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广东省佛山市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案(1)


2015-2016 学年广东省佛山市高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x∈Z},B={x|0<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|0<x<3} B.{1,2} C.{x|1≤x≤2} D.{x|x∈Z} 2.下列函数中,在其定义域内是偶函数为( ) A. B.f(x)=2 C.f(x)=lgx ) C.log76<log67 D.sin3>sin2
x

D.f(x)=cosx

3.下列大小关系正确的是( A. B.0.3 >0.3
0.4 0.3

4.下列计算正确的是( A.

) B.log23×log25=log215 C.2 ﹣2 =2
10 9 9

D. )

5.已知函数 y=f(x)的图象经过点 P(1,﹣2) ,则函数 y=﹣f(﹣x)的图象必过点( A. (﹣1,2) B. (1,2) C. (﹣1,﹣2) D. (﹣2,1) 6.已知函数 A. B.
2

,则 C. D.

=(



7.已知函数 y=x ﹣2ax+1(a∈R)的图象如图所示,则下列函数与它的图象对应正确的是(



A.

B.

C.

D.

8.某同学在求函数 y=lgx 和 在下列哪个区间内( x 2 2.125 lgx 0.301 0.327 0.5 0.471 A. (2.125,2,25) ) 2.25 0.352 0.444

的图象的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标

2.375 0.376 0.421

2.5 0.398 0.400

2.625 0.419 0.381

2.75 0.439 0.364

2.875 0.459 0.348

3 0.477 0.333

B. (2.75,2.875)

C. (2.625,2.75)

D. (2.5,2.625)

1

9.某地区今年 1 月,2 月,3 月,4 月,5 月患某种传染病的人数分别是 52,61,68,74,78.若 用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理?( ) 2 x A.f(x)=kx+h B.f(x)=ax +bx+c C.f(x)=pq +r D.f (x)=mlnx+n 10.为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位 )

11.已知集合 A,B,定义 A﹣B={x|x∈A 且 x?B},A+B={x|x∈A 或 x∈B},则对于集合 M,N 下列 结论一定正确的是( ) A.M﹣(M﹣N)=N B. (M﹣N)+(N﹣M)=? C. (M+N)﹣M=N D. (M﹣N)∩(N﹣ M)=? 12.已知函数 f(x)=xln(x﹣1)﹣a,下列说法正确的是( ) A.当 a>0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(1,2) B.当 a>0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(2,+∞) C.当 a=0 时,f(x)没有零点 D.当 a<0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(2,+∞) 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. x 13 .函数 y=f(x)与函数 g(x)=a 互为反函数,且 y=f(x)图象经过点(10,1) ,则 f(100)= . 14.如图是幂函数 , (αi>0,i=1,2,3,4,5)在第一象限内的图象,其中 α1=3,α2=2,α3=1,

,已知它们具有性质:

①都经过点(0,0)和(1,1) ; ②在第一象限都是增函数. 请你根据图象写出它们在(1,+∞)上的另外一个共同性质:

15.设 f(x)=ax +2x﹣2a 在[﹣1,2)上是增函数,则 a 的取值范围是 . 16.已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[0,1]时. ,f(x)=x,则当 x∈[k,k+1](k∈Z) 时,函数 f(x)的解析式是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.证明:函数 在区间(0,+∞)上是减函数. ,将角 α 的终边逆时针旋转

2

18.已知角 α 的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为 与角 β 的终边重合. (Ⅰ) 求 cosα; (Ⅱ) 求

的值.

2

19.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)

的图象如图所示.

(Ⅰ) 求函数的解析式; (Ⅱ) 当 x∈[﹣5,﹣2]时,求函数 f(x)的最大值和最小值.

20.已知 f(x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x) . (Ⅰ) 指出函数 f(x)的定义域并求 的值;

(Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数 f(x)的一个性质,并证明你的猜想; (Ⅲ) 解不等式:f(1+x)+ln3>0.

21.已知 f(x)=



(Ⅰ)若 m=1,画出函数的简图,并指出函数的单调区间. (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=m﹣1(m>0)有两个不同的交点,求 m 的取值范围.

3

22.已知二次函数 f(x)有两个零点﹣3 和 1,且有最小值﹣4. (Ⅰ) 求 f(x)的解析式; (Ⅱ) 令 g(x)=mf(x)+1(m≠0) . ①若 m<0,证明:g(x)在[﹣3,+∞)上有唯一零点; ②若 m>0,求 y=|g(x)|在 上的最大值.

2015-2016 学年广东省佛山市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x∈Z},B={x|0<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|0<x<3} B.{1,2} C.{x|1≤x≤2} D.{x|x∈Z} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|x∈Z},B={x|0<x<3}, ∴A∩B={1,2}, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,在其定义域内是偶函数为( A. B.f(x)=2 C.f(x)=lgx
x

) D.f(x)=cosx

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可. 【解答】解:
x

在定义域内为奇函数,不满足条件.

f(x)=2 为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件. f(x)=lgx 的定义域为(0,+∞) ,为非奇非偶函数,不满足条件, f(x)=cosx 在其定义域内是偶函数,满足条件. 故选:D. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质,比较基础. 3.下列大小关系正确的是( A. B.0.3 >0.3
0.4 0.3



C.log76<log67 D.sin3>sin2 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.

4

【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质 求解. 【解答】解:∵
x

在(0,+∞)是增函数,∴
0.4 0.3

,故 A 错误;

∵y=0.3 是减函数,∴0.3 <0.3 ,故 B 错误; ∵y=log7x 是增函数,∴log76<log67,故 C 正确; ∵sin3<0,sin2>0,∴sin3<sin2,故 D 错误. 故选:C. 【点评】本题考查两个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意利用幂函数、指数函 数、对数函数、三角函数的性质的合理运用. 4.下列计算正确的是( A. ) B.log23×log25=log215

C.2 ﹣2 =2

10

9

9

D.

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【专题】转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误. 【解答】解:A.m<n 时不成立,不正确; B.log23×log25= C.2 ﹣2 =2?2 ﹣2 =2 D. =
10 9 9 9 9

≠log215,不正确.

=

,因此不正确.

故选:C. 【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 5.已知函数 y=f(x)的图象经过点 P(1,﹣2) ,则函数 y=﹣f(﹣x)的图象必过点( A. (﹣1,2) B. (1,2) C. (﹣1,﹣2) D. (﹣2,1) 【考点】函数的图象. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】函数 y=f(x)与函数 y=﹣f(﹣x)关于原点对称,于是得出答案. 【解答】解:∵函数 y=f(x)与函数 y=﹣f(﹣x)关于原点对称, ∴y=﹣f(﹣x)的图象必过点(﹣1,2) . 故选 A. 【点评】本题考查了函数的图象变换,找到两函数的对称关系是关键,属于基础题. )

6.已知函数 A. B. C. D.

,则

=(



【考点】函数的值.

5

【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】利用函数性质及诱导公式求解. 【解答】解:∵函数 ∴ =tan( )=tan , =﹣tan =﹣ .

故选:B. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意诱导公式的合理运用. 7.已知函数 y=x ﹣2ax+1(a∈R)的图象如图所示,则下列函数与它的图象对应正确的是(
2



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】应用题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】根据基本初等函数的图象即可得到答案. 2 【解答】解:由 y=x ﹣2ax+1(a∈R)的图象可知对称轴 x=a, 则 0<a<1, 对于指数函数 y=a 为减函数,故 A 不对, 对于对数函数 y=logax 为减函数,故 B 正确, 对于幂函数 y= 为减函数,故 C 不正确, 对于直线 y=kx+a,直线交 y 轴的正半轴,故 D 不正确. 故选:B. 【点评】本题考查了基本函数的图象,关键掌握基本函数,属于基础题.
x

8.某同学在求函数 y=lgx 和 在下列哪个区间内( x 2 2.125 lgx 0.301 0.327 0.5 0.471 ) 2.25 0.352 0.444

的图象的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标

2.375 0.376 0.421

2.5 0.398 0.400

2.625 0.419 0.381

2.75 0.439 0.364

2.875 0.459 0.348

3 0.477 0.333

A. (2.125,2,25) B. (2.75,2.875) 【考点】二分法求方程的近似解.

C. (2.625,2.75)

D. (2.5,2.625)

6

【专题】计算题;方程思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】设 f(x)=lgx﹣ ,易知函数 f(x)为增函数,求出 f(2.5)f(2.625)<0,根据函数零点 存在定理即可判断. 【解答】解:设 f(x)=lgx﹣ , 则 f(2.5)=0.398﹣0.400<0, f(2.625)=0.419﹣0.381>0, ∴f(2.5)f(2.625)<0, ∴函数 f(x)=lgx﹣ 的零点在(2.5,2.625)上, ∴y=lgx 和 的图象的交点的横坐标在(2.5,2.625)上,

故选:D. 【点评】本题考查了函数零点存在定理以及函数和图象的交点与函数零点的关系,属于基础题. 9.某地区今年 1 月,2 月,3 月,4 月,5 月患某种传染病的人数分别是 52,61,68,74,78.若 用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理?( ) 2 x A.f(x)=kx+h B.f(x)=ax +bx+c C.f(x)=pq +r D.f(x)=mlnx+n 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】求出函数解析式,计算 x=4、5、6 时的函数值,最后与真实值进行比较,即可得出结论. 【解答】解:f(x)=kx+h,则 ,∴k=9,h=43,

∴f(x)=9x+43,f(3)=70>68,f(4)=79>74, f(5)=86>78; 2 f(x)=ax +bx+c, 由题意得:
2

,解得 a=﹣1,b=12,c=41,

∴f(x)=﹣x +12x+41, 2 ∴f(4)=﹣4 +12×4+41=73<74, 2 f(5)=﹣5 +12×5+41=76<78, x f(x)=p?q +r,

由题意得:

,解得 p=﹣

,q= ,r=92.5,

∴f(x)=﹣

?(

)x

+92.5,

∴f(4)≈73,f(5)≈78, f(x)=mlnx+n, ∴f(x)= lnx+52, ,∴m= ,n=52,

7

∴f(3)=

ln3+52<68,f(x)=

ln4+52=60<74,f(x)=

ln5+52<78,

故选:A. 【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式 的应用问题,是中档题.

10.为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】先根据诱导公式将函数 移即可得到答案. 【解答】解:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到函数 , 的图象. 化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平

故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题. 11.已知集合 A,B,定义 A﹣B={x|x∈A 且 x?B},A+B={x|x∈A 或 x∈B},则对于集合 M,N 下列 结论一定正确的是( ) A.M﹣(M﹣N)=N B. (M﹣N)+(N﹣M)=? C. (M+N)﹣M=N D. (M﹣N)∩(N﹣ M)=? 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】根据题中的新定义表示出 M﹣N,N﹣M,即可做出判断. 【解答】解:根据题中的新定义得:M﹣N={x|x∈M 且 x?N},N﹣M={x|x∈N 且 x?M}, 则(M﹣N)∩(N﹣M)=?. 故选:D. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握题中的新定义是解本题的关键. 12.已知函数 f(x)=xln(x﹣1)﹣a,下列说法正确的是( ) A.当 a>0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(1,2) B.当 a>0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(2,+∞) C.当 a=0 时,f(x)没有零点 D.当 a<0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(2,+∞) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】设 g(x)=xln(x﹣1) ,确定函数在(1,+∞)上单调递增,g(2)=0,即可得出结论.

8

【解答 】解:设 g(x)=xln(x﹣1) ,则 g′(x)=ln(x﹣1)+ ∴g″(x)= ﹣ ,



∴1<x<2,g″(x)<0,x>2,g″(x)>0, ∴g′(x)≥g′(2)=2>0, ∴函数在(1,+∞)上单调递增, ∵g(2)=0, ∴当 a>0 时,f(x)有零点 x0,且 x0∈(2,+∞) , 故选:B. 【点评】本题考查函数的零点,考查导数知识的运用,属于中档题. 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. x 13.函数 y=f(x)与函数 g(x)=a 互为反函数,且 y=f(x)图象经过点(10,1) ,则 f(100)= 2 . 【考点】反函数. 【专题】数形结合;转化思想;函数的性质及应用. x 1 【分析】y=f(x)与函数 g(x)=a 互为反函数,且 y=f(x)图象经过点(10,1) ,可得 10=a ,解 得 a,即可得出. x 【解答】解:∵y=f(x)与函数 g(x)=a 互为反函数,且 y=f(x)图象经过点(10,1) , 1 ∴10=a , 解得 a=10. ∴f(x)=lgx. ∴f(100)=lg100=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了互为反函数的性质、指数函数与对数的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

14.如图是幂函数 ,

(αi>0,i=1,2,3,4,5)在第一象限内的图象,其中 α1=3,α2=2,α3=1,

,已知它们具有性质:

①都经过点(0,0)和(1,1) ; ②在第一象限都是增函数. 请你根据图象写出它们在(1,+∞)上的另外一个共同性质: α 越大函数增长越快 .

【考点】幂函数的性质;幂函数的图像;幂函数图象及其与指数的关系. 【专题】数形结合;函数的性质及应用.

9

【分析】 由幂函数的图象及其性质不难得到: ①α 越大函数增长越快; ②图象从下往上 α 越来越大; ③函数值都大于 1;④α 越大越远离 x 轴;⑤α>1,图象下凸;⑥图象无上界;⑦当指数互为倒 数时,图象关于直线 y=x 对称;⑧当 α>1 时,图象在直线 y=x 的上方;当 0<α<1 时,图象在直 线 y=x 的下方. 从上面任取一个即可得出答案. 【解答】解:①α 越大函数增长越快;②图象从下往上 α 越来越大;③函数值都大于 1;④α 越 大越远离 x 轴;⑤α>1,图象下凸;⑥图象无上界;⑦当指数互为倒数时,图象关于直线 y=x 对 称;⑧当 α>1 时,图象在直线 y=x 的上方;当 0<α<1 时,图象在直线 y=x 的下方. 从上面任取一个即可得出答案. 故答案为:α 越大函数增长越快. 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质,考查了数形结合能力、推理能力与计算能力,属于基础 题.
2

15.设 f(x)=ax +2x﹣2a 在[﹣1,2)上是增函数,则 a 的取值范围是 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;规律型;分类讨论;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】通过对 a 是否为 0,结合二次函数的性质列出不等式求解即可. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=2x﹣2a 在[﹣1,2)上是增函数,成立. 当 a>0 时,f(x)=ax +2x﹣2a 在[﹣1,2)上是增函数,可得: 当 a<0 时,f(x)=ax +2x﹣2a 在[﹣1,2)上是增函数,可得: 综上,a∈ 故答案为: . .
2 2



,解得 a∈(0,1]. ,解得 a∈[﹣ ,0) .

【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,二次函数的对称轴以及函数的单调性,考查计算能 力. 16.已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[0,1]时. ,f(x)=x,则当 x∈[k,k+1](k∈Z) 时,函数 f(x)的解析式是 f(x)= .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质 及应用. 【分析】由题意,函数的周期为 2.x∈[﹣1,0]时,f(x)=x,分 k 的奇数、偶数讨论,即可得出结 论. 【解答】解:由题意,函数的周期为 2.x∈[﹣1,0]时,f(x)=x k=2n 时,x∈[k,k+1],x﹣k∈[0,1],f(x)=f(x﹣k)=x﹣k; k=2n﹣1,x﹣k﹣1∈[﹣1,0],f(x)=f(x﹣k﹣1)=x﹣k﹣1; ∴f(x)= .

10

故答案为:f(x)=



【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用,函数的周期性,利用函数奇偶性和周期性 是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.证明:函数 在区间(0,+∞)上是减函数.

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数单调性的定义利用定义法进行证明即可. 【解答】解:任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2,则 …(3 分)

= 因为 x2﹣x1>0, 所以 , ,

=

…(6 分)

,…(8 分)

所以 f(x1)﹣f(x2)>0, 即函数 在区间(0,+∞)上是减函数.…(10 分)

【点评】本题主要考查函数单调性的判断,利用函数单调性的定义是解决本题的关键.

18.已知角 α 的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为 与角 β 的终边重合. (Ⅰ) 求 cosα; (Ⅱ) 求 的值.

,将角 α 的终边逆时针旋转

【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】常规题型;规律型;转化思想;三角函数的求值. 【分析】 (Ⅰ)解法一:利用定义以及三角函数的平方关系式,求解即可. 解法二:利用角 α 的终边与单位圆交点 P 的纵坐标为 求解即可. (Ⅱ)求出 ,求出 ,利用诱导公式化简所 ,求出横坐标,利用三角函数的定义

求的表达式,推出结果即可.

11

【解答】解: (Ⅰ)解法一: 又 sin α+cos α=1,α 是第二象限角…(3 分) 所以 …(5 分)
2 2

,…(2 分)

解法二:因为角 α 的终边与单位圆交点 P 的纵坐标为 又 x +y =1,α 是第二象限角,所以 所以 (Ⅱ)依题意 所以 …(5 分) ,k∈Z,…(6 分) …(7 分) …(8 分) 所以 …(9 分)
2 2

, ,…(3 分)

=

…(12 分)

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,诱导公式以及三角函数化简求值,考查计算能力.

19.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (Ⅰ) 求函数的解析式; (Ⅱ) 当 x∈[﹣5,﹣2]时,求函数 f(x)的最大值和最小值.

的图象如图所示.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 【专题】计算题;规律型;转化思想;三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ) 求出函数的周期,求出 ω,利用特殊点,求解 φ,即可求函数的解析式; (Ⅱ) 借助函数的图象之间求解当 x∈[﹣5,﹣2]时,函数 f(x)的最大值和最小值. 【解答】解: ( Ⅰ)由图象可知,函数的周期为 T=6, .…(2 分)

12

又 f(x)的图象过点 所以 分) 故所求函数的解析式是 (Ⅱ) 因为函数 ,即

,所以 ,又因为 ,所以 ,…(4

.…(5 分) 的周期是 T=6,所以求 x∈[﹣5,﹣2]时函数 f(x)

的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.…(8 分) 由图象可知,当 x=2 时,函数的最大值是 当 x=4 时,函数的最小值是 ;…(10 分) .…(12 分) .

【点评】本题考查三角函数的解析式的求法,函数的最值以及函数的图象的应用,本题也可以直接 求函数 在区间[﹣5,﹣2]上的最大值和最小值.

20.已知 f(x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x) . (Ⅰ) 指出函数 f(x)的定义域并求 的值;

(Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数 f(x)的一个性质,并证明你的猜想; (Ⅲ) 解不等式:f(1+x)+ln3>0. 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】综合题;函数思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)由真数大于 0,可得定义域;代入计算可得函数值; (Ⅱ)可得性质一、函数 f(x)为奇函数,运用奇函数的定义即可得到; 性质二、函数 f(x)在定义域上单调递减,运用单调性的定义,即可得证; (Ⅲ)解法一、运用单调性,可得 ,解不等式组即可得到解集;

解法二、求出 f(1+x) ,由对数的运算性质,解不等式即可得到所求. 【解答】解: (Ⅰ)由 1﹣x>0,1+x>0,可得﹣1<x<1, 可得函数的定义域为(﹣1,1) ; , , , .
13

(Ⅱ)性质一:由于





猜想函数 f(x)为奇函数, 证明:设任意 x∈(﹣1,1) ,f(﹣x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)=﹣f(x) , 所以函数 f(x)为奇函数.…(7 分) 性质二:由于 函数 f(x)在定义域上单调递减, 证明:设任意 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2, 则 因为﹣1<x1<x2<1,所以 1﹣x1>1﹣x2>0,1+x2>1+x1, 则 , , , ,

所以 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , 函数 f(x)在定义域上单调递减. (Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知, 又 f(x)为奇函数,则 ,则 ,

,又函数 f(x)在定义域上单调递减,

故原不等式可化为:



解得

,即原不等式的解集为



解法二:因为﹣1<x+1<1,所以﹣2<x<0, 所以 f(1+x)=ln(﹣x)﹣ln(x+2) , 原不等式可化为:ln(﹣x)﹣ln(x+2)+ln3>0, 即 ln(﹣3x)>ln(x+2) ,所以﹣3x>x+2,解得 又﹣2<x<0,所以 ,即原不等式的解集为 , .

【点评】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性、单调性的判断与证明,考查不等式的解法,注意 运用函数的单调性,属于中档题.

21.已知 f(x)=



(Ⅰ)若 m=1,画出函数的简图,并指出函数的单调区间. (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=m﹣1(m>0)有两个不同的交点,求 m 的取值范围.

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【考点】函数的图象. 【专题】 作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)描点画图即可, (2)由(1)x 轴右边的图象不变,左边的图象由 y= +1 的图象平移得到,由此可以观察到当 0<m < 时有两个交点. 【解答】解: (1)当 m=1 时,函数图象为, 由图象可知,f(x)在(﹣∞,0], (0,1) , (2,+∞)为减函数,在[1,2]上为增函数, (2)分别画出 y=f(x)与 y=m﹣1 的图象,如图所示,

由图象可知,当 0<m< 或 m=1 时,函数 y=f(x)的图象与直线 y=m﹣1(m>0)有两个不同的交 点.

【点评】本题考查了函数图象和画法和函数图象的识别,以及函数图象的平移,属于中档题. 22.已知二次函数 f(x)有两个零点﹣3 和 1,且有最小值﹣4. (Ⅰ) 求 f(x)的解析式; (Ⅱ) 令 g(x)=mf(x)+1(m≠0) . ①若 m<0,证明:g(x)在[﹣3,+∞)上有唯一零点; ②若 m>0,求 y=|g(x)|在 上的最大值.

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;规律型;分类讨论;转化思想;函数的性质及应用.

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【分析】 (Ⅰ)求出函数的对称轴 x=﹣1,设 f(x)=a(x+1) ﹣4,利用 x=1,则 f(1)=4a﹣4=0, 求出 a 即可. 2 (Ⅱ)①化简 g(x)=m(x+1) ﹣4m+1,m<0,利用对称轴以及 g(x)的单调性,结合函数的 零点,判断即可. ②利用 g(﹣1)=1﹣4m,g(﹣3)=1, ,通过 m>0,当 1﹣4m≥0,当 1﹣4m<0,

2

分别求解函数的最值即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 f(﹣3)=0,f(1)=0,所以 f(x)的图象关于直线 x=﹣1 对称 设 f(x)=a(x+1) ﹣4,令 x=1,则 f(1)=4a﹣4=0,a= 1,所以 f(x)=x +2x﹣3.…(2 分) 2 (Ⅱ)①由题意得 g(x)=m(x+1) ﹣4m+1,m<0 对称轴为 x=﹣1>﹣3,所以 g(x)在[﹣3,﹣1]上单调递增,[﹣1,+∞)上单调递减.…(3 分) 又 g(﹣3)=1>0,g(﹣1)=1﹣4m>0, 所以函数 g(x)在[﹣3,﹣1]没有零点,在[﹣1,+∞)上有且只有一个零点,…(6 分) 所以 f(x)在[﹣3,+∞)上有唯一零点.…(7 分) ②g(﹣1)=1﹣4m,g(﹣3)=1, 分) 当 1﹣4m≥0,即 当 1﹣4m<0,即 若 若 综上所述,当 ,即 ,即 时, 时, 时, , .…(10 分) ,…(9 分) ,因为 m>0,所以 ,…(8
2 2

,ymax=|g(x)|max=|g(﹣1)|=4m﹣1,…(11 分) ;当 时,ymax=4m﹣1.…(12 分)

【点评】本题考查二次函数的解析式的求法,函数的简单性质的应用,考查分类讨论思想的应用, 考查计算能力.

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