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2011年自主招生华约数学试题解析


2011 年自主招生华约数学试题解析
一、选择题 (1) 设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?
1 z 4 3 2 1 A ? ??????? B ? ???????C ? ??????? D ? 5 4 3 2 |? 5 2

则|z| = (

)

解:由 | z ? 去) ? ,
1 2

1 z

|?

5 2

得| z | ?1 ?
2

5 2

| z | ,已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2(舍



(2) 在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面 角的正切为 2 。则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为(
1 1 1 1 A ? ??????? B ? ??????? C ? ??????? D ? 3 6 8 12

)

[分析]本题有许多条件,可以用“求解法” ,即假设题中的一部分要素为已知,利用 这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为 2) ,利用侧 面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法, 一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

z P

M

D O

N

C y B

A x

解法一:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为
2 。如图建立坐标系,则 A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,
1 1 2 1 1 ), N , , ( 2 ),则 M ( , ? , 2 2 2 2 2 2 ) 2 ????? 3 2 1 2 ???? 1 3 2 ), A N ? ( ? , , ) 。设所 2 2 2 2 2

,D M ? ( , ?

,

????? ???? D M ?A N 1 成的角为θ ,则 c o s ? ? ????? ???? ? 。 6 DM AN

解法二:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为
2 。平移 DM 与 AN 在一起。即 M 移到 N,D 移到 CD 的中点 Q。于是 QN = DM = AN。

而 PA = PB = AB = 2,所以 QN = AN = P

3 ,而 AQ =

5 ,容易算出等腰Δ AQN 的顶角

M

D

N

Q

C

A
cos ? A N Q ? 1 6

B 。

解法三:也可以平移 AN 与 DM 在一起。即 A 移到 M,N 移到 PN 的中点 Q。以下 略。 (3)过点(-1, 1)的直线 l 与曲线相切,且(-1, 1)不是切点,则直线 l 的斜率为 (
A ? 2 ?????? B ?1??????C ?? 1??????? D ?? 2

)

此题有误,原题丢了,待重新找找。 (4)若 A ? B ?
3 2
2? 3 , 则 c o s A ? c o s B 的最小值和最大值分别为 (
2 2

)

A ?1 ?

?,

3 2

????? B ?

1 3 3 3 1 2 , ?????? C ?1 ? ,1 ? ??????? D ? ,1 ? 2 2 2 2 2 2
2 2

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式 co s A ? co s B ,沿着两个方向:①降次: 把三角函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个。 解: c o s A ? c o s B ?
2 2

1 ? cos 2 A 2

?

1 ? cos 2 B 2

?1?

1 2

(c o s 2 A ? c o s 2 B )

? 1 ? cos( A ? B ) cos( A ? B ) ? 1 ?

1 2

c o s ( A ? B ) ,可见答案是 B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱。我们来转化一下,就 可以去掉三个圆,已知条件变为:Δ O O1 O2 边 O1 O2 上一点 C,O O1、O O2 延长 线上分别一点 A、B,使得 O1A = O1C,O2B = O2C。 解 法 一 : 连 接 O 1 O 2 , C 在 O 1 O 2 上 , 则 ? O O O2 ? ? 1
? O 1 A C ? ? O 1C A ? 1 2 ? O O 1O 2 , ? O 2 B C ? ? O 2 C B ? 1 2 ( ? O O 1O 2 ? ? O O 2 O 1 ) ? 1 2

O O ? ? ?? , O 2 1

? O O 2 O 1 ,故

? O 1C A ? ? O 2 C B ?

? ??
2

, 。

? ? ? ? ( ? O 1C A ? ? O 2 C B ) ?

? ??
2

, s in ? ? c o s

?
2

解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在 本题中假设两个小圆的半径相等,则 ? O O 1 O 2 ? ? O O 2 O 1 ?
? O 1C A ? ? O 2 C B ? 1 2 ? O O 1O 2 ?

? ??
2



? ??
4


?
2

? ? ? ? ( ? O 1C A ? ? O 2 C B ) ?

? ??
2

, s in ? ? c o s



(6) 已知异面直线 a, 成 60°角。 为空间一点则过 A 与 a, 都成 45°角的平面 ( ) b A b A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 [分析]已知平面过 A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方 向,我们考虑它的法线,并且假设 a,b 为相交直线也没关系。于是原题简化为:已 知两条相交直线 a,b 成 60°角,求空间中过交点与 a,b 都成 45°角的直线。答案 是 4 个。 (7) 已 知 向 量 a ? ( 0 ,1), b ? ( ?
? ? 3 2 ,? 1 2 ? ), c ? ( 3 2 ,? 1 2 ? ? ? ), x a ? y b ? z c ? (1,1) 则

x ? y ? z
2 2

2

的最小值为(

)

4 3 A ?1??????? B ? ??????? C ? ??????? D ? 2 3 2 ? ? ? 解:由 xa ? yb ? zc ? (1,1) 得

? 3 y? ?? ? 2 ? ? x? y ? ? ? 2

3 2 z 2

z ?1 ?1

? 3 ( y ? z) ? 1 ?? ? ,  2 ? ? x? y? z ?1 ? ? 2
( y ? z) ? ( y ? z)
2 2

由于 x ? y ? z ? x ?
2 2 2 2

,可以用换元法的思想,看成关于 x,y

2

2 ? ? y? z ? ? + z,y - z 三个变量,变形 ? 3 ,代入 ? y ? z ? 2 ( x ? 1) ?
( y ? z) ? ( y ? z)
2 2

x ? y ? z ? x ?
2 2 2 2

2

? x ? 2 ( x ? 1) ?
2 2

2 3

? 3x ? 4x ?
2

8 3

? 3( x ?

2 3

) ?
2

4 3

,答案 B
?

(8)AB 为过抛物线 y2 = 4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ? O F A ? 1 3 5 ,C 为抛物线 准线与 x 轴的交点,则 ? A C B 的正切值为 (
A ?2 2 ??????? B ? 4 5 2 ??????? C ? 4 3 2 ??????? D ? 2 3 2

)

解法一:焦点 F(1,0) ,C(-1,0) ,AB 方程 y = x – 1,与抛物线方程 y2 = 4x 联立,
??? 解得 A ??? ? 2 2 ? ? ? 2 2 )?, B ???? ? 2 2 ? ? ? 2 2 )? ,于是
??2 ??2 2 2 2 2 ??2 ??2 2 2 2 2

kCA ?

=

, kCB ?

=-

, ta n ? A C B ?

kCA ? kCB 1 ? kCA kCB

? 2

2 ,答

案A 解法二: 如图, 利用抛物线的定义, 将原题转化为: 在直角梯形 ABCD 中, BAD = 45°, ∠ EF∥DA,EF = 2,AF = AD,BF = BC,求∠AEB。 D G A

E

F

C

B
DE AD GF AF 2 2

ta n ? A E F ? ta n ? E A D ?

?

?

。类似的,有

ta n ? B E F ? ta n ? E B C ?

2 2

, ? AEB ? ? AEF ? ? BEF ? 2? AEF ,

tan ? A E B ? tan 2 ? A E F ? 2 2 ,答案 A

解: S ? B D F ?
S ?ABE ? AE AC

DF DE

S ?BDE ? zS ?BDE , S ?BDE ?

BD AB
D

S ? A B E ? (1 ? x ) S ? A B E ,

S ?ABC ? y S ?ABC

, 于 是 S ?B

?F ( 1 ?

x ) y? z SA ?

B

C

?2 ( 1 。 )将 z x y

y ? z ? x ? 1, 变 形 为 y ? z ? x ? 1 ,暂时将 x 看成常数,欲使 yz 取得最大值必须
y ? z ? x ?1 2 16 27

,于是 S ? B D F ?

1 2

(1 ? x )( x ? 1) ,解这个一元函数的极值问题, x ?
2

1 3



取极大值



(10) 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不 相交,则( ) A 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C 存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D 任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 解:我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图,假设Δ ABC 是锐角 三角形, 我们证明另一个三角形Δ DEF(不妨设在 AC 的另一边)的(其中的边 EF 有可能与 AC 重合)的∠D 一定是钝角。事实上,∠D ≥ ∠ADC,而四边形 ABCD 是圆内接四边形,所 以∠ADC = 180°-∠B,所以∠D 为钝角。这样就排除了 B,C。 A E

B

D F

C

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

A

B

D

C 假设Δ ABC 中∠B 是钝角,在 AC 的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在 AC 的另一 侧的相邻(指有公共边 AC) Δ ACD,则∠D = 180°-∠B 是锐角,这时如果或是钝角,我们 用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是 D。 二、解答题

解: (I) ta n C ? ? ta n ( A ? B ) ?

ta n A ? ta n B ta n A ta n B ? 1

,整理得

tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C

(II) 由已知 3 tan A tan C ? tan A ? tan B ? tan C , (I) 与 比较知 ta n B ? 又
1 s in 2 A ? 1 s in 2 C ? 2 s in 2 B ? s in 2 2? 3 ? 4 3

3, B =
? 4 3

?
3

。 ,



s in 2 A ? s in 2 C s in 2 A s in 2 C

s in ( A ? C ) c o s ( A ? C ) cos 2( A ? C ) ? cos 2( A ? C )

?

1 3

,而 s in ( A ? C ) ? s in B ?

3 2



cos 2( A ? C ) ? cos 2 B ? ?

1 2

,代入得 2 co s 2 ( A ? C ) ? 1 ? 3 co s( A ? C ) ,
1 4

? 4 co s ( A ? C ) ? 3 co s( A ? C ) ? 1 ? 0 , c o s ( A ? C ) ? 1,
2

, cos

A?C 2

? 1,

6 4

(12)已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不 计,且水杯直立放置) 。质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有 圆柱轴的中点处。 (I)若 b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 解:不妨设水杯高为 1。 (I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3。水杯的重心位置(我们用位置指到水

杯底面的距离)为
1 1 2 ? ? 3? 2 4 ? 7 2?3 20

1 2

,水的重心位置为

1 4

,所以装入半杯水的水杯的重心位置为

(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上。设装 x 克水。这时, 水杯质量 :水的质量 = a :x。水杯的重心位置为
1 x a? ? x? 2b ? x 位置为 ,于是 2 ,解得 x ? a? x b b
x

1 2

,水的重心位置为

x 2b

,水面

a ? ab ? a
2

(13)已知函数 f ( x ) ?

1 2 1 , f (1) ? 1, f ( ) ? 。令 x1 ? , x n ? 1 ? f ( x n ) 。 ax ? b 2 3 2 2x

(I)求数列 { x n } 的通项公式; (II)证明 x1 x 2 ? x n ? 1 ?
1 1 2e 2 3
2 3


得 a ? b ? 1, f ( x ) ? 2x x ?1

解:由 f (1) ? 1, f ( ) ?
2
1 2

(I)先求出 x1 ?

, x2 ?

, x3 ?

4 5

, x4 ?

8 9

,猜想 x n ?

2 2

n ?1

n ?1

?1

。用数学归纳法

证 明。当 n = 1 显 然成 立;假 设 n = k 显然 成立, 即 xk ?
k

2 2

k ?1

k ?1

?1

,则

x k ?1 ? f ( x k ) ?

2 xk xk ? 1
1

?

2
k

2 ?1

,得证。

(II) 我们证明

x1 x 2 ? x n ? 1 1 2
2 n

? 2 e 。事实上,

1 x1 x 2 ? x n ? 1

? 2 (1 ?

)(1 ?

1 4

) ? (1 ?

1 2
2
n

) 。我们注意到

1 ? 2 a ? (1 ? a ) , ,? 2 a ? (1 ? a ) ? 1
1 x1 x 2 ? x n ? 1 1 2
n
n ?1

n

,于是
1 2
n 2 ?1
n

? 2 (1 ?

)

2

?? ? 2 ?1

? 2 (1 ?

)

? 2 (1 ?

1 2
n

)

2

n

? 2e

(14)已知双曲线 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ), F1 , F 2 分别为 C 的左右焦点。P 为 C 右

支上一点,且使 ? F1 P F 2 =

?
3

, 又 ? F1 P F 2的 面 积 为 3 3 a 。
2

(I)求 C 的离心率 e ; (II)设 A 为 C 的左顶点, 为第一象限内 C 上的任意一点, Q 问是否存在常数λ(λ >0) , 使得 ? Q F 2 A ? ? ? Q A F 2 恒成立。若存在,求出λ 的值;若不存在,请说明理由。 P F E 2a F1 P 2c x F2
2

解 : 如 图 , 利 用 双 曲 线 的 定 义 , 将 原 题 转 化 为 : 在 Δ P F1 F2 中 ,
? F1 P F = 2

?
3

, ? F P的 面 积 为 3 F 1 2 c a
3 2 3 2

3 ,E 为 PF1 上一点,PE = PF2,E F1 =2a, a

2

F1 F2 = 2c,求



设 PE = PF2 = EF2 = x,F F2 =

x,

S ?F PF ?
1 2

1 2

P F1 ?F F 2 ?

1 2

(x ? 2a)

x ? 3 3a

2

x x , ? 4ax ? 12a ? 0 , ? 2a 。
2 2

Δ E F1 F2 为等腰三角形, ? E F1 F 2 ?

2? 3

,于是 2 c ? 2 3 a , e ?

c a

?

3 。

(II) (15)将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率。 (I)求 p1,p2,p3,p4; (II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明; (III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。


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