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第5讲 函数的图像stu


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第5讲
一.课标要求: 二.命题走向 三.要点精讲

函数的图像

1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法 是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶 性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,要把线连在 恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助 于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图 象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这也是个难点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换:
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Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右

(a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下
左移 h 右移 h

(a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
原点 x轴

y轴

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直线 y ? x

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y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;
直线 x ? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉 原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部 分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长

(a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;
y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长
y?a

(a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的

1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x? a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:
? ?1
0?? ?1

? ?0

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在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数 y ? x ? 中 ? 限于在集合

1 1 1 ? ? ??2 , ? 1, ? , , ,1,2 ,3? 中取值。 2 3 2 ? ?
幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交; ⑵定义域为 R 或 ( ? ?,0) ? (0, ? ?) 的幂函数都具有奇偶性,定义域为 R 或 0, ? ? 的 幂函数都不具有奇偶性; ⑶幂函数 y ? x ? (? ? 0) 都是无界函数;在第一象限中,当 ? ? 0 时为减函数,当 ? ? 0 时为增函数; ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点;
?

?

?

四.典例解析
题型 1:作图 例 1.(2012 沈阳二中阶段考试)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

A

B

C 例 2.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(

D

b x ) 的图象只可能是( a



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题型 2:识图 例 3.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时间 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为 10℃,令 C (t ) 表示时间段 0, t 的平均气温, C (t ) 与 t 之间的 示,则正确的应该是( )

? ?

函数关系用下图表

例 4.一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系,如图 2—1 所示,图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每个月的用电量.根据这些信息,以下关于该 家庭用电量与其气温间关系的叙述中,正确的是( )

A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 题型 3:函数的图象变换 例 5.函数 y=1-

1 的图象是( x ?1



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例 6. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。 现将 y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如 图 2 所示),则函数 f ( x) 的表达式为( )

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2

?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x ) ? ? x ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2
题型 4:函数图象应用

?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? D. f ( x ) ? ? x ? 3,2 ? x ? 4 ? ?2

例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是(
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x



y

y
x

y
x
B

y x
C
y


o

o

o

o
D

x

A

例 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范围。 题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为(

o

A.2 B.3 C.4 D.2 或 3 或 4 2 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取 值范围是( )
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1

2

x

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A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

题型 6:幂函数概念及性质
m

例 11.函数 y ? x n (m, n ? Z , m ? 0, | m |, | n | 图所示,则( )

y

互质)图像如

A. m n ? 0, m, n 均为奇数 B. m n ? 0, m, n 一奇一偶 C. m n ? 0, m, n 均为奇数 D. m n ? 0, m, n 一奇一偶 例 12.画出函数 y ? O x

3 ? 2x 的图象,试分析其性质。 x?3

题型 7:抽象函数问题 例 13.函数 f ( x) 的定义域为 D: {x | x ? 0} 且满足对于 任意 x1 , x2 ? D ,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; ( Ⅲ ) 如 果

f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上 是
增函数,求 x 的取值范围。 例 14 . 设 函 数 f ( x)在(??,??) 上 满 足

f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0.
(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。 题型 8:函数图象综合问题 例 15.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2。又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△ AB′C 的面积为 f(a),△ A′BC′的面积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。 例 16.设曲线 C 的方程是 y ? x ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s (t ? 0) 个单位长度后
3

得到曲线 C1 ,
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(1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ?

t s 2 2

t2 ?t 4

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五.思维总结
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调 性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位 各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) ; 偶函数 f (? x) ? f ( x) 。 (2)函数单调性: 单调递增

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 。 x1 ? x2
T T ) ? f (x ? ) ; 2 2

单调递增

(3)函数周期性 周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x) 或 f ( x ? (4)对称性 关于 y 轴对称: f (? x) ? f ( x) ; 关于原点对称: f (? x) ? ? f ( x) ; 关于直线 x ? a 对称: f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ; 关于点 ( a, b) 对称: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x) 。

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