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2015高考理科数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题


2015 高考理科数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题
[A 组 一、选择题 1.(2014 年合肥一模)已知两条直线 m,n,两个平面 α ,β .给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α ?n⊥α ; ②α ∥β ,m?α ,n?β ?m∥n; ③m∥n,m∥α ?n∥α ; ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ?n⊥β . 其中正确命题的序号是( A.①③ C.①④ ) B.②④ D.②③ 基础演练·能力提升]

解析:对于①,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直, 因此①是正确的;对于②,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行, 因此②是错误的;对于③,直线 n 可能位于平面 α 内,此时结论显然不成立,因此③是错误的;对 于④,由 m⊥α 且 α ∥β 得 m⊥β ,又 m∥n,则 n⊥β ,因此④是正确的.故选 C. 答案:C 2.用 m,n 表示两条不同的直线,α 表示平面,则下列命题正确的是( A.若 m∥n,n?α ,则 m∥α B.若 m∥α ,n?α ,则 m∥n C.若 m⊥n,n?α ,则 m⊥α D.若 m⊥ α ,n?α ,则 m⊥n 解析:对于 A,可能出现 m?α ;对于 B,m,n 可以为异面直线;对于 C,m,α 可以相交,m 也 可以在平面 α 内,故选 D. 答案: D 3.a,b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面. ①若 α ∩β =a,b?α ,a⊥b,则 α ⊥β ; ②若 a?α ,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α ⊥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩β =a,α ∩γ =b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直平面 α ,则 a 不可能垂直于平面 α 内的无数条直线; ⑤若 a⊥α ,b⊥β ,a∥b,则 α ∥β .
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)

上述五个命题中,正确命题的序号是( A.①②③ C.④⑤

) B.②④⑤ D.②⑤

解析:对①可举反例如图,需 b⊥β 才能推出 α ⊥β .对于③可举反例说明,当 γ 不与 α ,β 的交线垂直时,即可得到 a,b 不垂直;对于④,a 只需垂直于 α 内一条直 线便可以垂直 α 内无数 条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的.

答案:D 4.(2014 年深圳调研)如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列 正确的是( )

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为

AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE,所以选
C. 答案:C 5.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( A.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n B.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥β 解析:对于选项 A,若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n,或 m,n 是异面直线,所以 A 错误;对于选
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)

项 B,n 可能在平面 α 内,所以 B 错误;对于选项 D,m 与 β 的位置关系还可以是 m?β ,m∥β , 或 m 与 β 斜交,所以 D 错误;由面面垂直的性质可知 C 正确. 答案:C 6.(2014 年衡水中模拟)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为 H,则 以下命题中,错误的命题是( )

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 解析:A 中,△A1BD 为等边三角形,∴四心合一,∵AB=AA1=AD,∴H 到△A1BD 各顶点的距离相 等,∴A 正确;∵CD1∥BA1,CB1∥DA1,CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,∴平面 CB1D1∥平面 A1BD,∴AH⊥ 平面 CB1D1,∴B 正确;连接 AC1,则 AC1⊥B1D1,∵B1D1∥BD,∴AC1⊥BD,同理 AC1⊥BA1,∴AC1⊥平面

A1BD,∴A、H、C1 三点共线,∴C 正确,故选 D.
答案:D 二、填空题 7.设 α ,β 是空间内两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从“①m⊥n; ②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命 题:________(用序号表示). 解析:将①③④作为条件,可结合长方体进行证明,即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对 面 垂直,这两个对面互相垂直,故①③④?②;对于②③④?①,可仿照前面的例子说明. 答案:①③④?②(或②③④?①) 8.(2014 年佛山模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直 角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,

CF⊥平面 B1DF.

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解析:由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1, 所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x, 则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得

AC AF 2a x = ,即 = , A1F A1D 3a-x a

整理得 x2-3ax+2a2=0, 解得 x=a 或 x=2a. 答案:a 或 2a 9.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论中: ①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°.

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 解析: 由 PA⊥平面 ABC, AE?平面 ABC, 得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB, PA∩AB=A, 得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB,①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面

PBC 不成立,②错;由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD,BC?平面 PAD.∴BC∥平面 PAD,
∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错;在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确. 答案:①④ 三、解答题 10.如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC.
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(1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE; (2)点 F 在 BE 上,若 DE∥平面 ACF,求 解析:(1)证明:∵ABCD 为矩形,

BF 的值 BE

∴AB⊥BC,∵平面 ABCD⊥平面 BCE, ∴AB⊥平面 BCE,∴CE⊥AB. ∵CE⊥BE,AB?平面 ABE,BE?平面 ABE,AB∩BE=B,∴CE⊥平面 ABE. ∵CE?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 ABE. (2)如图,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OF. ∵DE∥平面 ACF,DE?平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDE=OF, ∴DE∥OF,又∵矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, ∴F 为 BE 中点,∴

BF 1 = . BE 2

11.如图所示,已知四棱锥的侧棱 PD⊥平面 ABCD,且底面 ABCD 是直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,

AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱 PC 上.

1 2

(1)求证:BC⊥平面 BDP;
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1 (2)若 tan∠PCD= ,点 M 是侧棱 PC 的中点,求三棱锥 M-BDP 的体积. 2 解析:(1)证明:由已知可得 BD=2 2, 又 AD=2,CD=4,AB=2, 则 BC=2 2,则 BD2+BC2=16=DC2, 所以 BD⊥BC. 因为 PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, 故 PD⊥BC. 又 BD∩PD=D, 所以 BC⊥平面 BDP. (2)如图,过 M 作 MG⊥DC 交 DC 于点 G.

1 由 PD⊥DC,M 是 PC 中点,知 MG 是△DCP 的中位线,因此,MG∥PD,MG= PD,又 PD⊥平面 ABCD, 2 所以 MG⊥平面 BDC. 1 又 tan∠PCD= , 2 1 得 PD=2,MG= PD=1. 2 所以 VM-BDP=VP-BCD-VM-BCD 1 1 1 1 4 = × ×2 2×2 2×2- × ×2 2×2 2×1= . 3 2 3 2 3 12.(能力提升)(2013 年高考四川卷)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=

AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点.

(1)在平面 ABC 内, 试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l, 说明理由, 并证明直线 l⊥平面 ADD1A1;
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1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= Sh,其中 S 3 为底面面积,h 为高) 解析:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC.

由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点, 所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC, 所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交,所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ADE 中,DE= 3 3 AD= , 2 2

1 又 S△A1QC1= A1C1·AA1=1, 2 1 1 3 3 所以 VA1-Q C1D=VD-A1Q C1= DE·S△A1Q C1= × ×1= . 3 3 2 6 [B 组 因材施教·备选练习]

1.(2014 年郑州模拟)如图, 直角梯形 ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直, F 为 BC 的中点, ∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.

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(1)求证:平面 BCD⊥平面 ABC ; (2)求证 :AF∥平面 BDE; (3)求四面体 B-CDE 的体积. 解析:(1)证明:∵平面 ABC⊥平面 ACDE,平面 ABC∩平面 ACDE=AC,CD⊥AC, ∴DC⊥平面 ABC. ∵DC?平面 BCD,∴平面 BCD⊥平面 ABC.

1 (2)证明:取 BD 的中点 P,连接 EP、FP,则 PF 綊 DC. 2 1 ∵EA 綊 DC, 2 ∴EA 綊 PF,∴四边形 AFPE 是平行四边形, ∴AF∥EP,∵EP?平面 BDE,∴AF∥平面 BDE. ( 3)∵BA⊥AC,平面 ABC∩平面 ACDE=AC, ∴BA⊥平面 ACDE, ∴BA 就是四面体 B-CDE 的高,且 BA=2. ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, 1 1 ∴S 梯形 ACDE= ×(1+2)×2=3,S△ACE= ×1×2=1, 2 2 ∵S△CDE=3-1=2, 1 4 ∴VB-CDE= ×2×2= . 3 3
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2.已知三角形 ABC 中,AB=10,AC=6,BC=8,过 C,B 分别作 CD,BE 垂直于三角形 ABC 所在的 平面,且 CD=BE=1 0,如图,连接 AD,DE,AE 得一简单几何体 ABCDE.

(1)求证:平面 ACD⊥平面 ADE; (2)简单几何体的五个顶点 A,B,C,D,E 是否可以落在同一球面上?若可以,求出此球的体积; 若不可以,说明理由. 解析:(1)证明:因为 AB=10,AC=6,BC=8,所以 AC⊥BC, 因为 CD⊥平面 ABC,BE ⊥平面 ABC,所以 CD∥BE,CD⊥BC,BE⊥BC. 又 CD=BE,所以四边形 BCDE 为矩形,所以 DE∥BC,又 BC⊥AC,BC⊥CD,AC∩CD=C.所以 BC⊥ 平面 ACD,于 是 DE⊥平面 ACD,又 DE 在平面 ADE 内,所以平面 ACD⊥平面 ADE.

(2)顶点 A,B,C,D,E 可以落在同一球面上,此球的球心为 AE 的中点. 记 AE 的中点为 O,AB 的中点为 F,连接 OF,CF,OC,OB,则有 OF∥BE,故 OF⊥平面 ABC,OA=

OC=OB=OE= AF2+OF2= 52+52=5 2.
取 CD 的中点 H,连接 OH,OD. 易证得四边形 OHCF 是矩形, 所以 OH⊥CD, 在 Rt△ODH 中,OD= DH2+OH2= 52+52=5 2, 所以 OA=OB=OC=OD=OE=5 2, 4 1 000 2 所以 A,B,C,D,E 五点可以落在同一球面上,且球的体积 V= π ×(5 2)3= π. 3 3

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