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江苏省泰州中学2010-2011学年度数学第二学期高一期中试卷苏教版


江苏省泰州中学 2010-2011 学年度第二学期高一数学期中试卷

(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的整数解共有
2



个. ▲ . ▲ .

2.在 ?ABC 中,如果 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,那么 cos C =

3.在等差数列 {an } 中,当 a2 ? a9 ? 2 时,它的前 10 项和 S10 =

B C 4. 在 ?A

?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c , 中, 已知 A ?
▲ .

?
3

B C , a ? 3, b ? 1 , 则 ?A

的形状是

0 5.海上有 A, B 两个小岛相距 10 2n mile ,从 A 岛望 C 岛和 B 岛所成的视角为 60 ,从 B 岛 0

望 C 岛和 A 岛所成的视角为 75 ,则 B 岛和 C 岛之间的距离 BC = 6.若 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项的和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则

▲ .

n mile .

S6 = S3



2 7.设关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m ? x ? 3 的解集为 A ,且 0 ? A , 2 ? A ,则实数 m 的取值范

围是





8.若 f ( x) ? sin

?
6

x ,则 f (1) ? f (3) ? f (5) ? ? ? f (2011 )?
2n





9.已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0 , n ? l,2,…,且 a5 ? a2n?5 ? 2

? n ? 3? ,则当 n ? 3 时,

log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?




2 2 2

?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c , 10. 在 ?ABC 中, 若b ? c ? b c3 a ?
则 ?C = ▲ .

, 且

b ? 2, a

11 . 设 ?an ? 是 正 项 数 列 , 它 的 前 n 项 和 S n 满 足 : 4S n ? ?an ? 1? ? ?an ? 3? , 则 a1 0 0 5 ? ▲ .

12.已知 0 ? b ? a ? c ? 10, ab ? 1,则
用心

a2 ? b2 1 ? 的最小值是 a?b c
爱心 专心




-1-

13.洛萨 ? 科拉茨(Lothar Collatz, 1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半(即

n ) ;如 2

果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ) ,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定 可以得到 1.如初始正整数为 3,按照上述变换规则,我们得到一个数列:3,10,5,16, 8, 4, 2, 1. 对洛萨 ? 科拉茨 (Lothar Collatz) 猜想, 目前谁也不能证明, 更不能否定. 现 在请你研究:如果对正整数 n ( n 为首项)按照上述规则施行变换后的第六项为 1(注: 1 可以多次出现) ,则 n 的所有可能的取值为 ▲ .

14.我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x ) 满足对该区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总有 不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数(简 2 2

称上 凸) . 类 比上述定义, 对于数列 ?an ? , 如果对任意 正整数 n , 总有不等式 :

an ? an ? 2 ? an ?1 成立,则称数列 ?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满 2
足如下两个条件: (1)数列 ?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ; (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N * ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n2 ? 6n ? 10 . 则数列 ?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分)
2 设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) .

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? [m,1] 上的最小值为 1,求实数 m 的值.

用心

爱心

专心

-2-

16.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c . (Ⅰ)用余弦定理证明:当 ?C 为钝角时, a ? b ? c ;
2 2 2

(Ⅱ)当钝角△ABC 的三边 a, b, c 是三个连续整数时,求 ?ABC 外接圆的半径.

17.(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 不 等 式

x 2 cosC ? 4 x sin C ? 6 ? 0 对一切实数 x 恒成立.
(Ⅰ)求 cos C 的取值范围; (Ⅱ)当 ?C 取最大值,且 c ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值并指出取最大值时 ?ABC 的 形状.

18.(本小题满分 15 分) 设 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S 3 , S 9 , S 6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的公比 q ; (Ⅱ)求证: a3 , a9 , a6 成等差数列; (Ⅲ)当 a m , as , at m, s, t ? ? 1,10?, m, s, t互不相等 成等差数列时,求 m ? s ? t 的值.

?

?

用心

爱心

专心

-3-

19.(本小题满分 16 分) 某企业去年年底给全部的 800 名员工共发放 2000 万元年终奖,该企业计划从今年起,10 年内每年发放的年终奖都比上一年增加 60 万元,企业员工每年净增 a 人. (Ⅰ)若 a ? 9 ,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过 3 万元? (Ⅱ)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人?

20.(本小题满分 16 分) 将数列 { a n } 中的所有项按第一排三项, 以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 记表中的第一列数 a1 , a4 , a8 , ? 构成的数列为 { bn } ,已知: ①在数列 { bn } 中, b1 ? 1 ,对于任何 n ? N * ,都有 (n ? 1) bn?1 ? nbn ? 0 ; ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q (q ? 0) 的等比数列; ③ a 66 ?

2 .请解答以下问题: 5

a1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a7 a8 a 9 a10 a11 a12 ???

(Ⅰ)求数列 { bn } 的通项公式; (Ⅱ)求上表中第 k ( k ? N ) 行所有项的和 S (k ) ;
*

(Ⅲ) 若关于 x 的不等式 S (k ) ? 围.

1 1 1 1? x2 , ] 上有解, ? 在 x ?[ 求正整数 k 的取值范 k x 200 20

江苏省泰州中学 2010-2011 学年度第二学期 高一数学期中试卷参考答案
用心 爱心 专心 -4-

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1. 4 6. ? 7 2. ?

1 4

3. 10 8.

4.直角三角形 9. n ? 2n ?1? 14. ?13, 25?

5. 10 3 10. 15 或105
0 0

7. ?? 3,?1?

3 2

11. 2011

12.

1 ? 20 2 10

13. 4,5,32

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由条件得 ?

? f ?? 1? ? 0

? a ? ?b ? 2? ? 3 ? 0 , ?? ?9a ? 3?b ? 2? ? 3 ? 0 ? f ?3? ? 0
6分

4分

解得: a ? ?1, b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 ,

8分 10 分 12 分 14 分

? y ? f ?x? 的对称轴方程为 x ? 1 ,? f ( x) 在 x ? [m,1] 上单调递增,

? x ? m 时, f ?x?min ? f ?m?,? ?m2 ? 2m ? 3 ? 1,
解得 m ? 1 ? 3 .? m ? 1,? m ? 1 ? 3 . 16.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 ?C 为钝角时, cos C ? 0 , 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab ? cosC ? a ? b ,
2 2 2 2 2

2分 5分 6分

即: a ? b ? c .
2 2 2

(Ⅱ)设 ?ABC 的三边分别为 n ? 1, n, n ? 1?n ? 2, n ? Z ? ,

? ?ABC 是钝角三角形,不妨设 ?C 为钝角,
由(Ⅰ)得 ?n ? 1? ? n 2 ? ?n ? 1? ? n 2 ? 4n ? 0 ? 0 ? n ? 4 ,
2 2

9分

? n ? 2, n ? Z ,? n ? 2, n ? 3 ,
当 n ? 2 时,不能构成三角形,舍去, 当 n ? 3 时, ?ABC 三边长分别为 2,3,4 ,
用心 爱心 专心

11 分
-5-

2 2 ? 32 ? 4 2 1 15 , cosC ? ? ? ? sin C ? 2?2?3 4 4
?ABC 外接圆的半径 R ?

13 分

c ? 2 sin C

4 15 2? 4

?

8 15 . 15

14 分

17.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由已知得:

cosC ? 0 ? ? 2 cos2 C ? 3 cosC ? 2 ? 0 , ? 2 ? ? 4 sin C ? 24 cos C ? 0 ?
? cos C ? ? 1 或 cos C ? ?2?舍去 ?. 2

4分

5分 6分

1 ? cos C ? 1 2 1 , 2

(Ⅱ)? 0 ? C ? ? , cos C ?

? 当 ?C 取最大值时, ?C ?
2 2 2

?
3



8分

由余弦定理得: 2 ? a ? b ? 2ab ? cos

?
3

? 4 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab ,
12 分

? S ?ABC ?

1 ? 3 ab ? sin ? ab ? 3 , 2 3 4

当且仅当 a ? b 时取等号,此时 ?S ?ABC ?max ? 3 , 由 a ? b, ?C ?

13 分 15 分

?
3

可得 ?ABC 为等边三角形.

18.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)当 q ? 1 时, S 3 ? 3a1 , S 9 ? 9a1 , S 6 ? 6a1 ,

? 2S 9 ? S 3 ? S 6 ,? S 3 , S 9 , S 6 不成等差数列,与已知矛盾,? q ? 1 .
a1 1 ? q 9 a1 1 ? q 3 a1 1 ? q 6 由 2S 9 ? S 3 ? S 6 得: 2 ? , ? ? 1? q 1? q 1? q
即 2 1? q

2分

?

?

?

?

?

?

4分

?

9

? ? ?1 ? q ? ? ?1 ? q ? ? 2q
3 6

6

? q3 ?1 ? 0 ,

1 1 , ? q 3 ? ? ? q ? ?3 , q 3 ? 1 ? q ? 1 (舍去) 2 2

用心

爱心

专心

-6-

?q ? ?

3

4 2

6分

(Ⅱ)? 2a9 ? a3 ? a6 ? 2a1q 8 ? a1q 2 ? a1q 5 ? a1q 2 2q 6 ? 1 ? q 3 ? 0 ,

?

?

? 2a9 ? a3 ? a6 ,? a3 , a9 , a6 成等差数列.
(Ⅲ) S 3 , S 9 , S 6 成等差数列

9分

? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0 ? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 2a1q 6 ? a1q 3 ? a1 ? 2a7 ? a4 ? a1 ,
? a1 , a7 , a4成GP 或 a4 , a7 , a1成GP ,则 m ? s ? t ? 12 ,
同理: a2 , a8 , a5成GP 或 a5 , a8 , a2 成GP ,则 m ? s ? t ? 15 , 11 分

a3 , a9 , a6成GP 或 a6 , a9 , a3成GP ,则 m ? s ? t ? 18 , a4 , a10 , a7 成GP 或 a7 , a10 , a4 成GP ,则 m ? s ? t ? 21 ,
15, 18,21. ?m ? s ? t 的值为 12,
19.(本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)设从今年起的第 x 年(今年为第 1 年)该企业人均发放年终奖为 y 万元. 15 分

2000 ? 60 x ( x ? N * ,1 ? x ? 10) ; 800 ? ax 2000 ? 60 x ? 3, 解法 1:由题意,有 800 ? 10 x 40 ? 10 . 解得, x ? 3
则y?

4分 5分 7分 8分 7分 8分

所以,该企业在 10 年内不能实现人均至少 3 万元年终奖的目标. 解法 2:由于 x ? N ,1 ? x ? 10 ,所以
*

2000 ? 60 x 30 x ? 400 ?3 ? ?0 800 ? 10 x 800 ? 10 x

所以,该企业在 10 年内不能实现人均至少 3 万元年终奖的目标. (Ⅱ)解法 1:设 1 ? x1 ? x2 ? 10 , 则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?


2000? 60x2 2000? 60x1 (60 ? 800 ? 2000 a)(x2 ? x1 ) 13 ? ? ?0, 800 ? ax2 800 ? ax1 (800 ? ax2 )(800 ? ax1 )

所以, 60 ? 800 ? 2000 a ? 0 ,得 a ? 24 .
用心 爱心 专心

15 分
-7-

所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净增量不能超过 23 人.16 分

解法 2: y ?

2000? 60x ? 800 ? ax

2000? 60x ? 60 ?

800 800 80 ? 60 ? 2000? 60 ? a a ? 1 (60 ? a ) 13 分 800 80 a a( x ? ) x? a a
15 分

由题意,得 2000 ? 60 ?

800 ? 0 ,解得 a ? 24 . a

所以, 为使人均发放的年终奖年年有增长, 该企业员工每年的净增量不能超过 23 人. 16 分 20.(本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)由 (n ? 1) bn?1 ? nbn ? 0 ,得数列 { nbn } 为常数列。故 nbn ? 1 ? b1 ? 1 ,所以 bn ? (Ⅱ)∵ 3 ? 4 ? ??11 ? 63, ∴表中第一行至第九行共含有 { a n } 的前 63 项, a66 在表中第十行第三列. 故 a66 ? b10 ? q2 ,而 b10 ? 故 S (k ) ?
1 ,∴ q ? 2 . 10 1 . 4分 n

7分

9分 10 分

bk (1 ? q k ? 2 ) 1 k ? 2 ? (2 ? 1) . 1? q k

(Ⅲ) f ( x) ?

1 1 ? x2 1 ? ? x 在 x ?[ x x 200

,

1 ] 上单调递减, 20
11 分

故 f ( x) 的最小值是 f (

1 1 ) ? 20 ? . 20 20 1 1 1 ? x2 在 x ?[ ? k x 200 ? 20 ? , 1 ] 上有解, 20 1 . 20
12 分

若关于 x 的不等式 S (k ) ?

设 m(k ) ? S (k ) ?

1 1 k ?2 ? ?2 ,则必须 m( k ) k k

m( k ? 1) ? m( k ) ?

1 1 2 k ? 2 ( k ? 1) m(k ? 1) 2k ? 2k ? 3 ? ? 2k ? 2 ? ? 0 (或 , ? ?1) k ?1 k k ( k ? 1) m(k ) k ?1

m (1) ? m ( 2) ? 8 ,函数 m(k )

当 k ? 2 且 k ? N * 时单调递增.

14 分 16 分

而 m(4) ? 16 , m(5) ?

128 ,所以 k 的取值范围是大于 4 的一切正整数. 5

用心

爱心

专心

-8-


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