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广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题[来源:学优高考网532480]


翠园中学 2014-2015 高一上学期期末考试 数 学 (2015-02)

(考试时间:120 分钟,满分:150)

参考公式:柱体的体积公式: V=Sh 其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高
锥体的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 3

4 球的体积公式: V ? ? R3 . 其中 R 表示球的半径. 3 一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1、圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 的圆心和半径分别是 ( )
A. (?2,3) ,1 B. (2, ?3) ,3 C. (?2,3) , 2 D. (2, ?3) , 2

2、空间中,两条直线若没有交点,则这两条直线的位置关系是 A. 相交 B.平行 C. 异面 D.平行或异面 3、设集合 A ={ x | A.{ x | x ? ?1 } C. ?

1 ? 2 x ? 2 }, B ={ x | lg x ? 0 },则 A ∪ B =( 2
B.{ x | ? 1 ? x ? 1 } D.{ x | ? 1 ? x ? 1 或 x ? 1 }

)

4、圆 O1 : x 2+y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x 2+y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 A.外切 B.内切 5、在同一坐标系中,函数 y= 2 y y
?x

C.相交 与 y=log2 x 的图象是( y

D.相离 ). y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

6、点 B 是点 A(1,2,3) 在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于 A. 14 B. 13 C. 2 3 D. 11 ) 5 5 5 5 6 3 6 3

7、某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( A. 72? C. 30? B. 48? D. 24?

正视图

侧视图

俯视图 图1
1

8、已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图, 其中 B′O′=C′O′=1,A′O′=

3 ,那么原△ABC 是一个 ( 2



A.等边三角形 C.三边中有两边相等的等腰三角形

B.直角三角形 D.三边互不相等的三角形

9、关于直线 m, n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ;②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n ; 其中正确命题的序号是 A.①② B.③④ ( C.①④ ) D.②③

10、已知函数 f ( x) ? log4 x ,正实数 m 、 n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区 间[ m 5 , n ]上的最大值为 5 ,则 m 、 n 的值分别为( 1 1 2 A. 、2 B. 、4 C. 、 2 2 4 2 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11、函数 f ( x) ? lg( x ? 3) 的定义域为 ; ; ) 1 D. 、4 2

12、一个球的外切正方体的体积是 8,则这个球的表面积是

13、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是____; 14、 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??, 0] 上是增函数,且 f (?2) ? 0 ,则使得

x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的 x 的取值范围是_______。
三、解答题: (本大题共 6 小题.共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15、 (本题满分 12 分)已知直线 l1: 2x ? ay ? 1 ? 0 ,直线 l 2: 4x ? 6 y ? 7 ? 0 。 (1)若 l1 // l2 ,求 a 的值; (2)若 l1与l2相交, 交点纵坐标为正数 求 a 的范围; ,

2

16、 (本题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? 1 ?

1 . x

(0, ? ?) (1)用定义证明函数 f ( x) 在 上的单调性;
(2)求函数 f ( x) 在 x ? ? 2,6? 上的值域.

17、 (本题满分 14 分)如图,多面体 EF ? ABCD 中, ABCD 是以点 H 为中心的正方形,

EF // AB, EH ? 平面ABCD,BC ? 2,EF ? EH ? 1 。
(1)证明:平面 ADF ? 平面ABCD ; (2)求多面体 EF ? ABCD 的体积。
F E

D H A B

C

18、 (本题满分 14 分)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, P 为线段 AD 1 上的中点, Q 为线段 PC1 上的中点。 (1)求证: DP ? 平面ABC (2)求证: CQ // 平面BDP 。 1D 1;
D1 C1

A1

Q

B1

P

D

C

A

B

3

19、(本题满分 14 分)已知直线 l :

2ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 A 、 B 两点(其

中 a , b 为实数) ,点 Q(0, ) 是圆内的一定点。 (1)若 a ?

2 3

2 , b ? 1,求 ?AOB 的面积;

(2)若 ?AOB 为直角三角形( O 为坐标原点) ,求点 P(a, b) 与点 Q 之间距离最大时的直 线 l 方程; (3)若 ?AQB 为直角三角形,且 ?AQB ? 900 ,试求 AB 中点 M 的轨迹方程。

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2|x ?m| 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?2m ? 8 , 其中 m 为参数,且满足 m ? 5 。 (1)若 m ? 2 ,写出函数 g ( x) 的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f ( x) ? 2|m| 在 x ? [?2, ??) 上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1 ?[4, ??) ,存在 x2 ? (??, 4] ,使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,求实数 m 的取 值范围。

4

参考答案
一、选择题: 1. D 2. D 二、填空题: 11. (3,??) 三、解答题: 15、解(1)因为 l1 // l2 ,由 A1B2 ? A2 B1 ? 0 得 3.D 4.C. 12. 4 ? 5. A. 6.B 7.C 8.A 9.D. 14. (?2, 0) 10. B

13.

4 3

(2, ??)

2 ? 6 ? (?a) ? 4 ? 0 ,所以 a ? ?3 ;--------- 6 分

(2)联立方程组 ?

? 2 x ? ay ? 1 ? 0 9 ,解得 y ? 2a ? 6 ?4 x ? 6 y ? 7 ? 0

(a ? ?3) ------- 8 分

由已知得 2a ? 6 ? 0 , a ? ?3 --------- 11 分 即 a 的范围为 (?3,??) 。--------- 12 分

16. 解: (1)证明:任取 0 ? x1 ? x2 --------- 1 分

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ?
? 0 ? x1 ? x2

x ? x1 1 1 ? (1 ? ) ? 2 -------- 4 分 x1 x2 x1 x2
--------- 6 分

? x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x)在(0,??)上为减函数 . ------ 8 分

(0, ? ?) (2)由(1)知 f ( x ) 在 上为减函数,所以在 x ? ? 2,6? 上也为减函数。----10 分
f (2) ? 3 7 ?7 3? , f (6) ? ,所以函数 f ( x) 在 x ? ? 2,6? 上的值域是 ? , ? ---------12 分 2 6 ?6 2?

F

E

D H A B

C

5

17、(1)证明:取 AD 中点 G ,连 FG, GH , 由已知 GH //

1 1 AB , EF // AB ,--------- 2 分 2 2

所以 GH //EF ,所以四边形 ABCD 为平行四边形--------- 4 分 所以 FG // EH --------- 5 分 又 EH ? 平面ABCD ,所以 FG ? 平面ABCD --------- 6 分 又 FG ? 平面ADF , 所以平面 ADF ? 平面ABCD ----7 分;

(1) 过 H 作 MN // AD 分别 交 AB , CD 于 P , Q , 则多面体 ADF ? PQE 三棱柱--------- 8 分 由(1)可知 EF ? 平面ADF , 所以 V多面体 ? V三棱柱 ? V四棱锥 = 所以三棱柱为直三棱柱,---------9 分

1 1 5 ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 。-------- 14 分 2 3 3

18、证明(1)因为正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 平面AA 1D 1D ,-------2 分

DP ? 平面AA 1D 1D ,所以 DP ? AB ,------- 3 分
又 P 为 AD 1 的中点,所以 DP ? AD 1 ,------- 4 分

AB ? AD 1 ? A

,所以 DP ? 平面ABC 1D 1

--------- 6 分

(2)法一:延长 C1P 交 BA 于 M ,则 A 为 BM 的中点,
D1 C1

A1

Q

B1

P

D O M A N B

C

连 MC 交 BD 于 O ,连 PO ,因为 ?OBM

? ?OBM ,------- 8 分

MO 2 MP ? ? ,------- 10 分 OC 1 PQ
所以 OP // CQ ,------- 12 分
6

CQ ? 面BDP , OP ? 面BDP ,所以 CQ // 平面BDP 。------- 14 分
法二:连 BC1 , B1C 相交于 H,则 QH // PB ,又 CH // PD , QH ? CH ? H , 所以 平面QHC // 平面PBD ,所以 CQ // 平面BDP ------- 14 分

19 、解( 1 )由已知直线方程为 2 x ? y ? 1 ,圆心到直线的距离 d ?

1 , ------- 1 分 5

AB ? 2 1 ? d 2 ?
所以 S ?AOB ?

4 5 ,------- 2 分 5

1 2 AB ? d ? ;--------- 4 分 2 5

(2)因为 ?AOB 为直角三角形,所以 AB ?

2 ,------- 5 分

所以圆心到直线的距离为

1 2a ? b
2 2

?

1 2 2 2 ,即 2a ? b ? 2 ,------- 6 分 AB ? 2 2

2 ? b 2 ? 2a 2 ? 0 ,所以 ? 2 ? b ? 2 ,------- 7 分

2 1 2 4 13 1 4 5 PQ ? a 2 ? (b ? )2 = b ? b? = (b ? ) 2 ? ,------- 8 分 3 2 3 9 2 3 9

当 b ? ? 2 时可取最大值,此时 a ? 0 , 所以直线 l 方程为 2 y ? 1 ? 0 ;--------- 9 分

(2)设 M ( x, y) ,连 OB, OM , MQ ,则由“垂径定理”知:因为 M 是 AB 的中点,所以

OM ? AB ,所以 OM ? MB ? OB ------- 10 分
又在直角三角形 AQB 中, QM ? AM ? BM ? 所以 OM
2 2
2

2

2

2

1 AB ,------- 11 分 2

? QM
2

2

? OB ,------- 12 分

2

即 x ? y ? x ? ( y ? ) ? 1 ,------- 13 分
2

2 3

7

所以 M 点的轨迹方程为: x ? y ?
2 2

2 5 y ? ? 0 。--------- 14 分 3 18

? x 2 ? 2 x ? 4( x ? 2) ? 20、 解: (1) m ? 2 时, g ( x) ? ? 2 ---------1 分 ? ?? x ? 2 x ? 4( x ? 2)
函数 g ( x) 的单调增区间为 (??,1) , (2, ??) ,单调减区间为(1,2) 。 --- 4 分 (2)由 f ( x) ? 2|m| 在 x ? [?2, ??) 上有唯一解, 得 | x ? m |?| m | 在 x ? [?2, ??) 上有唯一解。 即 ( x ? m)2 ? m2 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 m , 由题意知 2m ? 0或2m ? ?2 , 即 m ? ?1或m ? 0 。 综上, m 的取值范围是 m ? ?1或m ? 0 。 (3) f ( x) ? ?
x?m ? ?2 ( x ? m), m? x ? ?2 ( x ? m).

---------5 分 ---------6 分

---------8 分

则 g ( x) 的值域应是 f ( x ) 的值域的子集。

---------9 分

① m ? 4 时, f ( x ) 在 (??, m) 上单调递减, [m, 4] 上单调递增, 故 f ( x) ? f (m) ? 1。---------10 分

g ( x) 在 [4, ??) 上单调递增,故 g ( x) ? g (4) ? 8 ? 2m ,
所以 8 ? 2m ? 1 ,即 m ?

---------11 分

7 。 2

---------12 分
m? 4

②当 4 ? m ? 5 时, f ( x ) 在 (??, 4] 上单调递减,故 f ( x) ? f (4) ? 2



g ( x) 在 [4, m] 上单调递减, [m, ??) 上单调递增,故 g ( x) ? g (m) ? 2m ? 8
所以 2
m?4

? 2m ? 8 ,解得 5 ? m ? 6 。又 4 ? m ? 5 ,所以 m ? 5

---------13 分

综上, m 的取值范围是 (??, ] {5}

7 2

---------14 分

8


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