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知识专题检测六 排列

知识专题检测六 排列、组合、二项式定理、概率与统计 一、选择题 1.在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 2.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名 女生,则选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 3. (06 湖南)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 4. ( x ? (A)0
1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x

(B)2

(C)4

(D)6

i ? ? 2 3 2 5. (理科做)已知 ? x ? ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- ,其中 i =-1, 14 x? ?
则展开式中常数项是 (A)-45i (B) 45i (C) -45 (D)45

n

(文科做)若 3 x —

?

1 x

? n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为

(A)-540 (B)-162 (C)162 (D)540 6.(06 重庆)高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节 目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040 7.袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随 机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 A.
1 2 3 4 C4 C8 C12C16 10 C40

B.

2 1 3 4 C4 C8C12C16 10 C40

C.

2 3 1 4 C4 C8 C12C16 10 C40

D.

1 3 4 2 C4 C8 C12C16 10 C40

8. 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为 (



1 A. 7

2 B. 7

3 C. 7

4 D. 7

9.(06 重庆)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁 -18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 10. (06 江苏)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器 与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就 不能接收到信号。 若将图中左端的六个接线点随机地平均分 成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接, 则这五个接收器 能同时接收到信号的概率是 (A)
4 45

信号源

(B)

1 36

(C)

4 15

(D)

8 15

二、填空题 11.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均 成绩是 81 分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分. 12. (06 全国 I)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、 乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种。 (用数字作答) 13. ?1 ? 2 x ? 展开式中的 x 3 系数为
10

(用数字作答)

14.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首 尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 15. (06 湖南)若 (ax ? 1) 的展开式中 x 3 的系数是-80,则实数 a 的值是
5

.

16. (理科做)设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1,2,3,4。 P(? ? k ) ? ak ? b ( k ? 1, 2,3,4) 。又 ? 的数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ? ;

(文科做) 在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学, 从中任意地挑选 2 名同学担任交通安 全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示) 。 三、解答题 17. (06 湖北)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至 多参加了其中一组。在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占

10%。登山组的职工占参加活动总人数的

1 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%, 4

老年人占 10%。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽 样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本。试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18. (理科做)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配 方式作比较。 在试制某种牙膏新品种时, 需要选用两种不同的添加剂。 现有芳香度分别为 0, 1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同 的添加剂进行搭配试验。用 ? 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 (Ⅰ)写出 ? 的分布列; (以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E? 。 (要求写出计算过程或说明道理) (文科做)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是 否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率. 19. (06 福建)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字 1, 2,3, 4,5,6). (I)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率; (III)连续抛掷 5 次,求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。 20. (理科做)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: 7 8 9 10 0.2 0.3 0.3 0.2 0 现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ? .

X P

6

(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率 (II)求 ? 的分布列 (文科做)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙 机床产品的正品率是 0.95. (Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答) ; (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率(用数字 作答) .

答案与点拨: 1 B 解:依题意,所选的三位数字有两种情况: (1)3 个数字都是奇数,有 A 3 种方法(2)
1 3 3 1 3 3

3 个数字中有一个是奇数,有 C3 A 3 ,故共有 A 3 + C3 A 3 =24 种方法,故选 B
3 2 B 解:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 ? A43 =186 种,选

B. 3 D 解:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4 ? 36 种
1 2

方案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 A4 ? 24 种方案,共计有 60 种方案,选 D.
3

4 B 点拨:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
3r ?10 1 ? ? r r 1 10 ? r r 1 10 ? r 解:? x ? ? C10 ( ) x 2 ,因此含 x 的正整数 ? 的展开式通项为 C12 ( x ) ( ) 3x ? 3x 3 ?

10

次幂的项共有 2 项.选 B 反思: 多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减 运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用 ,例如求常数项,可令 x ? 0 .在二项式的展开式 中,要注意项的系数和二项式系数的区别. 5(理) A 解:第三项的系数为- Cn ,第五项的系数为 Cn ,由第三项与第五项的系数之
40 ?5 r i r 3 r 2 10 ?r r r ) = (?i) C10 x 2 ,令 40-5r=0,解得 比为- 可得 n=10,则 Tr ?1 ? C10 (x ) ( ? 14 x
2 4

r=8,故所求的常数项为 ( ?i ) C10 =45,选 A
8 8

? 1 ? n ? (文)A 解:若 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 2 =64, n ? 6 ,则展开式的常 x? ?
数项为 C6 (3 x ) ? (?
3 3

n

1 3 ) =-540,选 A. x
5 2

6 B 解:不同排法的种数为 A5 A6 =3600,故选 B 7 A 解:依题意,各层次数量之比为 4?3?2?1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,白球抽 2 个,黄 球抽一个,故选 A 8 C 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 =56 个三角形,要得等腰直角三角形 共有 6×4=24 个(每个面内有 4 个等腰直角三角形) ,得
3

24 ,所以选 C。 C83

9 C 解:根据该图可知,组距为 2,得这 100 名学生中体重在 ?56 .5,64.5? 的学生人数所占 的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是 40,选 C. 率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已 10 D 点拨:本题主要考查平均分组问题及概率问题.
2 2 C62 ? C4 ? C2 ? 15 种结果,五个接收器能同时 解:将六个接线点随机地平均分成三组,共有 3 A3
1 1 1 接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有 C4 ? C2 ? C1 ? 8 种结果,这五个接收器能同时

接收到信号的概率是

8 ,选 D 15

11 85 分 解:某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析 两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数 学建模兴趣班的平均成绩是

40 ? 90 ? 50 ? 81 ? 85 分 90
2

12 2400 解:先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A5 =20 种排法,其余 5 人再进行排列, 有 A5 =120 种排法,所以共有 20× 120=2400 种安排方法。
3 3 13 -960 解: ?1 ? 2 x ? 展开式中的 x 项为 C10 ?1 ? (?2 x) ? ?960 x , x 的系数为-960。
10

5

3

7

3

3

14 48 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填 48. 15 -2 值是-2. 16 (理)解:设离散性随机变量 ? 可能取的值为 1, 2,3, 4, P ?? ? k ? ? ak ? b ? k ? 1, 2,3, 4 ? , 所以

(ax ? 1) 的展开式中 x 3 的系数 C5 (ax) ? (?1) 10a x = ? 80 x3, 则实数 a 的 解:
5
3 3 2 3 3

(a ? b) ? (2a ? b) ? (3a ? b) ? (4a ? b) ? 1 ,即 10a ? 4b ? 1,又 ? 的数学期望 E? ? 3 ,
则 (a ? b) ? 2(2a ? b) ? 3(3a ? b) ? 4(4a ? b) ? 3 , 即 3 0 , a? a ? 1b 0? 3

1 ,b ? 0 , ∴ 10

a ?b ?

1 . 10

(文)解:在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安 全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是 P ?

C82 14 ? . 2 C12 33

17 本小题主要考查分层抽样的概念和运算,以及运用统计知识解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、

c,则有

x?40% ? 3xb x? 10% ? 3xc ? 47.5%, ? 10% ,解得 b=50%,c=10%. 4x 4x

故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%。 (Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200 ? ? 40% ? 60 (人) ;抽取的中年人数为

3 4

3 3 ;抽取的老年人数为 200 ? ? 10%=15(人) 200 ? ? 50%=75(人) 4 4
18 (理)解: (Ⅰ)

?
P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 15

1 15

2 15

2 15

3 15

2 15

2 15

1 15

1 15

(Ⅱ) E? ? 1?

1 1 2 2 3 2 2 2 1 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15

(文)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(A·B· C )+P( A ·B·C)+P(A· B ·C)+P(A·B·C) =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75. (Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率 p2=

1 1 1 P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C) 3 3 3 1 1 = ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)= ×1.29=0.43 3 3
6?5 5 ? . 6?6 6

19 本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解: (I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同”,则 P( A) ? 答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为 . (II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6”。

5 6

?向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2, 4) 、 (3,3) 、 (4, 2) 、 (5,1) 5 种,
? P( B) ? 5 5 ? . 6 ? 6 36 5 . 36

答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为

20 (理)解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P(7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ; (Ⅱ)

? 的可能取值为 7、8、9、10
P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21

P(? ? 7) ? 0.04

P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39 P(? ? 10) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.2 2 ? 0.36

? 分布列为

?
P

7 0.04

8 0.21

9 0.39

10 0.36

(Ⅲ) ? 的数学希望为 E? ? 7 ? 0.04 ? 8 ? 0.21 ? 9 ? 0.39 ? 10 ? 0.36 ? 9.07 . (文)解: (I)任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为

P3 (2) ? C32 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243.
(II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床的 1 件产 品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概率为

P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995.
解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为

1 ? P( A.B) ? 1 ? 0.1? 0.05 ? 0.995.