kl800.com省心范文网

高中数学必修二2015年高考真题汇总


高中数学必修二 2015 年高考真题汇总
一.选择题(共 18 小题) 1. (2016?浦东新区一模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等 于( ) A. B. C. D.

2. (2015?河北)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1 B.2 C.4 D.8 3. (2015?新课标 II)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.

B.

C.

D. )

4. (2015?广东)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5

5. (2015 秋?邢台校级期中)直角梯形的一个内角为 45°,下底长为上底长的 ,这个梯形绕 下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+ A.2π B. C. D. )π,则旋转体的体积为( )

6. (2015?安徽)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 7. (2015?浙江) 设 α, β 是两个不同的平面, l, m 是两条不同的直线, 且 l?α, m?β, ( )
第 1 页(共 28 页)

A.若 l⊥β,则 α⊥β B.若 α⊥β,则 l⊥m C.若 l∥β,则 α∥β D.若 α∥β,则 l∥m 8. (2014?广西)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角 的余弦值为( ) A. B. C. D.

9. (2013 秋?尖山区校级期末)4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在 的 12 条直线中,异面直线共有( ) A.12 对B.24 对 C.36 对 D.48 对 10. (2013?安徽)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 11. (2015?新课标 II)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,﹣7)的圆交 y 轴于 M,N 两 点,则|MN|=( ) A.2 B.8 C.4 D.10 12. (2014?海淀区校级模拟) 正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 在边 AB 上, 点 F 在边 BC 上, ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角 等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 13. (2013?新课标Ⅱ)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ) A. (0,1) B. C. D.

14. (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的 数 x1,x2,…xn,使得 = =…= ,则 n 的取值范围为( )

A.{2,3} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5} 15. (2015?南充三模)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距 离|C1C2|=( ) A.4 B. C.8 D. 16. (2015?新课标 II)过三点 A(1,0) ,B(0, ) ,C(2, )则△ ABC 外接圆的圆 心到原点的距离为( )
第 2 页(共 28 页)

A.

B.

C.

D.
2

17. (2015?山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y﹣2) 2 =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣ 或﹣ B.﹣ 或﹣ C.﹣ 或﹣
2 2

D.﹣ 或﹣

18. (2015?重庆)已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣ 4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.6 C.4 D.2 二.填空题(共 3 小题) 19. (2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 .

20. (2014?山东)圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦 的长为 2 ,则圆 C 的标准方程为 . 2 2 21. (2014?新课标 II)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则 x0 的取值范围是 . 三.解答题(共 9 小题) 22. (2015?北京)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为等边三角 形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

23. (2015?福建)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1, (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证;AC⊥平面 PDO;
第 3 页(共 28 页)

(Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC= ,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值.

24. (2015?新课标 I) 如图, 四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

25. (2015?广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 26. (2014?新课标 I)已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. 2 2 2 2 27. (2013?新课标Ⅰ)已知圆 M: (x+1) +y =1,圆 N: (x﹣1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外 切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 28. (2014?新课标 I)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点 为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的
2 2

2

2

高. 29. (2013?新课标Ⅰ)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
第 4 页(共 28 页)

(Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C=

,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

30. (2012?新课标)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°, AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

第 5 页(共 28 页)

高中数学必修二 2015 年高考真题汇总
参考答案与试题解析

一.选择题(共 18 小题) 1. (2016?浦东新区一模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等 于( ) A. B. C. D.
菁优网版权所有

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题. 【分析】设圆柱高为 h,推出底面半径,求出圆柱的侧面积,然后求出圆柱的体积即可得到 选项. 【解答】解:设圆柱高为 h,则底面半径为 . 由题意知,S=πh , ∴h= ,
2 2

∴V=π( ) ?h=



故选 D. 【点评】本题是基础题,考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系,考查计算能力,常考题 型. 2. (2015?河北)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何. 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱,
菁优网版权所有

∴其表面积为: ×4πr + ×πr

2

2

2r×2πr+2r×2r+ ×πr =5πr +4r ,

2

2

2

又∵该几何体的表面积为 16+20π,
第 6 页(共 28 页)

∴5πr +4r =16+20π,解得 r=2, 故选:B.

2

2

【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于 中档题. 3. (2015?新课标 II)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.

B.

C.

D.
菁优网版权所有

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计 算即可. 【解答】解:设正方体的棱长为 1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥, ∴正方体切掉部分的体积为 ∴剩余部分体积为 1﹣ = , ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 故选:D. ×1×1×1= ,

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积. 4. (2015?广东)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5
第 7 页(共 28 页)



【考点】棱锥的结构特征. 【专题】创新题型;空间位置关系与距离. 【分析】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况 成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断. 【解答】解:考虑平面上,3 个点两两距离相等,构成等边三角形,成立; 4 个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立; n 大于 4,也不成立; 在空间中,4 个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立; 若 n>4,由于任三点不共线,当 n=5 时,考虑四个点构成的正四面体, 第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心, 且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面的中心重合,故不成立; 同理 n>5,不成立. 故选:B. 【点评】本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接 球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题.
菁优网版权所有

5. (2015 秋?邢台校级期中)直角梯形的一个内角为 45°,下底长为上底长的 ,这个梯形绕 下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+ A.2π B. C. D.
菁优网版权所有

)π,则旋转体的体积为(



【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题. 【分析】由题意可知,这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积, 而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求解即可. 【解答】解:这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积, 圆的面积,直角腰为半径,长方形的面积,圆的周长为长,上底为宽,扇形的面积,圆的周 长为弧长,另一腰则为扇形的半径. 设上底为 x,则下底为 ,直角腰为 ,另一腰为整个面积式子为 , 解得 x=±2,因为 x>0,所以 x=﹣2 舍去,x=2.而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同 底圆柱的体积,圆锥的高,下底减上底得圆锥的高为 1, 圆柱体积=Sh= h=π×1 ×2=2π,圆锥体积= π .
2

所以整个几何体的体积为

故选 D. 【点评】本题考查学生的空间想象能力,和逻辑思维能力,等量之间的转换,是中档题. 6. (2015?安徽)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行
第 8 页(共 28 页)

B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答. 【解答】解:对于 A,若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 不一定平行,例如墙角的三个平 面;故 A 错误; 对于 B,若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行.相交或者异面;故 B 错误; 对于 C,若 α,β 不平行,则在 α 内存在无数条与 β 平行的直线;故 C 错误; 对于 D,若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个 平面,则这两条在平行;故 D 正确; 故选 D. 【点评】本题考查了空间线面关系的判断;用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定 理.
菁优网版权所有

7. (2015?浙江) 设 α, β 是两个不同的平面, l, m 是两条不同的直线, 且 l?α, m?β, ( ) A.若 l⊥β,则 α⊥β B.若 α⊥β,则 l⊥m C.若 l∥β,则 α∥β D.若 α∥β,则 l∥m 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出 A 正确; B 根据面面垂直的性质判断 B 错误; C 根据面面平行的判断定理得出 C 错误; D 根据面面平行的性质判断 D 错误. 【解答】解:对于 A,∵l⊥β,且 l?α,根据线面垂直的判定定理,得 α⊥β,∴A 正确; 对于 B,当 α⊥β,l?α,m?β 时,l 与 m 可能平行,也可能垂直,∴B 错误; 对于 C,当 l∥β,且 l?α 时,α 与 β 可能平行,也可能相交,∴C 错误; 对于 D,当 α∥β,且 l?α,m?β 时,l 与 m 可能平行,也可能异面,∴D 错误. 故选:A. 【点评】 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题, 也考查了数学符号语言的应用问 题,是基础题目.
菁优网版权所有

8. (2014?广西)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角 的余弦值为( ) A. B. C. D.
菁优网版权所有

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】由 E 为 AB 的中点,可取 AD 中点 F,连接 EF,则∠CEF 为异面直线 CE 与 BD 所 成角,设出正四面体的棱长,求出△ CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值. 【解答】解:如图, 取 AD 中点 F,连接 EF,CF,
第 9 页(共 28 页)

∵E 为 AB 的中点, ∴EF∥DB, 则∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角, ∵ABCD 为正四面体,E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴CE=CF. 设正四面体的棱长为 2a, 则 EF=a, CE=CF= 在△ CEF 中,由余弦定理得: = 故选:B. . .

【点评】 本题考查异面直线及其所成的角, 关键是找角, 考查了余弦定理的应用, 是中档题. 9. (2013 秋?尖山区校级期末)4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在 的 12 条直线中,异面直线共有( ) A.12 对B.24 对 C.36 对 D.48 对 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征. 【分析】由异面直线定义入手,分类计数即可. 【解答】解:易知六棱锥的六条侧棱都交于一点,底面六条边在同一平面内, 则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线, 所以六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有 6×4=24 对. 故选 B. 【点评】本题考查异面直线定义,同时考查分类计数原理及空间想象能力.
菁优网版权所有

10. (2013?安徽)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】规律型. 【分析】根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他 判断加以证明的命题和原理就是公理.
菁优网版权所有

第 10 页(共 28 页)

【解答】解:B,C,D 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证 明的命题和原理故是公理; 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理. 故选 A. 【点评】本题考查了公理的意义,比较简单. 11. (2015?新课标 II)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,﹣7)的圆交 y 轴于 M,N 两 点,则|MN|=( ) A.2 B.8 C.4 D.10 【考点】两点间的距离公式. 【专题】计算题;直线与圆.
菁优网版权所有

【分析】设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出 D,E,F,令 x=0,即可 得出结论.
2 2

2

2

【解答】解:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则



∴D=﹣2,E=4,F=﹣20, 2 2 ∴x +y ﹣2x+4y﹣20=0, 2 令 x=0,可得 y +4y﹣20=0, ∴y=﹣2±2 , ∴|MN|=4 . 故选:C. 【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键. 12. (2014?海淀区校级模拟) 正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 在边 AB 上, 点 F 在边 BC 上, ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角 等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程;直线的一般式方程. 【专题】作图题;压轴题. 【分析】通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可. 【解答】解:根据已知中的点 E,F 的位置,可知第一次碰撞点为 F,在反射的过程中,直
菁优网版权所有

线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为 G,且 CG= 撞点为 H,且 DH= ,作图,

,第二次碰

可以得到回到 E 点时,需要碰撞 14 次即可. 故选 B.

第 11 页(共 28 页)

【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射 后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可,属于难题. 13. (2013?新课标Ⅱ)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ) A. (0,1) B. C. D.
菁优网版权所有

【考点】确定直线位置的几何要素;三角形的面积公式;点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆.

【分析】先求得直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(﹣ ,0) ,由﹣ ≤0 可得点 M 在 射线 OA 上.求出直线和 BC 的 交点 N 的坐标,①若点 M 和点 A 重合,求得 b= ;②若点 M 在点 O 和点 A 之间,求得 <b< ; ③若点 M 在点 A 的左侧,求得 >b>1﹣ 并集,可得结果. 【解答】解:由题意可得,三角形 ABC 的面积为 由于直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(﹣ ,0) , 由直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积相等的两部分,可得 b>0, 故﹣ ≤0,故点 M 在射线 OA 上. 设直线 y=ax+b 和 BC 的交点为 N,则由 可得点 N 的坐标为( , ) . =1, .再把以上得到的三个 b 的范围取

①若点 M 和点 A 重合,则点 N 为线段 BC 的中点,故 N( , ) , 把 A、N 两点的坐标代入直线 y=ax+b,求得 a=b= .
第 12 页(共 28 页)

②若点 M 在点 O 和点 A 之间,此时 b> ,点 N 在点 B 和点 C 之间,由题意可得三角形 NMB 的面积等于 ,



= ,即

= ,可得 a=

>0,求得 b< ,

故有 <b< . ③若点 M 在点 A 的左侧,则 b< ,由点 M 的横坐标﹣ <﹣1,求得 b>a. 设直线 y=ax+b 和 AC 的交点为 P,则由 求得点 P 的坐标为( , ) ,

此时,由题意可得,三角形 CPN 的面积等于 ,即 即 (1﹣b)?| ﹣

?(1﹣b)?|xN﹣xP|= ,
2 2

|= ,化简可得 2(1﹣b) =|a ﹣1|.
2 2 2

由于此时 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b) =|a ﹣1|=1﹣a . 两边开方可得 故有 1﹣ (1﹣b)= <1,∴1﹣b< ,化简可得 b>1﹣ ,

<b< . ,

再把以上得到的三个 b 的范围取并集,可得 b 的取值范围应是 故选:B.

【点评】 本题主要考查确定直线的要素, 点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用, 还考察运算能力以及 综合分析能力,分类讨论思想,属于难题. 14. (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的 数 x1,x2,…xn,使得 = =…= ,则 n 的取值范围为( )

第 13 页(共 28 页)

A.{2,3} B.{2,3,4} 【考点】直线的斜率. 【专题】直线与圆.
菁优网版权所有

C.{3,4}

D.{3,4,5}

【分析】由

表示(x,f(x) )点与原点连线的斜率,结合函数 y=f(x)的图象,数

形结合分析可得答案. 【解答】解:令 y=f(x) ,y=kx, 作直线 y=kx,可以得出 2,3,4 个交点, 故 k= (x>0)可分别有 2,3,4 个解.

故 n 的取值范围为 2,3,4. 故选 B.

【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键. 15. (2015?南充三模)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距 离|C1C2|=( ) A.4 B. C.8 D. 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆.
菁优网版权所有

【分析】圆在第一象限内,设圆心的坐标为(a,a) ,则有|a|=



解方程求得 a 值,代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值. 【解答】解:∵两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,故圆在第一象限内, 设圆心的坐标为(a,a) ,则有|a|=
第 14 页(共 28 页)



∴a=5+2

,或 a=5﹣2

,故圆心为(5+2

,5+2 =8,

) 和 (5﹣2

,5﹣2

) ,

故两圆心的距离|C1C2|=

故选 C. 【点评】本题考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 16. (2015?新课标 II)过三点 A(1,0) ,B(0, 心到原点的距离为( ) A. B. C.
菁优网版权所有

) ,C(2,

)则△ ABC 外接圆的圆

D.

【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论. 【解答】解:因为△ ABC 外接圆的圆心在直线 BC 垂直平分线上,即直线 x=1 上, 可设圆心 P(1,p) ,由 PA=PB 得 |p|= 得 p= 圆心坐标为 P(1, ) , = = , ,

所以圆心到原点的距离|OP|=

故选:B 【点评】本题主要考查圆性质及△ ABC 外接圆的性质,了解性质并灵运用是解决本题的关 键. 17. (2015?山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y﹣2) 2 =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣ 或﹣ B.﹣ 或﹣ C.﹣ 或﹣
菁优网版权所有

2

D.﹣ 或﹣

【考点】圆的切线方程;直线的斜率. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) ,可设反射光线所在直线的方 程为:y+3=k(x﹣2) ,利用直线与圆相切的性质即可得出. 【解答】解:点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) , 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2) ,化为 kx﹣y﹣2k﹣3=0. 2 2 ∵反射光线与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离 d= 化为 24k +50k+24=0, ∴k= 或﹣ .
第 15 页(共 28 页)
2

=1,

故选:D. 【点评】 本题考查了反射光线的性质、 直线与圆相切的性质、 点到直线的距离公式、 点斜式、 对称点,考查了计算能力,属于中档题. 18. (2015?重庆)已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣ 4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.6 C.4 D.2 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径, 由直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心 (2, 1) , 求得 a 的值,可得点 A 的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值.
菁优网版权所有

2

2

【解答】解:∵圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2) +(y﹣1) =4, 表示以 C(2,1)为圆心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1) , 故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点 A(﹣4,﹣1) . ∵AC= ∴切线的长|AB|= = =2 =6. ,CB=R=2,

2

2

2

2

故选:B. 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性 质的合理运用,属于基础题. 二.填空题(共 3 小题) 19. (2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2. 2 2 (1)圆 C 的标准方程为 (x﹣1) +(y﹣ ) =2 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 ﹣1﹣ .

【考点】圆的标准方程;圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程; (2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 【解答】解: (1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为(1, ) , 2 2 ∴圆 C 的标准方程为(x﹣1) +(y﹣ ) =2; (2)由(1)知,B(0,1+ ) , ∴圆 C 在点 B 处切线方程为(0﹣1) (x﹣1)+(1+ ﹣ ) (y﹣ )=2,
菁优网版权所有

第 16 页(共 28 页)

令 y=0 可得 x=﹣1﹣ . 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣ ) =2;﹣1﹣ . 【点评】本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题. 20. (2014?山东)圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦 2 2 的长为 2 ,则圆 C 的标准方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =4 . 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】由圆心在直线 x﹣2y=0 上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,由弦长的一半,圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程,求出方程的解得到 t 的值,从而得到圆心坐 标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【解答】解:设圆心为(2t,t) ,半径为 r=|2t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , 2 2 ∴t +3=4t , ∴t=±1, ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切, ∴t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,2t=2, 2 2 ∴(x﹣2) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐 标,找出圆的半径是解本题的关键.
菁优网版权所有

21. (2014?新课标 II)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则 x0 的取值范围是 [﹣1,1] . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】根据直线和圆的位置关系,画出图形,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:由题意画出图形如图:点 M(x0,1) , 2 2 要使圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则∠OMN 的最大值大于或等于 45°时一定存在点 N,使得∠OMN=45°, 而当 MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值, 此时 MN=1, 图中只有 M′到 M″之间的区域满足 MN≤1,
菁优网版权所有

2

2

∴x0 的取值范围是[﹣1,1].

第 17 页(共 28 页)

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本 题的策略之一. 三.解答题(共 9 小题) 22. (2015?北京)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为等边三角 形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)利用三角形的中位线得出 OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明 VB∥平面 MOC; (2)证明:OC⊥平面 VAB,即可证明平面 MOC⊥平面 VAB (3)利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积. 【解答】 (1)证明:∵O,M 分别为 AB,VA 的中点, ∴OM∥VB, ∵VB?平面 MOC,OM?平面 MOC, ∴VB∥平面 MOC; (2)∵AC=BC,O 为 AB 的中点, ∴OC⊥AB, ∵平面 VAB⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥平面 VAB, ∵OC?平面 MOC, ∴平面 MOC⊥平面 VAB (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1,
菁优网版权所有

第 18 页(共 28 页)

∴S△ VAB= , ∵OC⊥平面 VAB, ∴VC﹣VAB= ?S△ VAB= . ,

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=

【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运 用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键. 23. (2015?福建)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1, (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证;AC⊥平面 PDO; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC= ,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)由题意可证 AC⊥DO,又 PO⊥AC,即可证明 AC⊥平面 PDO. (Ⅱ)当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大且最大值为 1,又 AB=2,即可求△ ABC 面积的 最大值,又三棱锥 P﹣ABC 的高 PO=1,即可求得三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值.
菁优网版权所有

(Ⅲ)可求 PB=

=

=PC,即有 PB=PC=BC,由 OP=OB,C′P=C′B,可证 E 为 PB = ,从而得解.

中点,从而可求 OC′=OE+EC′=

【解答】解: (Ⅰ)在△ AOC 中,因为 OA=OC,D 为 AC 的中点, 所以 AC⊥DO, 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面, 所以 PO⊥AC, 因为 DO∩PO=O, 所以 AC⊥平面 PDO. (Ⅱ)因为点 C 在圆 O 上, 所以当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大,且最大值为 1, 又 AB=2,所以△ ABC 面积的最大值为 又因为三棱锥 P﹣ABC 的高 PO=1, 故三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值为: (Ⅲ)在△ POB 中,PO=OB=1,∠POB=90°,
第 19 页(共 28 页)





所以 PB=

=



同理 PC= ,所以 PB=PC=BC, 在三棱锥 P﹣ABC 中,将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC′P,使之与平面 ABP 共面,如图所 示, 当 O,E,C′共线时,CE+OE 取得最小值, 又因为 OP=OB,C′P=C′B, 所以 OC′垂直平分 PB,即 E 为 PB 中点. 从而 OC′=OE+EC′= 亦即 CE+OE 的最小值为: = . .

【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知 识,考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查了数形结合思想、化归与转 化思想,属于中档题. 24. (2015?新课标 I) 如图, 四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)根据三棱锥的条件公式,进行计算即可.
菁优网版权所有

第 20 页(共 28 页)

【解答】证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∵BE⊥平面 ABCD, ∴AC⊥BE, 则 AC⊥平面 BED, ∵AC?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 BED; 解: (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,得 AG=GC= ∵AE⊥EC,△ EBG 为直角三角形, ∴BE= x, = = , x,GB=GD= ,

∵三棱锥 E﹣ACD 的体积 V= 解得 x=2,即 AB=2, ∵∠ABC=120°, ∴AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×
2 2 2

=12,

即 AC= , 在三个直角三角形 EBA,EBG,EBC 中,斜边 AE=EC=ED, ∵AE⊥EC,∴△EAC 为等腰三角形, 2 2 2 则 AE +EC =AC =12, 2 即 2AE =12, 2 ∴AE =6, 则 AE= , ∴从而得 AE=EC=ED= , ∴△EAC 的面积 S= =3,

在等腰三角形 EAD 中,过 E 作 EF⊥AD 于 F, 则 AE= 则 EF= ,AF= = , , = ,

∴△EAD 的面积和△ ECD 的面积均为 S= 故该三棱锥的侧面积为 3+2 .

【点评】本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定 定理以及体积公式.

第 21 页(共 28 页)

25. (2015?广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系. 【专题】创新题型;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.
菁优网版权所有

2

2

【分析】 (1)通过将圆 C1 的一般式方程化为标准方程即得结论; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx,通过联立直线 l 与圆 C1 的方程,利用根的判别式大于 0、 韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论; (3)通过联立直线 L 与圆 C1 的方程,利用根的判别式△ =0 及轨迹 C 的端点与点(4,0) 决定的直线斜率,即得结论. 【解答】解: (1)∵圆 C1:x +y ﹣6x+5=0, 2 2 整理,得其标准方程为: (x﹣3) +y =4, ∴圆 C1 的圆心坐标为(3,0) ; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx、A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 联立方程组
2 2 2 2



消去 y 可得: (1+k )x ﹣6x+5=0, 由△ =36﹣4(1+k )×5>0,可得 k < 由韦达定理,可得 x1+x2= ,
2 2

∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为

,其中﹣

<k<



∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为: (x﹣ ) +y = ,其中 <x≤3; (3)结论:当 k∈[﹣ 交点. 理由如下: 联立方程组
2 2

2

2



]∪{﹣ , }时,直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个


2 2

消去 y,可得: (1+k )x ﹣(3+8k )x+16k =0, 令△ =(3+8k ) ﹣4(1+k )?16k =0,解得 k=± , 又∵轨迹 C 的端点( ,± )与点(4,0)决定的直线斜率为± ,
2 2 2 2

∴当直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点时,
第 22 页(共 28 页)

k 的取值范围为[﹣



]∪{﹣ , }.

【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于难 题. 26. (2014?新课标 I)已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. 【考点】轨迹方程;三角形的面积公式. 【专题】直线与圆.
菁优网版权所有

2

2

【分析】 (1)由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径,设出 M 坐标,由



数量积等于 0

列式得 M 的轨迹方程; (2)设 M 的轨迹的圆心为 N,由|OP|=|OM|得到 ON⊥PM.求出 ON 所在直线的斜率,由 直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程,由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离,再由 弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度,代入三角形面积公式得答案. 【解答】解: (1)由圆 C:x +y ﹣8y=0,得 x +(y﹣4) =16, ∴圆 C 的圆心坐标为(0,4) ,半径为 4. 设 M(x,y) ,则 由题意可得:
2 2 2 2 2

, .
2



即 x(2﹣x)+(y﹣4) (2﹣y)=0. 整理得: (x﹣1) +(y﹣3) =2. 2 2 ∴M 的轨迹方程是(x﹣1) +(y﹣3) =2. (2)由(1)知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 由于|OP|=|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上, 从而 ON⊥PM. ∵kON=3, ∴直线 l 的斜率为﹣ . ∴直线 PM 的方程为 ,即 x+3y﹣8=0.

为半径的圆,

则 O 到直线 l 的距离为



又 N 到 l 的距离为 ∴|PM|= = .



第 23 页(共 28 页)





【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系, 训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题. 27. (2013?新课标Ⅰ)已知圆 M: (x+1) +y =1,圆 N: (x﹣1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外 切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (I) 设动圆的半径为 R, 由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切, 可得|PM|+|PN|=R+1+ (3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,4 为长轴 长的椭圆,求出即可; (II)设曲线 C 上任意一点 P(x,y) ,由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以 R≤2,当且仅
菁优网版权所有

2

2

2

2

当⊙P 的圆心为(2,0)R=2 时,其半径最大,其方程为(x﹣2) +y =4.分①l 的倾斜角 为 90°,此时 l 与 y 轴重合,可得|AB|.②若 l 的倾斜角不为 90°,由于⊙M 的半径 1≠R,可 知 l 与 x 轴不平行,设 l 与 x 轴的交点为 Q,根据 ,可得 Q(﹣4,0) ,所以可设

2

2

l:y=k(x+4) ,与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出. 2 2 2 2 【解答】解: (I)由圆 M: (x+1) +y =1,可知圆心 M(﹣1,0) ;圆 N: (x﹣1) +y =9, 圆心 N(1,0) ,半径 3. 设动圆的半径为 R, ∵动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4, 而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,4 为长轴长的椭圆, 2 2 2 ∴a=2,c=1,b =a ﹣c =3. ∴曲线 C 的方程为 (x≠﹣2) .

(II)设曲线 C 上任意一点 P(x,y) , 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以 R≤2,当且仅当⊙P 的圆心为(2,0)R=2 时,其半径 2 2 最大,其方程为(x﹣2) +y =4. ①l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= . ②若 l 的倾斜角不为 90°,由于⊙M 的半径 1≠R,可知 l 与 x 轴不平行, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 ,可得 Q(﹣4,0) ,所以可设 l:y=k(x+4) ,

由 l 于 M 相切可得:

,解得





时,联立

,得到 7x +8x﹣8=0.

2

第 24 页(共 28 页)

∴ ∴|AB|=

, =

. = 时,也有|AB|= 或 . .

由于对称性可知:当 综上可知:|AB|=

【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线 与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、 弦长公式等基础知识, 需要较强的推 理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法. 28. (2014?新课标 I)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点 为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的

高. 【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1) 连接 BC1, 则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, 证明 B1C⊥平面 ABO, 可得 B1C⊥AB; (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥AD,垂足为 H,证明△ CBB1 为等边三角 形,求出 B1 到平面 ABC 的距离,即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 【解答】 (1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴BC1⊥B1C, ∵AO⊥平面 BB1C1C, ∴AO⊥B1C, ∵AO∩BC1=O, ∴B1C⊥平面 ABO, ∵AB?平面 ABO, ∴B1C⊥AB; (2)解:作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥AD,垂足为 H, ∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O, ∴BC⊥平面 AOD, ∴OH⊥BC, ∵OH⊥AD,BC∩AD=D, ∴OH⊥平面 ABC, ∵∠CBB1=60°, ∴△CBB1 为等边三角形,
菁优网版权所有

第 25 页(共 28 页)

∵BC=1,∴OD=



∵AC⊥AB1,∴OA= B1C= , 由 OH?AD=OD?OA,可得 AD= ∵O 为 B1C 的中点, ∴B1 到平面 ABC 的距离为 ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高 , . = ,∴OH= ,

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 29. (2013?新课标Ⅰ)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB⊥平面 OA1C 得要证的结论; (Ⅱ)在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥OC,再根据 OA1⊥AB,得到 OA1 为三 棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB.
菁优网版权所有

由于 AB=AA1,

,故△ AA1B 为等边三角形,

所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C; (Ⅱ)解:由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,
第 26 页(共 28 页)

所以 又 ,则

. ,故 OA1⊥OC.

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 又△ ABC 的面积 ,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查了棱柱的体积,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力,属于中档题. 30. (2012?新课标)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°, AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (Ⅰ) 由题意易证 DC1⊥平面 BDC, 再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1⊥ 平面 BDC;
菁优网版权所有

(Ⅱ) 设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1, AC=1, 易求 V1= ×

×1×1= , 三棱柱 ABC﹣A1B1C1

的体积 V=1,于是可得(V﹣V1) :V1=1:1,从而可得答案. 【解答】证明: (1)由题意知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 DC1?平面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC.
第 27 页(共 28 页)

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, ∴∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC,又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC,又 DC1?平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1= × ×1×1= ,

又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V﹣V1) :V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1. 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱 锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.

第 28 页(共 28 页)


高中数学必修二2015年高考真题汇总.doc

高中数学必修二 2015 年高考真题汇总一.选择题(共 18 小题) 1. (2

2015年高考真题全国二卷数学详细解析_图文.doc

2015年高考真题全国二卷数学详细解析 - 一、选择题:本大题共 12 小题,每

2015年高考全国各地数学真题汇总(理科数学)_图文.doc

2015年高考全国各地数学真题汇总(理科数学) - 2015新课标1、2,北京,天津,重庆,山东,广东,江苏,浙江,安徽,福建,四川卷,理科数学含答案,高考复习必备

2015年高考数学试题分类汇编_图文.doc

2015年高考数学试题分类汇编_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题分类汇编...【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算,属于容易题. 3.(15 年...

2015年高考真题.doc

2015年高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第Ⅰ卷(共 50 分)

高一数学必修2第一章高考真题集训1.doc

高一数学必修2第一章高考真题集训1_高考_高中教育_教育专区。第一章一、选择题...2? 6. [2015 陕西高考]一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 表...

高中数学必修2高考试题精选(答案).doc

高中数学必修2高考试题精选(答案) - 高中数学必修二高考试题精选 一、选择题:

2015高考数学真题全国2理科解析.doc

2015高考数学真题全国2理科解析 - 专注数学 成就梦想 www.chinamath.net 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 II 卷) 理科数学试题解析 1. 解析 故选...

2015高考数学试题分类汇编(22个专题)_图文.doc

2015高考数学试题分类汇编(22个专题)_高考_高中教育_教育专区。2015 年高考数学...B ? 2 (A)(1,3) 2 (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4) 解析: A...

2015年高考政治必修二试题分类解析汇编_图文.doc

2015年高考政治必修二试题分类解析汇编_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。2015年高考政治必修二试题分类解析汇编 2015 年高考政治必修二试题分类解析汇编 第一...

高中数学必修二立体几何典型题专项训练(高考真题).doc

高中数学必修二立体几何典型题专项训练(高考真题) - 1、 正方体 ABCD-A

2015年高考数学试题分类汇编 22个模块专题 Word版含答....doc

2015年高考数学试题分类汇编 22个模块专题 Word版含答案解析_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题分类汇编 22个模块专题 Word版含答案解析 ...

2015高考真题分类汇编函数 理.doc

2015高考真题分类汇编函数 理_数学_高中教育_教育专区。专题二 函数 1.【2015 高考福建,理 2】下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】函数...

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总---三角函数.doc

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总---三角函数 - 2017 年高考数学试题分类汇编--三角函数 一.填空选择题 1. | ? | π .若 (2017 年天津卷 ...

2015年全国新课标卷1文科数学高考真题及答案.doc

2015年全国新课标卷1文科数学高考真题及答案 - 2015 年普通高等学校招生

2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编.doc

2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编_数学_高中教育_教育专区。名师名校

2015-2017年高考全国卷Ⅰ理科数学真题(含答案).doc

2015-2017年高考全国卷Ⅰ理科数学真题(含答案) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两...

必修二政治生活高考真题汇总.doc

必修二政治生活高考真题汇总 - 必修二六次汇总 2015.10 (2+12 分)

2015-2017立体几何全国卷高考真题.doc

2015-2017立体几何全国卷高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2017年全国卷立体几何高考真题汇总 2015-2017 立体几何高考真题 1、 (2015 年 1 卷 6...

高一数学必修一练习题及高考题.doc

高一数学必修一练习题及高考题_数学_高中教育_教育专区。高一年级数学必修一题型练习 2011-11-21 1、 (2010 江苏)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A...