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高三数学高三二轮复习函数与方程思想PPT_图文

第一讲 函数与方程思想——求解数学问题最实用的工具 1.函数的思想 函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究数学中 的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想. 2.方程的思想 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立 方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用 方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想. 2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数, 当 x<0 时, f(x)=ln( -x)+3x,则曲线 y=f(x) 在点(1,-3)处的切线方程是 ________. (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 - (-∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(- 2),则 a 的 取值范围是________. [思路点拨] (1)先求当 x>0 时的函数解析式,然后再对它求 导,将 x=1 代入导函数中得到切线的斜率,从而确定切线方程 即可. (2)利用函数的单调性列不等式求解. [ 自主解答] (1)y=-2x-1 先利用函数奇偶性求出 x>0 时 f(x)的解析式,再求切线方程. 因为 f(x)为偶函数,所以当 x>0 时,f(x)=f(-x)=ln x-3x, 1 所以 f′(x)= -3,则 f′(1)=-2.所以 y=f(x)在点(1,-3)处的 x 切线方程为 y+3=-2(x-1),即 y=-2x-1. ?1 3? (2) ? , ? ?2 2? 利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函 数值大小关系转化为不等式求解. ∵ f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增, ∴ 在(0,+∞)上单调递减,f(- 2)=f( 2), 1 |a-1| |a-1| ∴ f(2 )>f( 2),∴ 2 < 2=2 , 2 1 1 1 1 3 ∴ |a-1|<2,即-2<a-1<2,即2<a<2. [反思领悟] 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函 数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒 成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立 函数关系求解. [变式训练 1] 已知 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和 3 2 奇函数,且 f(x)-g(x)=x +x +1,则 f(1)+g(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1, 3 2 ∴f(-x)-g(-x)=-x +x +1. ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 3 2 ∴f(x)+g(x)=-x +x +1. ∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1. 答案:C 应用 2 函数与方程思想在数列中的应用 2 [典例 2] 数列{an}的通项 an 是关于 x 的不等式 x -x<nx 的 1 1 1 解集中正整数的个数.f(n)= + +…+ . an+1 an+2 an+n (1)求数列{an}的通项公式; an (2)若 bn= n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 2 7 * (3)求证:对 n≥2,且 n∈N ,恒有 ≤f(n)<1. 12 [思路点拨] (1)可直接求解. (2)先求出 bn 的表达式,再求出 Sn,用错位相减法. (3)先求出 f(n)的表达式,易证 f(n)<1,再利用 f(n)的单调性 即可. [自主解答] (1)x2-x<nx 等价于 x(x-n-1)<0, 解得 x∈(0,n+1),其中有正整数 n 个,于是 an=n. ?1? n ? ?n, (2)由(1)得 bn= n=n· 2 ?2? ?1?2 ?1?n 1 Sn=b1+b2+…+bn=1× +2×? ? +…+n×? ? , 2 ?2? ?2? ?1?2 ?1?3 ?1?n+1 1 S , n=1×? ? +2×? ? +…+n×? ? 2 ?2? ?2? ?2? 1 两式相减得 ?1?n ?1?n +1 ?1?n ?1?n + 1 1 ?1?2 ?1?3 ? ? - n× ? ? S = 1 - n = +? ? +? ? +… +? ? - n×? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? , ?1?n-1 ?1?n 故 Sn=2-? ? -n×? ? . ?2? ?2? 1 1 1 (3)证明:f(n)= + +…+ an+1 an+2 an+n 1 1 1 1 1 1 = + +…+ < + +…+ =1. n n+1 n+2 n+n n n 1 1 1 由 f ( n) = + +…+ an+1 an+2 an+n 1 1 1 = + +…+ , n+1 n+2 n+n 1 1 1 1 1 知 f(n+1)= + +…+ + + , 2n 2n+1 2n+2 n +2 n +3 1 1 1 1 1 于是 f(n+1)-f(n)= + - > + - 2n+1 2n+2 n+1 2n+2 2n+2 1 =0, n+1 故 f(n+1)>f(n), * ∴当 n≥2,且 n∈N 时,f(n)为增函数, 7 7 ∴f(n)≥f(2)= ,综上可知 ≤f(n)<1. 12 12 [反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇,在第(1)问中,是 由一元二次不等式转化为数列, 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立, 在证明中, 利用了函数思想, 要注意定义域范围. (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系, 将条件进行准确转化;对于函数的有关性质,主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值. 但由于数列的通项是一类特 殊的函数,所以借助函数的性质研究

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