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2015-2016学年甘肃省兰州第一中学高一下学期期末考试数学试题


兰州一中 2015-2016-2 学期期末考试试题 高一数学
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试时间 100 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题)
一、 选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一个 选项符合题意) .... 1.已知角 ? 的终边经过点 p(m,?3) ,且 cos ? ? ? A. ?

4 ,则 m 等于( 5



11 4

B.

11 4

C.-4

D.4

2.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A ? 则 c=( A.1 ) B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ) D. -1

?
3

, a ? 3, b ? 1 ,

3. sin( ? ? ) ? 3 cos A. - 3 ? 1

4 3

2 25 ? ? tan ? 的值为( 3 4
C. 3

B. - 3- 1

4.已知 sin ? ? cos? ? A.-3 或 ?

10 ,则 tan ? ? ( 5
B.-3 C. ?



1 3

1 3

D.3 或 ?

1 3

5.将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图象向右平移 a(a>0)个单位长度,所得函数的图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值是( A. ) B.

? 3

7? 6

C.

? 6

D.

? 2

A N P B C

6.如图,在 ?ABC 中, AN ? 若 AP ? m AB ? A.

????

1 ???? AC ,P 是 BN 上的一点, 3

??? ?

??? ?

9 11

2 ???? AC , 则实数 m 的值为( ) 11 5 3 2 B. C. D. 11 11 11
) C. 2 D. 3

7.

2 cos10? ? sin 20? ?( cos20?
A.

1 2

B.1

8.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? (
第页

a?a a ?b

) ? b ,则向量 a 与 c 的
1

夹角为( A.0

) B.

9.已知 sin( x ? A.

?

? 6
)?

C.

? 3

D.

? 2


24 25

3 ,且 0 ? x ? ? ,则 cos 2 x ? ( 4 5 7 24 7 B. C. D. 25 25 25

10.已知 ? ? 0, 函数 f ( x) ? sin(? x ? 范围是( A. [ , ] ) B. [ , ]

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值 4 2
C. (0, ]

?

1 5 2 4

1 3 2 4

1 2

D. (0, 2]

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.在 ?ABC 中,已知 b ? 50 3, c ? 150, B ? 30? , 则 C= 12.函数 y ? cos( .

3? ? 2 x) 的单调增区间是 . 2 ? ? ? ? 13.已知 a ? (5,3), b ? (?2, t), 若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是
14.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ?

.

?
2

) 在一个

y

M

周期内的图象如下图所示,M,N 分别是最大、最小值

???? ? ???? 点,且 OM ? 则? A ? ON ? 0,

0 ?

? 3
N

x

.

12

15.给出下列命题: ①存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ?

1 ; 3

②函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ?; ③设 a, b 是两个非零向量,若存在实数 ? ,使 b ? ? a, 则 | a ? b |?| a | ? | b |; ④若 sin(2 x1 ?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z ; 4 4

?

⑤若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? . 其中正确命题的序号是______________.

第页

2

兰州一中 2015-2016-2 学期高一年级 期末数学答题卡
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11._____________ 12._____________ 13._______________ 14._____________ 15._____________

三、解答题(本大题共 5 大题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 8 分)设向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3(e1 ? e2 ) ,求证:A、B、 D 三点共线; (2)若 | e1 |? 2 , | e2 |? 3 , e1 和 e2 的夹角为 60 ,试确定 k,使 k e1 ? e2 和
?

e1 ? k e2 垂直.

(0, ) (0, ?) 17. (本题满分 8 分)已知 ? ? ,? ? ,且 tan( ? ? ? ) ? 4 1 t an ? ?- . 7 (1)求 tan ? 的值;
(2)求 2? ? ? 的值.

?

1 , 2

第页

3

18. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? cos x sin ? x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在 [ ?

? ?

π? 3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ?

, ] 上的值域. 4 3

19. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AB ? ( AB ? AC ? BC ? BA) ? CA ? CB ,边 AB,BC 的中点分别为 D,E. (1)判断 ?ABC 的形状; (2)若 CD ? AE ? 0 ,求 sin 2 B 的值.
2

第页

4

20. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2

(1) a ? b及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 , 求? 的值. 2

第页

5

兰州一中 2015-2016-2 学期高一年级 期末数学答题卡
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案

1
C

2
B

3
D

4
A

5
C

6
B

7
D

8
D

9
B

10
A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 12. [

11. 60°或 120° 14.

?
4

? k? ,

2? 3

3? ? k? ], k ? Z 4

13. ( ??, ? ) ? ( ? ,

6 5

6 10 ) 5 3

15. ①②

三、解答题(本大题共 5 大题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 8 分)设向量 e1 和 e2 不共线. (3)如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3(e1 ? e2 ) ,求证:A、B、 D 三点共线; (4)若 | e1 |? 2 , | e2 |? 3 , e1 和 e2 的夹角为 60 ,试确定 k,使 k e1 ? e2 和
?

e1 ? k e2 垂直.
(1)证明:? AD ? AB ? BC ? CD ? 6e1 ? 6e2 ? 6 AB

? AD // AB, 又 AB 与 AD 有公共点 A
? A, B, D 三点共线.
(2)解:?(k e1 ? e2 ) ? (e1 ? k e2 ) ? 0

?k | e1 |2 ?(k 2 ?1) | e1 || e2 | cos60? ? k | e2 |2 ? 0
? 3k 2 ? 13k ? 3 ? 9, ? k ? ? 13 ? 133 6

(0, ) (0, ?) 17. (本题满分 8 分)已知 ? ? ,? ? ,且 tan( ? ? ? ) ? 4 1 t an ? ?- . 7 (1)求 tan ? 的值;
(2)求 2? ? ? 的值.
第页 6

?

1 , 2

1 1 ? (? ) tan( ? ? ? ) ? tan ? 7 ? 1. (1)解: tan? ? tan[( ? ? ?)? ?] ? ? 2 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? (? 1 ) 3 2 7 1 1 ? tan? ? tan( ? ? ?) 3 2 ? 1, (2)解: tan(2? ? ? ) ? tan[ ? ? (? ? ? )] ? ? 1 ? tan? tan( ? ? ? ) 1? 1 ? 1 3 2 1 ? ? tan ? ? ? ? 0, ? ? (0, ? ) ? ? ? ( , ? ) 7 2 ? 3? ? 2? ? ? ? ? 又 ? ? (0, ) ? 2? ? ? ? ( ?? ,0) 4 4
18. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? cos x sin ? x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在 [ ?

? ?

π? 3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ?
1 2

, ] 上的值域. 4 3

(1)解: f ( x) ? cos x( sin x ?

3 3 cos x) ? 3 cos2 x ? 2 4

1 3 3 ? sin x cos x ? cos2 x ? 2 2 4 1 3 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos2 x) ? 4 4 4
? 1 ? sin( 2 x ? ) 2 3

? f ( x) 的最小正周期为 T ?

2? ? ?. 2 ? ? 5? ? ? ?? ? 2x ? ? (2)解:? ? ? x ? 4 3 6 3 3

? 3 1 1 ? 3 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 3 2 2 2 3 4
1 3 ? f ( x) 的值域是 [? , ]. 2 4
19. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AB ? ( AB ? AC ? BC ? BA) ? CA ? CB ,边 AB,BC 的中点分别为 D,E.
第页 7
2

(1)判断 ?ABC 的形状; (2)若 CD ? AE ? 0 ,求 sin 2 B 的值. 解:(1)由题设得 AB ? ( AB ? AC ? BC) ? CA ? CB 又在△ ABC 中, AB ? CA ? BC ? 0 , 即 AB ? AC ? BC ? 0 ∴ CA ? CB ? 0 ,即 AC ? BC ∴△ABC 为直角三角形 (2)运用坐标法,如图建立平面直角坐标系. 设 A(a,0),B(0,b),则 E (0, ), D( , ) , ∴ CD ? ( , ) AE ? (? a, ) , , 由 CD ? AE ? 0 得 ? ∴b ?

b 2

a b 2 2

a b 2 2

b 2



a2 b2 ? ?0 , 2 4

2a
∴ sin B ?

AC AB

?

a a 2 ? b2

?

a 3a 2

?

3 3

∴ cos B ?

6 3

于是有 sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 2 ?

3 6 2 2 ? ? 3 3 3

20. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2

(1) a ? b及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 解: (1) a ? b ? cos

? ?

?

?

3 , 求? 的值. 2

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

3 x 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x
? x ? [0, ], ? cos x ? 0, ?| a ? b |? 2 cos x 2
(2) f ( x) ? cos2x ? 4? cos x, 即f ( x) ? 2(cosx ? ? )2 ?1 ? 2?2
第页 8

?

? x ? [0, ], ? 0 ? cos x ? 1. 2

?

①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得
2

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2
③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ?

3 2

5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求. 8 2

第页

9


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