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2010年高考数学文科试题解析版(四川卷)


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年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文史类) 数学(文史类)
解析:四川省成都市新都一中 肖宏 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 1 0 页.满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.[来 源:Ks5u.com] 第Ⅰ卷 注意事项:高^考#资*源^网 1.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. [来源:Ks5u.com] 3。本试卷共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 参考公式:高^考#资*源^网 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 球的表面积公式

s = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

4 v = π R2 3
其中 R 表示球的半径

Pn (k ) = Cnk p k (1 p ) n k (k = 0,1, 2,...n) [来源:]
一、选择题 (1)设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5, 7,8},则 A∩B 等于 (A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}

解析:集合 A 与集合 B 中的公共元素为 5,8 答案:D

-1-

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(2)函数 y=log2x 的图象大致是高^考#资*源^网

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:本题考查对数函数的图象和基本性质. 答案:C (3)抛物线 y 2 = 8 x 的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4
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(D)8

解析:由 y2=2px=8x 知 p=4

又交点到准线的距离就是 p 答案:C (4)一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具 有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从 中抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A)12,24,15,9 解析:因为 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

40 1 = 800 20 160 320 200 120 =8, = 16 , = 10 , =6 20 20 20 20

故各层中依次抽取的人数分别是 答案:D

(5)函数 f ( x) = x 2 + mx + 1 的图像关于直线 x = 1 对称的充要条件是 (A) m = 2 (B) m = 2 (C) m = 1 (D) m = 1

解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 于是-

m 2

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m =1 m=-2 2
2

答案:A ( 6 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 , BC = 16 ,

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AB + AC = AB AC ,则 AM =
(A)8
2

(B)4

(C)2

(D)1

解析:由 BC =16,得|BC|=4

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AB + AC=AB AC=| BC | =4
而AB + AC= 2AM 故AM= 2 答案:C (7)将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动

π
10

个单位长度,再把所得各点的

横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网 (A) y = sin(2 x

π
10

) )

(B) y = sin(2 x

π
5

)

(C) y = sin( x

1 2

π

10

(D) y = sin( x

1 2

π
20

)

解析:将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动 式为 y=sin(x-

π

π
10

10

个单位长度,所得函数图象的解析

)

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再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

1 π y = sin( x ) . 2 10
答案:C (8)某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱 原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原 料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功 能完成至多 70 多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两 车间每天获利最大的生产计划为
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y 80 70 (15,55)

(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱

(D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱高^考#资*源^网 解析:解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱

x + y ≤ 70 则 10 x + 6 y ≤ 480 x, y ∈ N
-3-

70 x 0 48

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目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B
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(9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24
2 2

解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3 A2 =24 种 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种 共计 12+24=36 种 答案:A
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2

2

(10)椭圆

x2 y2 + = 1( a>b>0 ) 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A .在椭圆 a2 b2

上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 (A) (0,

2 1 ] (B) (0, ] 2 2

(C)[ 2 1 ,1) (D)[

1 ,1) 2
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解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|=

a2 b2 c = c c

|PF|∈[a-c,a+c]

b2 ∈[a-c,a+c] 于是 c
即 ac-c2≤b2≤ac+c2

ac c 2 ≤ a 2 c 2 ∴ 2 2 2 a c ≤ ac + c

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c a ≤1 c ≤ 1或 c ≥ 1 a a 2
又 e∈(0,1) 故 e∈ ,1 答案:D
1 2

-4-

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(11)设 a>b>0 ,则 a +
2

1 1 + 的最小值是 ab a ( a b )
(D)4

(A)1 解析: a +
2

(B)2

(C)3

1 1 + ab a ( a b )

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= a ab + ab +
2

1 1 + ab a (a b)

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= ab +

1 1 + a ( a b) + ab a ( a b)

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:D (12)半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 a ,垂足为 B , BCD 是平面 a 内边长为

2 满足条件. 2

R 的正三角形,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N ,那么 M 、 N 两点间的球面距离是高^考#资*源^网
(A) R arccos (C) π R

17 25

(B) R arccos (D)

18 25

1 3

4 πR 15 1 2

解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=

cos∠BAC=

2 5 5

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连结 OM,则△OAM 为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=

4 5 4 5 R ,同理 AN= R ,且 MN∥CD 5 5

而 AC= 5 R,CD=R 故 MN:CD=AN:AC MN=

4 R, 5

连结 OM、ON,有 OM=ON=R

-5-

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于是 cos∠MON=

OM 2 + ON 2 MN 2 17 = 2OM iON 25
17 25

所以 M、N 两点间的球面距离是 R arccos 答案:A 二、填空题 (13)(x-
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2 4 ) 的展开式中的常数项为______________(用数字作答) x 2 r r 4 r 解析:展开式的通项公式为 Tr+1= C4 x ( ) x
取 r=2 得常数项为 C42(-2)2=24
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答案:24 (14)直线 x 2 y + 5 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 8 相交于 A、B 两点,则AB = 解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 .

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圆心到直线 x 2 y + 5 = 0 的距离为 d= 故(

|0+0+5| 12 + (2) 2

= 5

| AB | 2 ) + ( 5)2 = (2 2 )2 2

得|AB|=2 3 答案:2 3 (15)如图,二面角 α l β 的大小是 60°,线段 AB α . B ∈ l ,

α
.

A
β

AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是

解析:过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连结 AD,有三垂线定理可知 AD⊥l, 故∠ADC 为二面角 α l β 的平面角,为 60° 又由已知,∠ABD=30° 连结 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角 设 AD=2,则 AC= 3 ,CD=1 AB=

B

α
B

A
C D
β

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AD =4 sin 300

∴sin∠ABC=

AC 3 = AB 4

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答案:

3 4

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(16)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ∈ S ,都有 x + y,x y,xy ∈ S ,则称 S 为封 闭集。下列命题: ①集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集;
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②若 S 为封闭集,则一定有 0 ∈ S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 解析:直接验证可知①正确. 当 S 为封闭集时,因为 x-y∈S,取 x=y,得 0∈S,②正确 对于集合 S={0},显然满足素有条件,但 S 是有限集,③错误 取 S={0},T={0,1},满足 S T C ,但由于 0-1=-1T,故 T 不是封闭集,④错 误 答案:①② 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内
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印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率; (Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
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1 6

解:设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)=
1 6
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P( Ai B iC )=P( A )P( B )P( C )= ( ) = 答:三位同学都没有中奖的概率为

5 3 6

125 216

125 ……………………………………6 分 216

(2)1-P( A BC+A B C+AB C +ABC)
-7-

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=1-3× ( ) i ( ) =

1 2 5 6 6

1 3 6

25 27 25 27

或 P( Ai B iC +A B C + A B C + A B C)= 答:三位同学至少两位没有中奖的概率为
25 . 27

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(18) (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 M 是棱 AA′的中点,点 O 是对角线 BD′的中 点. D′ (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线; C′ (Ⅱ)求二面角 M-BC′-B′的大小; A′
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B′

M D

O
C

A

B

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本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识,并考查空间想象 能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一: (1)连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK 因为 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 AM //

1 DD ' //OK 2

所以 MO //AK 由 AA’⊥AK,得 MO⊥AA’ 因为 AK⊥BD,AK⊥BB’,所以 AK⊥平面 BDD’B’ 所以 AK⊥BD’ 所以 MO⊥BD’ 又因为 OM 是异面直线 AA’和 BD’都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线…………6 分 (2)取 BB’中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 BCC’B’ 过点 N 作 NH⊥BC’于 H,连结 MH 则由三垂线定理得 BC’⊥MH 从而,∠MHN 为二面角 M-BC’-B’的平面角
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MN=1,NH=Bnsin45°= i

1 2 2 = 2 2 4

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在 Rt△MNH 中,tan∠MHN=

MN 1 = =2 2 NH 2 4

故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2 2 …………………………………………12 分 解法二: 以点 D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 M(1,0,

1 1 1 1 ),O( , , ) 2 2 2 2 1 1 OM = ( , , 0) , AA ' =(0,0,1), BD ' =(-1,-1,1) 2 2 1 1 OM i AA ' =0, OM i BD ' = + +0=0 2 2

所以 OM⊥AA’,OM⊥BD’ 又因为 OM 与异面直线 AA’和 BD’都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线.………………………………6 分 (2)设平面 BMC'的一个法向量为 n1 =(x,y,z)
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1 BM =(0,-1, ), BC ' =(-1,0,1) 2

n1 i BM = 0 n1 i BC ' = 0

1 y + z = 0 即 2 x + z = 0

取 z=2,则 x=2,y=1,从而 n1 =(2,1,2) 取平面 BC'B'的一个法向量为 n2 =(0,1,0) cos < n1 , n2 >=

n1 in2 1 1 = = | n1 |i| n2 | 9 i1 3
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由图可知,二面角 M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角 M-BC'-B'的大小为 arccos (19) (本小题满分 12 分)
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1 ………………………………………………12 分 3

1 (Ⅰ)○证明两角和的余弦公式 Cα + β : cos( α + β ) = cos α cos β sin α sin β ; 2 ○由 Cα + β 推导两角和的正弦公式 Sα + β : sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

(Ⅱ)已知 cos α =

4 3 1 π , α ∈ (π , π ), tan β = , β ∈ ( , π ), cos(α + β ) ,求 cos(α + β ) 5 2 3 2

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解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边 为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4 分
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②由①易得 cos( sin(α+β)=cos[

π π
2

-α)=sinα,sin(

π
2

-α)=cosα

2

-(α+β)]=cos[(

π
2

-α)+(-β)]

=cos(

π
2

-α)cos(-β)-sin(

π
2

-α)sin(-β)

=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6 分 3π 4 (2)∵α∈(π, ),cosα=- 2 5

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∴sinα=-

3 5

1 π ∵β∈( ,π),tanβ=- 2 3
∴cosβ=-

3 10 10 ,sinβ= 10 10

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-

4 3 10 3 10 )×(- )-(- )× 5 10 5 10

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3 10 10

(20) (本小题满分 12 分)

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已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = (4 an ) q
n 1
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(q ≠ 0, n ∈ N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

解:(1)设{an}的公差为 d ,由已知得

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3a1 + 3d = 6 8a1 + 28d = 4
解得 a1=3,d=-1 故 an=3-(n-1)(-1)=4-n…………………………………………5 分 - (2)由(1)的解答得,bn=nqn 1,于是 - Sn=1q0+2q1+3q2+……+(n-1)qn 1+nqn. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 + qSn=1q1+2q2+3q3+……+(n-1)qn+nqn 1. 将上面两式相减得到 - (q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+……+qn 1)
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=nqn-

qn 1 q 1

nq n +1 (n + 1)q n + 1 于是 Sn= (q 1) 2
若 q=1,则 Sn=1+2+3+……+n=

n(n + 1) 2

nq n +1 (n + 1)q n + 1 (q ≠ 1) (q 1) 2 所以,Sn= ……………………………………12 分 n(n + 1) (q = 1) 2
(21) (本小题满分 12 分)

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已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到 直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分 别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

1 2

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解:(1)设 P(x,y),则 ( x 2) + y = 2 | x
2 2

1 | 2

化简得 x2-

y2 =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 3

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x2-

y2 =1 联立消去 y 得 3

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(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0

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由题意知 3-k2≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),

4k 2 x1 + x2 = 2 k 3 则 2 x x = 4k + 3 1 2 k2 3
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

4 k 2 + 3 8k 2 =k ( 2 +4) k 3 k2 3
2



9 k 2 k2 3

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因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1) x1 + 1

因此 M 点的坐标为(

1 3 y1 , ) 2 2( x1 + 1)

3 3 y1 3 3 y2 FM = ( , ) ,同理可得 FN = ( , ) 2 2( x1 + 1) 2 2( x2 + 1)
因此 FM i FN = ( ) +
2

3 2

9 y1 y2 2( x1 + 1)( x2 + 1)

81k 2 4 k2 3 = + 2 4k + 3 4k 2 9 4( 2 + + 1) k 3 k2 3

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=0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3) AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为(

1 3 3 3 , ), FM = ( , ) 2 2 2 2

3 3 , ) 2 2 3 2 3 3 因此 FM i FN = ( ) + × ( ) =0 2 2 2
同理可得 FN = ( 综上 FM i FN =0,即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分 (22) (本小题满分 14 分)

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设 f(x)=

1+ ax ( a > 0 且 a ≠ 1) ,g(x)是 f(x)的反函数. 1 ax

(Ⅰ)求 g ( x ) ; (Ⅱ)当 x ∈ [2, 6] 时,恒有 g ( x ) > log a

t 成立,求 t 的取值范围; ( x 1)(7 x)
2

1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 n + 4 的大小,并说明理由. 2

解:(1)由题意得:ax=

y 1 >0 y +1

故 g(x)= log a (2) 由 log a

x 1 ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)……………………3 分 x +1
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x 1 t > log a 2 得 x +1 ( x 1)(7 x)

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①当 a>1 时,

x 1 t > 2 >0 x + 1 ( x 1)(7 x)

又因为 x∈[2,6],所以 0<t<(x-1)2(7-x) 令 h(x)=(x-1)2(7-x)=-x3+9x2-15x+7, x∈[2,6] 则 h'(x)=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下: x h'(x) h(x) 5 所以 h(x)最小值=5, 所以 0<t<5 ②当 0<a<1 时,0< 2 (2,5) + ↗ 5 0 极大值 32 (5,6) - ↘ 25 6

x 1 t < 2 x + 1 ( x 1)(7 x)

又因为 x∈[2,6],所以 t>(x-1)2(7-x)>0 令 h(x)=(x-1)2(7-x)=-x3+9x2-15x+7, x∈[2,6] 由①知 h(x)最大值=32, x∈[2,6] 所以 t>32 综上,当 a>1 时,0<t<5;当 0<a<1 时,t>32.……………………9 分 (3)设 a=

1 ,则 p≥1 1+ p 2 ≤3<5 p

当 n=1 时,f(1)=1+ 当 n≥2 时 * 设 k≥2,k∈N 时 则 f(k)=

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1 + ak 2 2 =1+ =1+ 1 k k 2 2 1 a (1 + p ) 1 Ck p + Ck p + + Ckk p k 2 4 4 4 =1+ =1+ 2 C + Ck k (k + 1) k k +1
1 k

所以 f(k)≤1+

从而 f(2)+f(3)+……+f(n)≤n-1+

4 4 <n+1 2 n +1

所以 f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)<f(1)+n+1≤n+4 综上,总有 f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)<n+4……………………14 分

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