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高中数学思维校本课程


肥城市第六中学 校本研修评估考核材料

二 0 一 五 年 十一 月


课程开发与实施安排表 校本课程实施纲要 第一部分 数学思维的变通性 (1)善于观察 (2)善于联想 (3)善于将问题进行转化 第二部分 数学思维的反思性



(1) 检查思路是否正确,注意发现其中的错误 (2) 验算的训练 (3) 独立思考,敢于发表不同见解

校本课程开发与实施安排表
课程开发 开发教师 生活中的数学 教研组 数学组

以全面贯彻落实课改精神为宗旨,以数学思维为主线,提高学生学 习数学的兴趣,全面推进素质教育。 课程学习目标 1、通过教学,增强学生学习数学的兴趣; 2、通过教学,让学生了解数学源于生活、应用于生活; 3、通过数学,培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力 第一部分 数学思维的变通性 第二部分 数学思维的反思性 课程内容设计 第三部分 数学思维的严密性 第四部分 数学思维的开拓性 可提供的 教材方式 总教案数 适用年级 教学设备要求 所需课时 参考文献 考核方式 考核指标 及标准 学科组长意见 学生选报情况 综述(包括学 生应具备的基 本素质) 校本课程指导 小组意见 上届学生反馈 及需完善的地 方 出勤率 0.2 日常作业 0.1 考核(学分) 0.6 总评 1 6-8 上课形式 高一、高二 选课人数 多媒体 集体 60

《数学思维》

校本课程纲要 一、基本项目 课程名称: 《数学思维》 授课老师: 授课对象:高一、高二年级部分学生 教学材料:相关网站、资料 二、课程目标 以全面贯彻落实课改精神为宗旨,以数学思维为主线,提高学生 学习数学的兴趣,全面推进素质教育。 1、通过教学,增强学生学习数学的兴趣; 2、通过教学,让学生了解数学源于生活、应用于生活; 3、通过数学,培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力 课程内容: 第一部分 数学思维的变通性 第二部分 数学思维的反思性 第三部分 数学思维的严密性 第四部分 数学思维的开拓性 四、课程实施建议 基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模 拟训练、考查等。 五、课程评价 评价指标(一) :学生自评与互评相结合,即上课出勤情况、课

堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况; 评价指标(二) :平时模拟训练与考查相结合; 评价指标(三) :教师综合评定给与相应等级; 评价等级均为:优秀、良好、中等、须努力四档

第一讲
一、概念

数学思维的变通性

数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案 是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识, 提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现,本讲 将着重进行以下几个方面的训练: (1)善于观察 (2)善于联想 (3)善于将问题进行转化 (1)观察能力的训练 任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就 必须依据题目的具体特征, 对题目进行深入的、 细致的、 透彻的观察, 然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找 到解题方法。 虽然观察看起来是一种表面现象, 但它是认识事物内部规律的基础。 所以,必须重视观察能力的训练,使学生不但能用常规方法解题,而 且能根据题目的具体特征,采用特殊方法来解题。 例 1 已 知
a, b, c, d















a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .

思路分析

从题目的外表形式观察到,要证的

结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而
y 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点,

A(a, b)

可采用下面巧妙而简捷的证法,这正是思维变通的体现。
B (c, d )

证明

不妨设 A(a, b), B(c, d ) 如图 1-2-1 所示,
O

则 AB ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .
OA ? a 2 ? b 2 , OB ? c 2 ? d 2 ,

图 1-2 -1

x

在 ?OAB 中,由三角形三边之间的关系知:
OA ? OB ? AB 当且仅当 O 在 AB 上时,等号成立。

因此, a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .

例2 已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6x ,试求 x 2 ? y 2 的最大值。 解 由

3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得

3 y 2 ? ? x 2 ? 3x. 2 3 ? y 2 ? 0,? ? x 2 ? 3 x ? 0,? 0 ? x ? 2. 2

又 x 2 ? y 2 ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? ,
1 9 ? 当 x ? 2 时, x 2 ? y 2 有最大值,最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2

3 2

1 2

9 2

思路分析

要求 x 2 ? y 2 的最大值,由已知条件很快将 x 2 ? y 2 变为
1 2 9 2

一元二次函数 f ( x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , 然后求极值点的 x 值, 联系到 y 2 ? 0 , 这一条件,既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件,体 现了思维的变通性。

例3 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0), 满足关系
f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,试比较 f (0.5) 与 f (? ) 的大小。

思路分析

由已知条件 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 可知,在与 x ? 2 左右等距
x?2

离的点的函数值相等,说明该函数的图像关于直线 y 称,又由 已知条件知它的开口向上,所以,可根据该函数的大 图像简捷地解出此题。 解 (如图 1-2-2)由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,
O 2




x

图 1-2-
2

知 f ( x) 是以直线 x ? 2 为对称轴,开口向上的抛物线 它与 x ? 2 距离越近的点,函数值越小。
? 2 ? 0.5 ? 2 ? ? ? f (0.5) ? f (? )

(2)联想能力的训练 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都 是不明显的、间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何, 取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联想, 将问题打开缺口,不断深入。 例如,解方程组 ?
?x ? y ? 2 . ? xy ? ?3

这个方程指明两个数的和为 2 ,这两个数的积为 ? 3 。由此联想到 韦达定理, x 、 y 是一元二次方程 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 的两个根, 所以 ?
? x ? ?1 ? x ? 3 或? .可见,联想可使问题变得简单。 ? y?3 ? y ? ?1

例4 在 ?ABC 中,若 ?C 为钝角,则 tgA ? tgB 的值 (A) 等于 1 不能确定 思路分析 此题是在 ?ABC 中确定三角函数 tgA ? tgB 的值。因此,联
tgA ? tgB 可得下面解法。 1 ? tgA ? tgB

(B)小于 1

(C) 大于 1

(D)

想到三角函数正切的两角和公式 tg ( A ? B) ?

解 ? ?C 为钝角,? tgC ? 0 .在 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 且 A、B均为锐角,
tgA ? tgB ? 0. 1 ? tgA ? tgB ? tgA ? 0, tgB ? 0,?1 ? tgA ? tgB ? 0.即tgA ? tgB ? 1. ? tgC ? tg ?? ? ( A ? B)? ? ?tg ( A ? B) ? ?

故应选择(B) 例5 若 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0, 证明: 2 y ? x ? z. 思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是,如果注意观察

已知条件的特点,不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是, 我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。 证明 当 x ? y ? 0 时,等式 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0

可看作是关于 t 的一元二次方程 ( x ? y)t 2 ? ( z ? x)t ? ( y ? z) ? 0 有等根 的条件,在进一步观察这个方程,它的两个相等实根是 1 ,根据韦 达定理就有:
y?z ?1即 x? y

2y ? x ? z

若 x ? y ? 0 , 由 已 知 条 件 易 得 z ? x ? 0, 即 x ? y ? z , 显 然 也 有
2y ? x ? z .

例6 已知 a、b、c 均为正实数,满足关系式 a 2 ? b 2 ? c 2 ,又 n 为不小 于 3 的自然数,求证: a n ? b n ? c n . 思路分析 由条件 a 2 ? b 2 ? c 2 联想到勾股定理 , a、b、c 可构成直

角三角形的三边,进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。 证明 角,于是
sin A ? a b , cos A ? , 且 0 ? sin A ? 1, 0 ? cos A ? 1, c c

设 a、b、c 所对的角分别为 A 、 B 、 C. 则 C 是直角, A 为锐

当 n ? 3 时,有 sin n A ? sin 2 A, cosn A ? cos2 A 于是有 sin n A ? cosn A ? sin 2 A ? cos2 A ? 1 即 从而就有
a b ( ) n ? ( ) n ? 1, c c

an ? bn ? cn .

(3)问题转化的训练 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连 续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数 学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是 把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问 题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后, 就要寻求转化关系。 例如,已知 ? ? ?
1 a 1 b 1 c 1 , (abc ? 0, a ? b ? c ? 0) , a?b?c

求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论,可以转化为:
(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0

思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是 指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后, 往往会用同样的思维 方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式,使思维 受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,必须加以克服。 综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思 维变通性的具体体现。 要想提高思维变通性, 必须作相应的思维训练。 1 ○ 转化成容易解决的明显题目 已知 a ? b ? c ? ? ? ? 1, 求证 a 、b 、c 中至少有一个等于
1 a 1 b 1 c

例 11 1。

思路分析

结论没有用数学式子表示,很难直接证明。首先将结

论用数学式子表示,转化成我们熟悉的形式。 a 、 b 、 c 中至少有一个 为 1,也就是说 a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零,这样,问题就容易 解决了。 证明 ? ? ? ? 1, 于是
?
1 a 1 b 1 c ? bc ? ac ? ab ? abc .

(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ? abc ? (ab ? ac ? bc ? 1) ? (a ? b ? c) ? 0.

a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零,即 a 、 b 、 c 中至少有一个

为 1。 思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫,左变右变,还是不

知如何证明三者中至少有一个为 1,其原因是不能把要证的结论“翻 译”成数学式子,把陌生问题变为熟悉问题。因此,多练习这种“翻 译” ,是提高转化能力的一种有效手段。 例12 直 线 L 的 方 程 为 x ? ?
p ,其中 p ? 0 ;椭圆 E 的中心为 2

O ?( 2 ? p 2

p ,0) ,焦点在 X 轴上,长半轴为 2,短半轴为 1,它的一个顶点 2

为 A( ,0) ,问 p 在什么范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,它们 中的每一点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离。 思路分析 应在抛物线
y 2 ? 2 px

从题目的要求及解析几何的知识可知,四个不同的点

(1) 是,又从已知条件可得椭圆 E 的方程为
[ x ? (2 ? 4 p 2 )] 2 ? y2 ? 1

(2) 因此,问题转化为当方程组(1) 、 (2)有四个不同的实数解时, 求 p 的取值范围。将(2)代入(1)得:
x 2 ? (7 p ? 4) x ? p2 ? 2 p ? 0. 4

(3) 确定 p 的范围,实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件,解 不等式组:
? p2 2 ( 7 p ? 4 ) ? 4 ( ? 2 p) ? 0 ? 4 ? 2 ?p ? 2p ? 0 ? ? 4 ? ? ? 7p ?4 ? 0

在 p ? 0 的条件下,得 0 ? p ? 13. 本题在解题过程中,不断地把问题化归为标准问题:解方程组和

不等式组的问题。 2 ○ 逆向思维的训练

逆向思维不是按习惯思维方向进行思考,而是从其反方向进行思 考的一种思维方式。 当问题的正面考虑有阻碍时, 应考虑问题的反面, 从反面入手,使问题得到解决。 例 13 已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? n ,求证 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少

有一个不小于 1. 思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一” ,它也是中

学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样,或以否定 形式给出时,一般可考虑采用反证法。 证明 于 1。 则
① ② ③
? f (1) ? 1 ?? 1 ? 2 ? m ? n ? 1 ?? 3 ? m ? n ? ?1 ? ? ? ? f (2) ? 1 ? ?? 1 ? 8 ? 2m ? n ? 1 ? ?? 9 ? 2m ? n ? ?7 ? ?? 1 ? 18 ? 3m ? n ? 1 ?? 19 ? 3m ? n ? ?17 ? ? f (3) ? 1 ?

(反证法)假设原命题不成立,即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 都小

①+③得

? 11 ? 2m ? n ? ?9 ,

与②矛盾,所以假设不成立,即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小 于 1。 3 ○ 一题多解训练

由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同, 因而,同一问题可能得到几种不同的解法,这就是“一题多解” 。通

过一题多解训练,可使学生认真观察、多方联想、恰当转化,提高数 学思维的变通性。 例 14 已知复数 z 的模为 2,求 z ? i 的最大值。

解法一(代数法)设 z ? x ? yi( x、y ? R),
则x 2 ? y 2=4. z ? i ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? 2 y .

? y ? 2, ? 当 y ? ?2 时, z ? i max ? 3.

解法二(三角法)设 z ? 2(cos? ? i sin ? ), 则 z ? i ? 4 cos 2 ?+(2 sin ? ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin ? .
?当sin ? ? ?1时, z ? i max ? 3.
y

解法三(几何法)
? z ? 2,? 点z是圆x 2 ? y 2 ? 4上的点, z ? i 表示z与i所对应的点之间的距离 。
O .i . -2i Z x

如图 1-2-3 所示,可知当 z ? ?2i 时, z ? i max ? 3. 解法四(运用模的性质)
? z ? i ? z ? ? i ? 2 ?1 ? 3

图 1-2-3

而当 z ? ?2i 时, z ? i ? 3.? z ? i max ? 3. 解法五(运用模的性质)
? z ? i ? ( z ? i )( z ? i ) ? zz ? ( z ? z )i ? 1
2

? 5 ? 2I ( z), ( I ( z)表z的虚部) .
2 又? I ( z ) ? 2,? z ? i max ? 9,? z ? i max ? 3.

第二讲
一、概述

数学思维的反思性

数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解, 精细地检查 思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假 设,获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。 本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。 二、思维训练实例 (1) 例1 检查思路是否正确,注意发现其中的错误。 已知 f ( x) ? ax ? , 若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围。 由条件得
?? 3 ? a ? b ? 0 ? ? b 3 ? 2a ? ? 6 ? 2 ?
x b

错误解法




×

2







6 ? a ? 15


④则

×
③ +④ 得

2







?

8 b 2 ? ?? 3 3 3

10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3

错误分析

采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件
x b

的函数 f ( x) ? ax ? ,其值是同时受 a和b 制约的。当 a 取最大(小)值 时, b 不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有
? f (1) ? a ? b ? ? b f (2) ? 2a ? ? 2 ?

解得: a ? [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)],
? f (3) ? 3a ? b 16 5 ? f (2) ? f (1). 3 9 9 16 37 ? f (3) ? . 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 3 3

1 3

2 3

在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了 思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。 例2 证明勾股定理:已知在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,求证 c 2 ? a 2 ? b 2 . 错误证法 在 Rt ?ABC 中, sin A ? , cos A ? , 而 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,
a c b c

a b ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1 ,即 c 2 ? a 2 ? b 2 . c c

错误分析

在现行的中学体系中, sin 2 A ? cos2 A ? 1 这个公式本身

是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提 条件,叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的,而且不 易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、法则、定理,既要熟悉 它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避 免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反 思性的体现。

(2)

验算的训练

验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题 过程的正确性,增强思维的反思性。 例3 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,求 a n . 错误解法 错误分析
an ? S n ? S n?1 ? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1) ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1.

显然,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 21?1 ? 1 ,错误原因,没有

注 意 公 式 a n ? S n ? S n?1 成 立 的 条 件 是 n ? 2 (n ? N ). 因 此 在 运 用
?S1 (n ? 1) an ? S n ? S n?1 时,必须检验 n ? 1 时的情形。即: a n ? ? ?S n (n ? 2, n ? N )

例4 实数 a 为何值时,圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x 有 两个公共点。 错误解法 去y, 得 ①
?? ? 0 ? 1 因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得 ? ?2 a ? ? 0 2 ? 2 ? ?a ? 1 ? 0.
1 x 2 ? (2a ? ) x ? a 2 ? 1 ? 0 ( x ? 0). 2

1 2

将圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x 联立,消

1 2

解之,得 a ? 错误分析

17 . 8

(如图 2-2-1;2-2-2)显然,当 a ? 0 时,圆与抛

物线有两个公共点。
y y

O

x

O

x

图 2-2-
1

图 2-2-
2

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负 根;或有两个相等正根。 当方程①有一正根、一负根时,得 ? 因此,当 a ?
y2 ?

?? ? 0
2 ?a ? 1 ? 0.

解之,得 ? 1 ? a ? 1.

17 或 ? 1 ? a ? 1 时,圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 8

1 x 有两个公共点。 2 1 2

思考题: 实数 a 为何值时, 圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x , (1) (2) (3) (4) 有一个公共点; 有三个公共点; 有四个公共点; 没有公共点。

养成验算的习惯,可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方 程、无理不等式;对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等 式两端代数式的定义域可能会发生变化, 这样就有可能产生增根或失 根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。 (3) 独立思考,敢于发表不同见解

受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己 的看法,这不利于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极 地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的 反思性,从而培养创造性思维。 例5 解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? cos x.

考察方程两端相应的函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2, y ? cos x , 它们的图象无交 点。 所以此方程无解。 例 6 设 ?、? 是方程 x 2 ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (? ? 1) 2 ? (? ? 1) 2 的最小值是(
( A) ? 49 ; 4


( B) 8; (C ) 18; ( D)不存在

思路分析

本例只有一个答案正确, 设了 3 个陷阱, 很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得: ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,
? (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4(k ? ) 2 ? . 4 4

有的学生一看到 ?

49 ,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这 4

正是思维缺乏反思性的体现。 如果能以反思性的态度考察各个选择答 案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。
? 原方程有两个实根 ?、? ,
? ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0, ? k ? ?2 或 k ? 3.

当 k ? 3 时, 当 k ? ?2 时, (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 8; (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 18; 这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。


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