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北京市2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 三角函数 理


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三 角
一、选择、填空题 1、(2015 年北京高考)在 ?ABC 中, a ? 4, b ? 5, c ? 6 则





sin 2 A ? sin C



2、(2014 年北京高考)设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [ 单调性,且 f ?

? ?

, ] 上具有 6 2

?? ? ? 2? ? ?? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?

3、(朝阳区2015届高三一模)在△ABC 中,若 A= ,cosB=

?

3

6 ,BC = 6,则 AC = 3

A.4 2

B. 4

C.2 3

D.

4 3 3

4、(东城区 2015 届高三二模) sin(?

23? )? 6
(B) ?

(A) ?

3 2

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

5、(丰台区 2015 届高三一模)将函数 y ? cos( x ?

1 2

?
6

) 图象向左平移

? 个长度单位,再把所得图 3

象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x + (C) y ? cos x

?
6

)

1 x 4 1 ? (D) y ? cos( x ? ) 4 3
(B) y ? cos

6、(海淀区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ( ? 为常数)为奇函数,那么 cos ? ? ( (A) ? )

2 2

(B) 0

( C)

2 2

(D) 1

7、(西城区2015届高三一模)在△ABC 中,角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若

1

则a =

.

8、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)如图,某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数

y ? A sin??x ? ? ? ? b (其中 ? ? 0 ,

? ? ? ? ? ), 2

则估计中午 12 时的温度近似为( A. 30 ℃ B. 27 ℃

) C.25 ℃ D.24 ℃

9、 (海淀区 2015 届高三上学期期中) 要得到函数 y ? sin(2 x ? 图象( )

π ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 2 x 的 3

? ? 个单位 (B)向左平移 个单位 3 6 ? ? (C)向右平移 个单位 (D)向右平移 个单位 3 6
(A)向左平移 10、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ,下面结论中正确的 是 A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B.图象 C 关于点 ( ,0) 对称 C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 在区间 (?

? 3

? 6

? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2
π ,则 A 等于 3

11、(大兴区 2015 届高三上学期期末)在 ?ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , B ? (A) (C)
π 6
3π 4

(B) (D)

π 4

π 3π 或 4 4 12、 (西城区 2015 届高三上学期期末) 在锐角 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 a ? 2b ,

sin B ?

3 ,则( 4



2

(A) A ?

? 3

(B) A ?

? 6

(C) sin A ?

3 3

(D) sin A ?

2 3


13、 (东城区2015届高三上学期期末)在△ ABC 中,a ? 3 ,b ? 13 , B ? 60? ,则 c ? △ ABC 的面积为_______ 14、(通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一))将函数 f ? x ? ? cos ? x ? 不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,所得图象的一条对称轴方程可能是 A. x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标 3?
2? 3

?
3

B. x ? ?

?
6

C. x ? ?

?
3

D. x ? ?

15、(延庆县 2015 届高三 3 月模拟)设 a ? sin393? , 则 a,

b ? cos55? , c ? tan50? ,

b , c 的大小关系为(
D. a ? c ? b



A. a ? b ? c C. b ? a ? c

B. c ? b ? a

二、解答题

x x x 1、(2015 年北京高考)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin . 2 2 2
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ?? ? ,0? 上的最小值.

2

3

2 、 ( 2014 年 北 京 高 考 ) 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?B ?

?
3

, AB ? 8 , 点 D 在 BC 边 上 , 且

CD ? 2, c o s?A D C ?
(1)求 sin ?BAD

1 7

(2)求 BD, AC 的长

3、(2013 年北京高考)在△ABC 中,a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A, (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.

4、(朝阳区2015届高三一模)已知函数 f (x) = cos x +

2

3 sin x cos x,x∈R.

(1)求 f (x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设 x = m(m∈R )是函数 y = f (x)图象的对称轴,求sin 4m的值.

sin 2 x ? 2sin 2 x 5、(东城区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? . sin x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及其最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

6、(房山区 2015 届高三一模)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R ) .

(Ⅱ)在△ ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ? A ? ? 圆的半径为 3 ,求 a 的值.

1 ,且△ ABC 外接 2

4

7、 (丰台区 2015 届高三一模)已知函数 f ( x) ? cos 2 周期为 ? .

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

(? ? 0) 的最小正

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

8、(海淀区 2015 届高三二模)在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , a ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求证: ? B ? 2? A .

3 6 cos A . 2

9、 (石景山区 2015 届高三一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (Ⅰ)求函数 f (? ) 的值域; (Ⅱ)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 f (C) ? 2 ,且 a ?
Q P O α x y

? 后与单位圆交于 2

2 , c ? 1 ,求 b .

10、(西城区2015届高三一模)设函数

(Ⅰ)当

, 时,求函数 f (x)的值域;

(Ⅱ)已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点,求相邻两个交点间的最短距离.

5

11、(西城区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin 象如图所示. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

x x x cos ? cos , x∈R 的部分图 4 4 2

(Ⅱ) 设点 B 是图象上的最高点,点 A 是图象与 x 轴的交点,求 tan ?BAO 的值.

y
B O A

x

12、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? 2( 3 cos x ? sin x)sin x , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? 0,

? ?? 上的最大值与最小值. ? 4? ?

13、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? 3sin x ? a cos x ( x ? R )的图象经过 点 ( ,1) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间.

? 3

14、 (东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 满足 c ? 1 , 且 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 。 (I)求 C 的大小; (II)求 a ? b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值。
2 2

15、 (通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一))在 ?ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,
6

已知 c ? 5 , B ? (Ⅰ)求 b 的值;

2? 15 3 , ?ABC 的面积是 . 3 4

(Ⅱ)求 cos 2 A 的值.

参考答案 一、选择、填空题 1、1 解析: cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 25 ? 36 ? 16 3 ? ? 2bc 2? 5? 6 4 sin 2 A 2 sin A cos A a 3 2 ? 2 cos A ? 2 ? ? ? 1 sin C sin C c 4 3
?π π? ?π ?π? ?π? 由 f ? x ? 在区间 ? ? ? 上具有单调性,且 f ? ? ? ? f ? ? 知, f ? x ? 有对称中心 ? ? ?6 2? ?3 ?2? ?6? 1?π 2 ? 7 ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f ? x ? 有对称轴 x ? ? ? π ? ? π ,记 T 为最小正周期, 2 ? 2 3 ? 12 ?2? ?3 ? ? 0? , ?

2、 π

1 π π 2π 7 π T 则 T ≥ ? ? T ≥ ,从而 π ? ? ? T ? π . 2 2 6 3 12 3 4

3、答案:B 【解析】:

4、C 7、答案:

5、C

6、B

7

8、B 14、D

9、B 15、A

10、B

11、B

12、A

13、4, 3 3

二、解答题 1、解析:

x x x 2 ? 1 ? cos x ? f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin ? sin x ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? 2 2 2 ?? 2 ? sin x ? cos x ? ? sin ? x ? ? ? 2 2 2 4? 2 ?

2

(Ⅰ) T ?

2?

?

最小正周期为 2? ? 2? ? f ( x)

(Ⅱ)

x ? ?? ? ,0?, x ?

?

? 3 ?? ? ?? ? , ?, 4 ? 4 4?

?? ? 2? ? sin ? x ? ? ? ?? 1, ? 4? ? 2 ? ? ?? 2 ? 2 ? ? ? f ( x) ? sin ? x ? ? ? ? ?? 1 ? ,0 ? 4? 2 ? 2 ? ?
故 f ? x ? 最小值为 ? 1 ?

2 2
4 3 7

2、⑴ sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?

sin ?BAD ? sin ? ?ADC ? ?B ? ? sin ?ADC ? cos ?B ? sin ?B ? cos ?ADC ? 4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

⑵ △ABD 中 AB AD BD 8 AD BD .即 ? ? ? ? sin ?ADB sin B sin ?BAD 4 3 3 3 3 7 2 14 解得 BD ? 3 , AD ? 7 在 △ ACD 中, AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 1 ? 7 2 ? 22 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? 49 7 所以 AC ? 7 3、解:(1)因为 a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A,

8

3 2 6 . ? sin A sin 2 A 2sinAcosA 2 6 6 所以 .故 cos A= . ? sinA 3 3 6 (2)由(1)知,cos A= , 3 3 2 所以 sin A= 1 ? cos A ? . 3
所以在△ABC 中,由正弦定理得 又因为∠B=2∠A,

1 . 3 2 2 2 所以 sin B= 1 ? cos B ? . 3
所以 cos B=2cos A-1=
2

在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 所以 c= 4、

5 3 . 9

a sin C =5. sin A

5、解:(Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z ? . 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . …………………2 分

sin 2 x ? 2sin 2 x 因为 f ( x) ? , sin x
? 2 cos x ? 2sin x

9

? ? 2 2 cos( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 .

…………………6 分 …………………7 分

(Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z ) 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z ? ,且 x ? (0, ?? , 4 3? , ?? . 4
2

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [

……13 分

? 3 1 6、解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x
6 2

………………2 分 ………………3 分

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z)得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) 5 分
………………7 分

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)∵ f ( A) ? sin(2 A ? 于是 2 A ? ∴ A?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)

?
6

)?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? 6
………………10 分

?
3

∵ ?ABC 外接圆的半径为 3 由正弦定理

a ? 2 R ,得 sin A

a ? 2 R sin A ? 2 3 ?
7、解:(Ⅰ) f ( x) ? cos
2

3 ? 3, 2

………………13 分

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos ?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2 3 1 ? sin ?x ? cos ?x ? sin(?x ? ) . 2 2 6
2?

?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

因为 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), x? R ,

10

所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1.
……………………8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. (Ⅱ)令 2k? ?

(k ? Z ) , 2 6 2 2? ? 得 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? 8、解:(Ⅰ)因为 a ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) .……………………13 分

3 6 cos A , 2
………………3 分

所以 a ?

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 ? . 2 2bc

因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .
2

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?
2

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
………………9 分

所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3

………………11 分 ………………12 分

所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a , 所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) , 所以 ? B ? 2? A .

? 3

………………13 分

另解:因为 A ? (0, ?) ,
11

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 3

由正弦定理得:

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
………………12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ,

? 3 所以 ? B ? 2? A .

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ………………13 分

9、 (Ⅰ)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ,

………………3 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

………………5 分

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4

………7 分

(Ⅱ)因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 , 4

?

C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2
在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,
2 2 2

?

?

………………9 分

即1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2

2 b ,解得 b ? 1 . 2

……………13 分

10、

12

11、(Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos 4 4 2 x x ? 3 sin ? cos 2 2 x π = 2 sin( ? ) , 2 6

……………… 2 分 ……………… 4 分

所以 T ?

2π ? 4π . 1 2
……………… 6 分

故函数 f ( x) 的最小正周期为 4 π .

π x π π ≤ ? ≤ 2kπ ? , 2 2 6 2 4π 2π 解得 4kπ ? , ≤ x ≤ 4kπ+ 3 3 4π 2π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4kπ+ ], (k ? Z) . 3 3
由题意,得 2kπ ? (Ⅱ)解:如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点 C . 由题意,得 AC ?

……………… 9 分

y
B O C A

3T ? 3π , BC ? 2 , 4

x
13

所以 tan ?BAO ?

BC 2 . ? AC 3π
………… 13 分

12、解: f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2( (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

?
2

? ?2k? ? 2 x ?

?
6

2π ? π. 2

?

?

2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

, k? ? ], k ? Z . 3 6 ? ? ? 2? 1 ? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? ,所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 4 6 6 3 2 6
于是 1 ? 2sin(2 x ?

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

?

?

6

) ? 2 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 .

当且仅当 x ? 0 时 f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 当且仅当 2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 .

?

? 13、解:(Ⅰ)由函数 f ( x ) 的图象经过点 ( ,1) , 3 ? ? 则 3 sin ? a cos ? 1 . 3 3 解得 a ? 1 .
因此 f ( x) ? 3sin x ? cos x . (Ⅱ) f ( x) ? 3sin x ? cos x

6

……………………….5 分

? 2(

3 1 sin x ? cos x) 2 2

? ? 2sin( x ? ) . 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? .

? ? ?? ? x ? ? 2k ? ? ,k ?Z . 2 6 2 ?? ?? ? x ? 2k ? ? 可得 2k ?+ , k ?Z . 3 3 ?? ?? , 2k ? ? 因此函数 f ( x ) 的单调递减区间为[ 2k ?+ ], k ? Z .……………13 分 3 3
由 2 k ?+ 14、解:(I)由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 ,

14

可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 , 即 sin A ? a cos C ,又 c ? 1 ,所以 c sin A ? a cos C , 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C ,(4 分) 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? cos C ,即 C ?
2 2 2

?
4

。(6 分)

(II)由余弦定理 a ? b ? 2ab cosC ? c ,得 a ? b ? 2ab ? 1 ,
2 2

又 ab ?

? 2? 2 a2 ? b2 ??a ? b 2 ? ? 1,于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 ,(11 分) ,所以 ?1 ? ? ? 2 2 ? ?
3 ? 时, a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 。(13 分) 8
2? 15 3 ,c ? 5,B ? , 3 4

当A? B?

15、解:(Ⅰ)因为 ?ABC 的面积是

所以

1 15 3 1 3 15 3 ac sin B ? . 即 a ?5? ? . 2 4 2 2 4
…………………… 4 分
2 2 2

所以 a ? 3. 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos
2

2? ? 49. 3
…………………… 7 分

所以 b ? 7. (Ⅱ)由正弦定理

a b ? . sin A sin B
…………………… 10 分
2

所以 sin A ?

3 3 3 3 ? ? . 7 2 14
2

?3 3? 71 所以 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 14 ? 98 . ? ?

…………………… 13 分

15


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