 ? ,显然 n ? 面 A D D 1 A1 ???? ? ? ???? ? ? M N ? n ? 0 ,∴ M N ? n

a , 0,

a? ? 2?

又 M N ? 面 A D D 1 A1 ∴ M N // 面 A D D 1 A1 (Ⅱ)过 P 作 P H ? A E ,交 A E 于 H ,取 A D 的中点 F ,则 F ? 设 H ? x , y , 0 ? ,则 H P ? ? a ? x , ? y , a ? , H F ? ? a ? x , ? y , 0 ? ? ? ? ?
?2 ? ?2 ? ???? ????

?a

? , 0, 0 ? ∵ ?2 ?

??? ? ? a ? 又 AE ? ? ? , 2a, 0 ? ? 2 ?
? a2 a ??? ??? ? ? 由 A P ? A E ? 0 ,及 H 在直线 A E 上,可得: ? ? 4 ? 2 x ? 2 a y ? 0 ? ? ? 4 x ? y ? 4a

解得 x ?
????

33 34

a, y ?
,?

2 17

a

∴ HP ? ? ? ?
?

8a 17

???? ???? ∴ H P 与 H F 所夹的角等于二面角 P ? A E ? D 的大小 ???? ???? ???? ???? HP ? HF 2 co s H P , H F ? ???? ???? ? 21 HP ? HF

???? ??? ? ???? ??? ? 2a ? ???? ? 8 a ? , a ? , HF ? ? ? ,? , 0 ? ∴ HF ? AE ? 0 即 HF ? AE 17 17 ? ? 17 ?
2a

故:二面角 P ? A E ? D 的大小为 a rc c o s

2 21

21 ?? ???? ?? ???? ?? (Ⅲ)设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 D E N 的法向量,则 n1 ? D E , n1 ? D N

又 DE ? ?

????

a ? ???? ? a ? ???? ? ? , 2 a , 0 ? , D N ? ? 0, a , ? , D P ? ? , 0, a ? 2? ?2 ? ? ?2 ? ?a

?a x ? 2 a y1 ? 0 ?? ?2 1 ? x1 ? ? 4 y 1 ? ∴? 即? ∴可取 n1 ? ? z1 ? ? 2 y1 ? 2y ? a z ? 0 1 1 ? ? 2 ???? ?? D P ? n1 ? ∴ P 点到平面 D E N 的距离为 d ? ?? n1 ???? ???? ???? ???? DE ? DN 8 ∵ co s D E , D N ? ???? ???? ? , sin 85 DE ? DN

? 4, ? 1, 2 ?

2a ? 2a 16 ? 1 ? 4

?

4a 21

???? ???? DE, DN ?

21 85

第 6 页

∴ S ?DEN ? ∴V P ? DEN ?

???? ???? 1 ???? ???? D E ? D N ? sin D E , D N ? 2

21 8

a
3

2

1 3

S ?DEN ? d ?

1 3

?

21 8

a ?
2

4a 21

?

a

6

(20) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算的能力,同时考 查分类讨论的思想方法,满分 12 分。 解: (Ⅰ)由题意, ? a n ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 前 n 项和 S n ?
1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? 2
2 ? n ? n , ln S n ? ln n ? 2 ln n

2

U n ? 2 ? ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? ? 2 ln ? n !?

(Ⅱ) F n ? x ? ?

e

Un 2

2 n ? n !?

?x

2n

?

? n !?

2

2 n ? n !?

2

?x

2n

?

x

2n

Fn

'

?x? ?

x

2 n ?1

2n

Tn ? x ? ?

?

n

Fk

'

k ?1

? x? ??

n

x

2 k ?1

k ?1

? x ?1 ? x 2 n ? ? ? 0 ? x ? 1? 2 ? 1? x ? ?? n ? x ? 1? ? 2n ? x ?1 ? x ? ? x ? 1? 2 ? 1? x ?

? ? ? 2n 1? x ? lim ? 1 ? 0 ? x ? 1? ? n? ? 1 ? x 2n?2 ? Tn ? x ? n ? lim ? ? lim ? 1 ? x ? 1? n? ? T x ? ? n? ? n ? 1 n ?1 ? ? ? 1 ? ? 2n ? ? 1 ? x ? ? lim ? ? x ? 1? ? n? ? ? 1 ? 2 ? 2n ? ? x ? ? x ? ?

(21) (本大题满分 14 分) 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本 思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。 解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? ? 2 , 0 ? , F2 ? 2 , 0 ? 为焦点的双曲线的左支, 且c ?
2 , a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1 ? x ? 0 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 ? 1 ? k ? x ? 2 kx ? 2 ? 0

? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

又已知直线与双曲线左支交于两点 A , B ,有

第 7 页

2 ? 1? k ? 0 ? 2 2 ? ? ? ? 2 k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? 解得 ? ?2k ? x1 ? x 2 ? ?0 2 ? 1? k ? ?2 ? x1 x 2 ? ?0 2 ? 1? k ?

2 ? k ? ?1

又∵ A B ?
? 1? k ?
2

1 ? k ? x1 ? x 2 ?
2
2

1? k ?
2

? x1 ?
2

x 2 ? ? 4 x1 x 2
2
2

?2 ? ?2k ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 2 1? k ?1? k ?

?1 ? k ? ? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2

依题意得 2
5 7

?1 ? k ? ? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2

? 6 3

整理后得 2 8 k 4 ? 5 5 k 2 ? 2 5 ? 0

2 ∴k ?

2 或k ?

5 4

但 ? 2 ? k ? ?1 ∴ k ? ?
5

5 2

x ? y ?1? 0 2 ??? ??? ? ? ???? 设 C ? x c , y c ? ,由已知 O A ? O B ? m O C ,得 ? x1 , y1 ? ? ? x 2 , y 2 ? ? ? m x c , m y c ?

故直线 A B 的方程为

∴ ? m xc , m yc ? ? ?
?

? x1 ? x 2 m

,

y1 ? y 2 ? ? ,? m ? 0 ? m ?
2k
2 2

又 x1 ? x 2 ? ∴点 C ? ? 4
? ? ?

2k k ?1
2

? ? 4 5 , y 1 ? y 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?

k ?1

?2?

2 k ?1
2

?8

5

,

m

8 ? ? m ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

80 m
2

?

64 m
2

?1

得 m ? ? 4 ,但当 m ? ? 4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5 , 2
C 到 A B 的距离为
5 2 ? ? 5 ? 2 ?1 ? ? 5 ? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?
1 3

?

?

∴ ? A B C 的面积 S ?

1 2

?6 3?

1 3

?

3

(22) (本大题满分 14 分) 本小题主要考查导数的基本性质和应用,函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能 力,满分 14 分。 证明: (Ⅰ)由 f ? x ? ? x ?
2

2 x
2

? a ln x



f

? x1 ? ?
2

f

? x2 ?

?

1 2

?x

2 1

? x2

???

? 1 ? x1

?

1 ? a ? ? ? ln x1 ? ln x 2 ? x2 ? 2

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?

1 2

?x

2 1

? x2

2

??

x1 ? x 2 x1 x 2

? a ln
2

x1 x 2

x ? x2 4 ? x ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? f ? 1 ? a ln 1 ??? ? ? 2 2 x1 ? x 2 2 ? ? ? ?



1 2

?x

2 1

? x2
2

2

?

2 ? x ? x2 ? 2 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? ? ? 1 ? ? ? 4 2 ? ?

1

2



又 ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 ? x 2
2

2

? ? 2x x
1

2

? 4 x1 x 2

∴ ∵

x1 ? x 2 x1 x 2

?

4 x1 ? x 2
x1 ? x 2 2


x1 x 2 ? ln
x1 ? x 2 2

x1 x 2 ?

∴ ln

x1 ? x 2 2

∵ a ? 0 ∴ a ln 由①、②、③得
1 2

x1 x 2 ? a ln



?x
f

2 1

? x2

2

??
f

x1 ? x 2 x1 x 2

? a ln

4 ? x ? x2 ? x1 x 2 ? ? 1 ? a ln ? ? 2 x1 ? x 2 ? ?

2

x1 x 2



? x1 ? ?
2

? x2 ?

? x ? x2 ? ? f ? 1 ? 2 ? ?
2

(Ⅱ)证法一:由 f ? x ? ? x ?

2 x

? a ln x ,得 f

'

?x? ?

2x ?

2 x
2

?

a x

2 ? x1 ? x 2 ? a ? ? ? ? ∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x 2 ? ? ? 2 x1 ? 22 ? a ? ? ? 2 x 2 ? 2 2 ? a ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? ? 2 2
? x1 x1 ? ? x2 x2 ?

x1 x 2

x1 x 2

f

'

? x1 ? ?

f

'

? x2 ?

? x1 ? x 2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

a x1 x 2

?1

下面证明对任意两个不相等的正数 x1 , x 2 ,有 2 ? 即证 a ? x1 x 2 ? ∵ x1 x 2 ? 设t ?
'

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

a x1 x 2

? 1 恒成立

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2

成立
4 x1 x 2

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2

? x1 x 2 ?
2

x1 x 2 , u ? x ? ? t ?
3

4 t

?t

? 0 ? ,则 u

'

?x? ?

2t ?

4 t
2

令u ? x ? ? 0 得t ?
t
u
'

2 ,列表如下:

? 0,

3

2

?

3

2
0

?

3

2 , ??

?

?t ?

_
?

?
?

u ?t ?
u ?t ? ? 3 4 ?
3 3

极小值 3 3 4
? a
'

1 0 8 ? 4 ? a ∴ x1 x 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
'

∴对任意两个不相等的正数 x1 , x 2 ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2

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证法二:由 f ? x ? ? x ?
2

2 x

? a ln x ,得 f

'

?x? ?

2x ?

2 x
2

?

a x

2 ? x1 ? x 2 ? a ? ? ? ? ? ∴ f ' ? x 1 ? ? f ' ? x 2 ? ? ? 2 x 1 ? 2 ? a ? ? ? 2 x 2 ? 2 ? a ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? 2 2 2 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x1 ? ? x2 x2 ? ?

∵ x1 , x 2 是两个不相等的正数
2 x ? x2 ? a ∴2 ? ? 1 ? ? 2? 2 2 x1 x 2 x1 x 2 4

?
3

x1 x 2

?
2

3

?

a x1 x 2

? 2?

4

?

x1 x 2

?

3

?

4 x1 x 2

设t ?
'

1 x1 x 2

, u ? t ? ? 2 ? 4t ? 4t

?t

? 0?

则 u ? t ? ? 4 t ? 3 t ? 2 ? ,列表:
t
? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3
0

?2 ? ? , ?? ? ?3 ?
?

u

'

?t ?

_
?

u ?t ?

极小值

38 27

?

∴u ?

38 27

? 1即2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

a x1 x 2

?1
a x1 x 2
'

∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

? x1 ? x 2
'

即对任意两个不相等的正数 x1 , x 2 ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2

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