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(新课标)高考数学 题型全归纳 正余弦定理例题解析

正余弦定理例题解析
例 1.在△ABC 中,如果 a=18,b=24,A= 45? ,则此三角形解的情况为( B ). A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定 解: 由 bsinA<a<b 故 有两解 选 B 例 2.在△ABC 中,a= 5 ,b= 15 ,A= 30? ,则 c 等于( A. 2 5 B.
5

C ).

C. 2 5 或 5

D. 以上都不对

解: 由 bsinA<a<b 故 有两解 选 C 例 3.在△ABC 中,a∶b∶c=3∶5∶7,则此三角形的最大内角是( B ). A. 150? B. 120? C. 90? D. 135?
1 解:设 a=3k,b=5k,c=7k,由余弦定理易求得 cosC=- 2 ,所以最大角 C 为 120? .

例 4.(1) 在△ABC 中,若 B= 30? ,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积是_____. (2) △ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是_____.
2 3 sin 30? 3 = 30? , 2 2 解:(1) sinC= ,于是 C= 60? 或 120? ,故 A= 90? 或 A

1 AB ? AC ? sin A 由 S△ABC= 2 可得答案 2 3 或 3 . AB BC = (2) 如图所示,由已知得 BC=2AB,又 sin C sin A 1 1 π sin A 2 2 ∴ sinC= ≤ 又∵ 0<C<A ∴ 0<C≤ 6

1 B 2 C

例 5.在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC
a sin 2 B ? b sin 2 A a b a b ? sin 2 B ? sin 2 A = ab b a sin A sin B 证明:由正弦定理 知
2 2

故原式成立. 1 1 S= ? 1 ? tan A 1 ? tan B 求证:S<1 例 6.在锐角三角形 ABC 中,A,B,C 是其三个内角,记
1 1 1 ? tan A ? 1 ? tan B 1 ? tan A ? 1 ? tan B S= ? ? ? 1 ? tan A 1 ? tan B (1 ? tan A )(1 ? tan B ) 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B 证明: ∵

?

sin A sin 2 B sin B ? sin 2 A ? ? 2(sin A ? cos B ? sin B ? cos A) ? 2sin( A ? B) ? 2sin C sin B sin A

∵ A ? B>90? ,∴ 90? ? B<A<90? ,∴ cotB<tanA 即 tan A ? tan B >1,∴ S<1. 例 7.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2 ,且 B 为锐角,判断此三角形的形状.
2 2 2 解:由 lga-lgc=lgsinB=-lg ,得 sinB= ,

-1-

又 B 为锐角,∴ B= 45? ,又 c ∴

a



2 2

sin A

得 sin C



2 2



2 sinC=2sinA=2sin( 135? -C), ∴ sinC=sinC+cosC,

∴ cosC=0 即 C= 90? , 故此三角形是等腰直角三角形. 例 8.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边.
3 2 ① 若△ABC 面积为 ,c=2,A= 60? ,求 b,a 的值.

② 若 acosA=bcosB,试判断△ABC 的形状,证明你的结论.
3 1 = bc sin A=b sin 60? 2 2 解:① 由已知得 ,∴ b=1.

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA=3,∴ a= 3 . ② 由正弦定理得:2RsinA=a,2RsinB=b, 2RsinAcosA=2RsinBcosB 即 sin2A=sin2B, 由已知 A,B 为三角形内角,∴ A+B= 90? 或 A=B, ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 例 9.如图所示,已知在梯形 ABCD 中 AB∥CD,CD=2, AC= 19 ,∠BAD= 60? ,求梯形的高. 解:作 DE⊥AB 于 E, 则 DE 就是梯形的高. ∵ ∠BAD= 60? , ∴ 在 Rt△AED 中, 有 DE=AD sin 60? = 下面求 AD(关键): ∵ AB∥CD,∠BAD= 60? , ∴ 在△ACD 中,∠ADC= 120? , 又∵ CD=2, AC= 19 ,∴ AC =AD ? CD ? 2 AD ? CD cos ?ADC , 即
( 19 ) 2=AD 2 ? 2 2 ?2 AD ? 2 cos 120?
A E B
2 2 2

AD ?

3 3 2 , 即 DE= 2 AD.



D

C

解得 AD=3,(AD=-5,舍).
DE= 3 3 3 3 AD= ? 3= . 2 2 2

将 AD=3 代入①, 梯形的高

7 例 10.如图所示, 在△ABC 中,若 c=4, b=7,BC 边上的中线 AD= 2 , 求边长 a. 解:∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ 可设 CD=DB=x.
?7? 72 ? x2 ? ? ? 7 ?2? . cos C ? 2 2 ? 7 ? x ∵ c=4, b=7, AD= , ∴ 在△ACD 中,有
2

?7? 72 ? x2 ? ? ? 2 2 2 7 2 ? (2 x) 2 ? 42 ? 2 ? ? 7 ? (2 x) ? 4 , cos C ? . 2? 7? x 2 ? 7 ? 2x 2 ? 7 ? 2x 在△ACB 中,有 ∴

2

-2-

9 ∴ x= 2 , ∴ a=2x=9.
7
7 2

A

4 B

C

D

-3-


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