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(新课标)高考数学 题型全归纳 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题

正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛,解这类应用题 需要我们吃透题意,对专业名词、术语要能正确理解,能将实际问题归结为数学问题.求解此 类问题的大概步骤为: (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、 术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等; (2)根据题意画出图形; (3)将要求解的 问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模 型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例 1 某观测站 C 在目标南偏西 25? 方向, 从出发有一条南偏东 35? 走向的公路, 在 C 处测得 公路上与 C 相距 31 千米的处有一人正沿此公路向走去,走 20 千米到达,此时测得 CD 距离 为 21 千米,求此人所在处距还有多少千米? 分析:根据已知作出示意图,分析已知及所求,解 ?CBD ,求角.再解 ?ABC ,求出 AC ,再 求出 AB ,从而求出 AD (即为所求). 解:由图知, ?CAD ? 60? . 北

cos B ?

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 ? ? 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31
12 3 31 .
AC ?
2



25 ?
C

A 35 ?
21



sin B ?

D 20 20

31

B

在 ?ABC 中,

BC ? sin B ? 24 sin A .
2 2

由余弦定理,得 BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB ? cos A . 即 31 ? AB ? 24 ? 2 ? AB ? 24 ? cos 60? .
2 2 2

整理,得 AB ? 24 AB ? 385 ? 0 ,解得 AB ? 35 或 AB ? ?11 (舍).
2

故 AD ? AB ? BD ? 15 (千米). 答:此人所在处距还有 15 千米. 评注:正、余弦定理的应用中,示意图起着关键的作用, “形”可为“数”指引方向,因此, 只有正确作出示意图,方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例 2 在海岸处,发现北偏东 45? 方向,距为 3 ? 1 海里的处有一艘走私船,在处北偏西 75?
-1-

方向,距为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以

10 海里/小时的速度从处向北偏东 30? 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并
求出所需要的时间? 分析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间相等, 可画出示意图,需求 CD 的方位角及由 C 到所需的航行 时间. 解:设缉私船追上走私船所需时间为小时,则有

D

30 ?
C 75 ? 45 ? A
B

CD ? 10 3t , BD ? 10t .
在 △ ABC 中 , ∵ AB ? 3 ? 1 , AC ? 2 ,

?BAC ? 45? ? 75? ? 120? ,
根据余弦定理可得

BC ? ( 3 ? 1) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) cos120? ? 6 .
2? 3 2 ? 2 2 . 6

AC sin120? sin ?ABC ? ? BC 根据正弦定理可得

∴ ?ABC ? 45? ,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而 ?CBD ? 90? ? 30? ? 120? .

在 △BCD 中,根据正弦定理可得:

sin ?BCD ?

BD sin ?CBD 10t ? sin120? 1 ? ? CD 2, 10 3t

∴ △BCD ? 30? , ?BDC ? 30? ,∴ BD ? BC ?

6,

则有 10t ?

6,

t?

6 ? 0.245 10 小时 ? 14.7 分钟.
0

所以缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 评注:认真分析问题的构成,三角形中边角关系的分析,可为解题的方向提供依据.明确方位 角是应用的前提,此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用. 3.航测中正、余弦定理的应用 例 3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250 m ,速度为

180 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 18?30' ,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81? ,求
山顶的海拔高度(精确到 m). 分析:首先根据题意画出图形,如图,这样可在 ?ABM 和 Rt ?BMD 中解出山顶到航线的距
-2-

离,然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解:设飞行员的两次观测点依次为和,山顶为 M ,山 顶到直线的距离为 MD . 如图,在 △ ABM 中,由已知,得

A B D M

?A ? 18?30 ' , ?ABM ? 99? , ?AMB ? 62?30 ' .
AB ? 180 ?


120 ?6 60 ? 60 (km), BM ? 6sin18?30 ' sin 62?30 ' ,

根据正弦定理,可得

MD ?
进而求得

6sin18?30 'sin 81? sin 62?30 ' ,∴ MD ? 2120 (m),

可得山顶的海拔高度为 20250 ? 2120 ? 18130 (m). 评注:解题中要认真分析与问题有关的三角形,正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角 形,从而得到问题的答案. 4.炮兵观测中正、余弦定理的应用 例 4 我炮兵阵地位于地面处,两观察所分别位于地面点 C 和处,已知 CD ? 6000 米,

?ACD ? 45? ,?ADC ? 75? ,目标出现于地面点处时,测得 ?BCD ? 30? ,?BDC ? 15?
(如图) ,求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号). 分析:根据题意画出图形,如图,题中的四点、 、 C 、可构成四个三角形.要求 AB 的长,由于

?ADB ? 75? ? 15? ? 90? , 只需知道 AD 和 BD 的长, 这样可选择在 ?ACD 和 ?BCD 中应用
定理求解. 解:在 △ ACD 中, ?CAD ? 180? ? ?ACD ? ?ADC ? 60? ,

CD ? 6000 , ?ACD ? 45? ,
AD ?
根据正弦定理有

A

CD sin 45? 2 ? CD sin 60? 3 ,

C

?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 135? , 同理, 在 △BCD 中,

45 ? 30 ?

15 ?

75 ?

D

-3-

CD ? 6000 , ?BCD ? 30? ,
BD ?
根据正弦定理有

CD sin 30? 2 ? CD sin135? 2 .

又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90? ,

AB ? AD 2 ? BD 2 ?
根据勾股定理有: 所以炮兵阵地到目标的距离为 1000 42 米.

2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 3 2 6 .

评注:应用正、余弦定理求解问题时,要将实际问题转化为数学问题,而此类问题又可归结 为解斜三角形问题,因此,解题的关键是正确寻求边、角关系,方能正确求解. 5.下料中正余弦定理的应用 例 5 已知扇形铁板的半径为, 圆心角为 60? , 要从中截取一个面积最大的矩形, 应怎样划线? 分析:要使截取矩形面积最大,必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上,即为扇形的内接 矩形,如图所示.

B

B P

P

Q
O

x

M

(1)

N A

O

Q x E
M (2 )

D

N
A

解:在图(1)中,在 AB 上取一点,过作 PN ? OA 于 N ,过作 PQ ? PN 交 OB 于 Q ,再过

Q 作 QM ? OA 于 M .

OP PQ ? 设 ?AOP ? x ,PN ? R sin x .在 △POQ 中, 由正弦定理, 得 sin(180? ? 60?) sin(60? ? x) .
PQ ?


2 3 R sin(60? ? x) 3 . 2 3 2 3 2 R sin x ? sin(60? ? x) ? R ? cos(2 x ? 60?) ? cos 60?? 3 3

S ? PN ? PQ ?
于是

?

3 2 1 3 2 R (1 ? ) ? R 3 2 6 .

-4-

3 2 R 当 cos(2 x ? 60?) ? 1 即 x ? 30? 时, S 取得最大值 6 .
在图(2)中,取 AB 中点 C ,连结 OC ,在 AB 上取一点,过作 PQ // OC 交 OB 于 Q ,过 作 PN ? PQ 交 AB 于 N ,过 Q 作 QM ? PQ 交 CA 于 M ,连结 MN 得矩形 MNPQ ,设

?POC ? x ,则 PD ? R sin x .
R R ? 在 △POQ 中,由正弦定理得: sin(180? ? 30?) sin(30? ? x) ,
∴ PQ ? 2 R sin(30? ? x) . ∴

S ? 2 PD ? PQ ? 4 R 2 sin x ? sin(30? ? x) ? 2 R 2 ? cos(2 x ? 30?) ? cos 30??

? 2 R 2 (1 ? cos 30?) ? (2 ? 3) R 2 (当 x ? 15? 时取“” ).
∴当 x ? 15? 时, S 取得最大值 (2 ? 3) R .
2

3 2 R ? (2 ? 3) R 2 ∵ 6 ,
∴作 ?AOP ? 30? ,按图(1)划线所截得的矩形面积最大. 评注:此题属于探索性问题,需要我们自己寻求参数,建立目标函数,这需要有扎实的基本 功,在平时学习中要有意识训练这方面的能力. 综上,通过对以上例题的分析,要能正确解答实际问题需: ( 1)准确理解有关问题的陈述材 料和应用的背景; (2)能够综合地,灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生 产、生活、科学实验相结合的数学问题.

-5-


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