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江西省九江第一中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


九江一中 2017 届高三第一次月考数学(理科)试卷 满分:150 分 时间:120 分钟 审题:高三数学备课组

命题:高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 已知复数 z ?

2?i ,则 z 所对应的点在复平面内所在的象限是( 1? i
B.第二象限 C.第三象限



A.第一象限

D.第四象限 ) D. [?2, ?1] ) D. 既不充分也不必要 )

2 2 A ? x | x ? 4 x ? 5 ? 0 , B ? ?x || x |? 2? ,则 A ? B = (

?

?

A. ? ?2,5?

B. [?2, 2]

C. ? ?1, 2?

3 设向量 a, b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为钝角”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分 C.充要条件

? ?

? ?

4 已知函数 f ( x ) 的定义域是 [?1,1] ,则函数 g ( x) ? f (2 x ? 1) lg(1 ? x) 的定义域是( A. [0,1] B. (0,1) C. [0,1) D. (0,1]

5 在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ?
ccosB + bcosC = 2acosB ,则 b 的值为(

2 2 ,a ? 2, 3

)

A. 2 6

B.

3 2 4

C.

3 3 4

D.

3 6 4

6 已知函数 y ? sin ? ? x ? 则 ? 的最小正值为( A. 1

? ?

??


? 向右平移 个单位后,所得的图像与原函数图像关于 x 轴对称, 3? 3

?

B. 2

C.

5 2

D. 3

-1-

7 各项均为正数的等比数列 ?an ?的前 n 项的为 S n ,若 S n ? 2, S 3n ? 14 ,则 S 4 n ? ( A. 80 B. 30 C. 26 D. 16



8 若函数 f ( x ) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

?? 则 f ( x) ?( ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,
2?

在区间 ? 0, ? 上的值域为( ) 3

? ?

2? ? ?

3 1 3 1 3 1 1] B. [ ? , ] C. [ ? , D. [ ? , ] 2 2 2 2 2 2 2 9 曲线 y ? ?2 x ? 7 x ? 6 与直线 y ? ? x 的图像所围成的封闭图形的面积为(
A. [0, ] A.



2 3

B. 2

C.

8 3


D. 3

10 ( x2 ? x ? 1)5 展开式中, x 的系数为(
5

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

11 已知 A, B, C 是单位圆上互不相同的三点,且满足 | AB |?| AC | ,则 AB ? AC 的最小值为 ( A. ? )

??? ?

??? ?

??? ? ????

1 4

B. ?

1 2

C. ?

3 4

D. ?1

12 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? x ,若在区间 ( ?1,1] 上 f ( x ? 1)
)

g( x ) ? f ( x ) ? mx ? 2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是(
A. 0 ? m ? C.

1 3

B. 0 ? m ? D.

1 2

1 ? m?1 2

1 ? m?1 3

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题,学生根据要求作答.

-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13 已知函数 f ( x) ? ?

?? log2 x, x ? 1
x

1 ,则 f ( f ( )) ? 2 ?2 ? 4 , x ? 1

14 已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | a |? 2 , | b |? 1 , a ? 2b ?

?

?

?

?

?

?

3 2 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) ? 5 3 f ( x) 16 已知函数 f ( x ) 的定义域为(0, +∞), 若y? 在(0, +∞)上为增函数, 则称 f ( x ) 为“一 x
2 15 已知 ? 为第一象限角,且 sin ? ? sin ? cos ? ?

阶比增函数”;若 y ?

f ( x) 在(0,+∞)上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所 x2

有 “ 一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 ,所有 “二阶比增函数 ”组成的集合记为 ? 2 . 已知函数

f ( x) ? x3 ? 2mx2 ? mx ,若 f ( x) ??1 ,且 f ( x) ??2 ,实数 m 的取值范围



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

2a ? b cos( A ? C ) ? c cos C
(Ⅰ)求角 C 的大小, (Ⅱ)若 c ? 2 ,求使 ?ABC 面积的最大值.

18(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1, aa nn

?1

?S 2n ,

n? N*
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 n ? 2

?

an

? 的前 n 项和 T

n

19.(本小题满分 12 分)某卫视推出一档全新益智答题类节目,这档节目打破以往答题类节目 的固定模式,每档节目中将会有各种年龄层次,不同身份,性格各异的 10 位守擂者和 1 位打 擂者参加,以 PK 的方式获得别人手中的奖品,一旦失败,就将掉下擂台,能否“一站到底”成
-3-

为节目最大悬念。现有一位参赛者已经挑落 10 人,此时他可以赢得 10 件奖品离开或者冲击 超级大奖“马尔代夫双人游”,冲击超级大奖会有一定的风险,节目组会精选 5 道题进行考核, 每个问题能正确回答进入下一道,否则失败,此时只能带走 5 件奖品,若 5 道题全部答对则 可以带走 10 件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”。若这位参赛者答对第 1,2,3,4,5 道题的概率分别为 , , , ,

5 2 1 1 1 ,且各轮问题能否正确回答互不影响,求: 6 3 2 3 6

(Ⅰ)该参赛者选择冲击大奖最终只带走 5 件奖品的概率; (Ⅱ)该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和 期望

20.(本小题满分 12 分)已知 F1 , F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, D, E 分 a 2 b2
3 3 , .若点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C S DEF2 ? 1 ? 2 2

别是椭圆的右顶点和上顶点, 椭圆的离心率 e ? 上,则点 N (

x0 y0 , ) 称为点 M 的一个“椭点”,已知直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,且 A, B 两点 a b

的“椭点”分别为 P, Q . (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 是否存在过左焦点 F1 的直线 l , 使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在, 求出该直 线的方程;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? e? x (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 时, f ( x ) ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ( x) ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围 ax ? 1

四 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

-4-

2 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极

π 3

轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? ? x ? t cos ? (t为参数) . ? ? y ? 3 ? t sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 3 2 ,求直线的倾斜角 ? 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 a、 b 为正实数,若对任意 x ? ? 0, ??? ,不等式 ? a ? b ? x ?1 ? x
2

恒成立.

(Ⅰ)求 理由.

1 1 x2 y 2 ? 的最小值; (Ⅱ)试判断点 P ?1, ?1? 与椭圆 2 ? 2 ? 1 的位置关系,并说明 a b a b

2 解: (1)由 ? ? 4 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0

π 3

得圆 C 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 ……………………………………………4 分 (2)将 ?

? ? x ? t cos ? 2 2 代入圆的方程得 (t cos ? ?1) ? (t sin ? ) ? 5 …………5 分 y ? 3 ? t sin ? ? ?

2 化简得 t ? 2t cos ? ? 4 ? 0 ……………………………………………………………6 分

设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 ,则 ?

?t1 ? t2 ? 2cos ? ………………………7 分 ?t1t2 ? ?4

所以 | AB |?| t1 ? t2 |?

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 4cos 2 ? ? 16 ? 3 2 ……………………8 分
π 3π 2 , ? ? 或? ? …………………………………10 分 4 4 2

2 所以 4cos ? ? 2 , cos ? ? ?

-5-

24.解:(1)因为 ? a ? b ? x ?1 ? x , x ? 0 ,所以 a ? b ?
2

1 ? x ……………………1 分 x

因为

1 ? x ? 2 ,所以 a ? b ? 2 …………………………………………………………3 分 x

1 1 b a ?1 1? ?1 1? 2 ? ? ? ? (a ? b) ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 ,所以 ? ? 2 ……………………5 分 a b a b ?a b? ?a b? 1 1 ? 的最小值为 2 …………………………………………………………………6 分 a b 1 1 1 1 ? 2 ? 2 b ? ( a b )2 ? ( 2 )2 ? 1 ………………………………………………7 分 (2)因为 a 2 2 2 1 1 所以 2 ? 2 ? 2 ……………………………………………………………………………8 分 a b
所以

x2 y 2 12 ? ?1? ? ? 1 的外部……………………10 分 即 2? ,所以点 在椭圆 P 1, ? 1 ? 2 ? 1 ? ? a 2 b2 a b2
2

17 解析 an ? n, Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 18.(1)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: = ,

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即 4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) ,

-6-

∵S= absinC=

ab≤

, ,此时 a=b= . ,

∴当 a=b 时,△ ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ ABC 的面积最大为

19 解:(1)因为 (0.004 ? a ? 0.018 ? 0.022 ? 2 ? 0.028) ?10 ? 1 ,所以 a ? 0.006 .………4 分 (2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为

(0.022 ? 0.018) ?10 ? 0.4 ,
所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4. ………8 分 (3)受访职工中评分在 [50,60) 的有: 50 ? 0.006 ?10 ? 3 (人),记为 A1 , A2 , A3 ; 受访职工中评分在 [40,50) 的有: 50 ? 0.004 ?10 ? 2 (人),记为 B1 , B2 . 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人, 所有可能的结果共有 10 种, 它们是 {A1 , A2 },{ A1 , A3},

{A1, B1},{A1, B2},{A2 , A3},{A2 , B1},{A2 , B2},{A3 , B1},{A3 , B2},{B1, B2} ,
又因为所抽取 2 人的评分都在= -k2 . 若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 4k2+1

???? ? ? ? ? ??? ? ???? x1 x2 x1 x2 x1x2 ,y1?,OQ =? ,y2?,因此 OP · OP⊥OQ,而 OP =? = 0 , 即 × + y +y1y2=0, OQ 1y2= 2 2 ? ? ? ? 2 2 4
即 2k2-1 2 =0,解得 k=± . 2 4k2+1 所以所求的直线方程为 y= 2 6 2 6 x+ 或 y=- x- . 2 2 2 2

21.解:(1)f′(x)=aex(x+2),g′(x)=2x+b. 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线, ∴f′(0)=2a,g′(0)=b. ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4. ∴f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2. (2)由(1)得 f′(x)=2ex(x+2). 由 f′(x)>0 得 x>-2,由 f′(x)<0 得 x<-2,

-7-

∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减. ∵t>-3,∴t+1>-2. 当-3<t<-2 时,f(x)在上单调递减,上单调递增, ∴f(x)min=f(-2)=-2e 2.


当 t≥-2 时,f(x)在上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=2et(t+1). 综上所述,当-3<t<-2 时,f(x)min=-2e 2;


当 t≥-2 时,f(x)min=2et(t+1). (3)由(1)得 F(x)=4ex(x+1)-x2-4x. 则 F′ (x)=4ex(x+1)+4ex-2x-4=2(x+2)(2ex-1), 由 F′(x)>0 得 x>-ln 2 或 x<-2, 由 F′(x)<0 得-2<x<-ln 2, 所以 F(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减, 故 F(x)极小值=F(-ln 2)=2+2ln 2-(ln 2)2=2+ln 2(2-ln 2)>0, F(-4)=4e 4× (-4+1)-16+16=-12e 4<0,
- -

故函数 F(x)=2f(x)-g (x)+2 只有一个零点.

-8-


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