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甘肃省高台县第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2014-2015 年第一学期期末考试 高二数学(文科)试卷
一、选择题(共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合要求的,请选出。 ) 1.集合 A ? ?x ? N | x ? 6? , B ? x ? R | x 2 ? 3x ? 0 , 则 A ? B ? A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. {x | 3 ? x ? 6} D. {x | 3 ? x ? 6} ( C. )

?

?

(

)

2.已知 i 是虚数单位,则 A. ? i

1 ? 2i 等于 2?i 4 3 ? i 5 5
D.

B. i

4 ?i 5
( )

3.曲线的参数方程为 ? A.线段 4.函数 f ( x) ? A. (? ,?? )

? x ? 3t 2 ? 2
2 ? y ? t ?1

(t 是参数),则曲线是 C.射线 D.圆

B.曲线的一支

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是
B. ( ? ,1)

(

)

1 3

1 3

C. ( ? ,1]

1 3

D. ( ?? ,? ) ( )

1 3

5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x | x | B. y ? ? x
2

C. y ?

1 x
178 85

D. y ? x ? 1

6.下表为某班 5 位同学身高 x(单位:cm)与体重 y(单位 kg)的数据, 身高 体重 170 75 171 80 166 70 160[ 65 ( )

若两个量间的回归直线方程为 ? y ? 1.16x ? a ,则 a 的值为 A.-122.2 7.函数 A.(0,1) B.-121.04 C.-91 D.-92.3

的零点所在区间为 B.(-1,0) C.(1,2) D.(-2,-l)

(

)

8.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比, 从图可以看出 A.性别与喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的比为 80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 ( ) 来

D.男生不喜欢理科的比为 60%
x ?1 ? ?2e , x<2, 9.设 f ( x) ? ? 则f ( f (2))的值为 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

( D.3

)

A.0

B.1

C.2

10. 已 知 三 角 形 的 三 边 分 别 为 a, b, c , 内 切 圆 的 半 径 为 r , 则 三 角 形 的 面 积 为

s?

1 ( a ? b ? c)r ;四面体的四个面的面积分别为 s1 , s2 , s3 , s4 ,内切球的半径为 R ,类比三 2
( B. V ? ) A. V ?

角形的面积可得四面体的体积为

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 2 1 C. V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 4 1 11.函数 f ( x) ? ln( x ? ) 的图象是 x

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 3

D. V ? (s1 ? s2 ? s3 ? s4 ) R ( )

A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时,

y O 1 2 3 x

f ( x) 的图象如图所示,则不等式 f (? x) ? x ? 0 的解集是 (
A. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,1) C. (?3, ?1) ? (0,1)

)

D. (?1,0) ? (1,3)

13.双曲线 C:

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 2 a b
(B)y=±

)

A、y=±

1 x 4
2

1 x 3
B.

(C)y=±

1 x 2

(D)y=±x )

14.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B(0,-4),C(0,4),则顶点 A 的轨迹方程是(

y x ? ? 1 (x≠0) 36 20 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) C. 6 20
A.

2

y x ? ? 1 (x≠0) 20 36 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) D. 20 6

2

2

3 16) 且 与 曲 线 y ? f ? x ? 相 切 的 切 线 方 程 为 15 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 3x , 若 过 点 A(0,

y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是(
A. ?3 B. 3

) C. 6 D. 9

16.椭圆

x2 +y 2=1 上的点到直线 2x-y=7 距离最近的点的坐标为( 2
B. (



A. (-

4 1 , ) 3 3

4 1 ,- ) 3 3

C. (-

4 17 , ) 3 3

D. (

4 17 ,- ) 3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 17.如果直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和 y ? kx ? 1 互相垂直,则实数 k 的值为_____________.

20.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求

1 1 ? 的最小值是 x y
2



18. {an } 为等比数列,若 a3 和 a 7 是方程 x + 7x + 9 = 0 的两个根,则 a5 =________. 19. y ? x ? 2 x ? 3 的单调递减区间是
3 2



三、解答题(21-27 题,要写出必要的解题过程,共 70 分) 21.(本题满分 10 分)围建一个面积为 360m 的矩形场地,要 求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出 口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价 为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x 米,总费用为 y(单位: 元). (1)将 y 表示为 x 的函数;
2

(2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

22. (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (1)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

2 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,与双曲线 x ? y 2 ? 1 有 23.(本题满分 12 分)若双曲线与椭圆 16 25 2

相同渐近线,求双曲线方程.

24.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x
3

(1)求函数 f ( x ) 在 [?3, ] 上的最大值和最小值.

3 2

(2)求曲线 y ? f ( x) 在点 P(2,f (2)) 处的切线方程.

25.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,?1) ,且其右 焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆方程; (2)设直线过定点 Q (0, ) ,与椭圆交于两个不同的点 M , N ,且满足 BM ? BN ,求 直线的方程.

3 2

26.(本题满分 14 分)函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , 过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线
3 2

方程为 y ? 3x ? 1. . (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围.

1.B 9.C

2.A 10.B

3.D 11.A 18.9

期末数学(文科)参考答案 4.C 5.A 6.C 7.A 12.B 13.C 14.B 15.D 19. ?3 20. (0, )

8.D 16.B

17. (?1 , 2] 21、 【解析】

4 3

解: (1)∵ a3 ? a1 ? 2d ∴ d ? ?2 (2 分)

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2n (2) S k ? ka1 ?

k (k ? 1) d ? ?35 2

∴ k ? k (k ? 1) ? ?35

k 2 ? 2k ? 35 ? 0
∴ k ? 7 或 k ? ?5 (舍) 22. (1) f ( x)min ? ?18 , f ( x)max ? 2 (2)切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0

23 . (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) Sn ? n? 2n ? 2n ? 1 【 解 析 】 (I)由 an?1 ? 2an ? 2n ,两边同除以 2 的定义易证数列 ?bn ? 是等差数列. (II)先求出 ?bn ? 的通项公式,然后可求出 an ? n2n?1 ,显然采用错位相减法求和. 解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,
n ?1

可得

an ?1 a ? nn ? 1 ,然后根据等差数列 n 2 2 ?1

an ?1 a ? nn ? 1 , ………… n 2 2 ?1

bn?1 ? bn ? 1 ,
则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,…………

bn ? n , an ? n2n?1 . …………
(2) Sn ? 1? 20 ? 2? 21 ? ?? (n ?1)? 2n?2 ? n? 2n?1 …………

2Sn ? 1? 21 ? 2? 22 ??? (n ?1)? 2n?1 ? n? 2n
两式相减,得

…………

Sn ? n? 2n ?1? 20 ? 21 ??2n?1 ? n? 2n ? 2n ?1 …………
24.

y2 x2 ? ?1 3 6
2

x2 ? ? (? ? 0) 【解析】解:依题意可设所求的双曲线的方程为 y ? 2


y2

?

?

x2 ?1 2?

又? 双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 16 25

? ? ? 2? ? 25 ? 16 ? 9 解得 ? ? 3

y2 x2 ? ?1 ? 双曲线的方程为 3 6
25. (1)

x2 ? y2 ? 1 3

(2) )y ? 【解析】

6 3 6 3 x? 或y ? ? x? . 3 2 3 2

试题分析:(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 则 b ? 1 . a 2 b2
|c?0?2 2 | 2
,得 c ?

令右焦点 F (c, 0)(c ? 0) , 则由条件得 3 ?

2

那么 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ,∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)若直线斜率不存在时,直线即为 y 轴,此时 M , N 为椭圆的上下顶点,

BN ? 0, BM ? 2 ,不满足条件;
故可设直线: y ? kx ?

x2 3 (k ? 0) ,与椭圆 ? y 2 ? 1 联立, 3 2
15 ? 0. 4

消去 y 得: 1 ? 3k 2 x 2 ? 9kx ? 由 ? ? ? 9k ? ? 4 1 ? 3k 2 ?
2

?

?

15 5 ? 0 ,得 k 2 ? . 4 12 9k 由韦达定理得 x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2

?

?

而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? ?

9k 2 ?3 1 ? 3k 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的中点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 由 BN ? BM ,则有 BP ? MN .

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

k BP

y1 ? y2 9k 2 ?5 ?1 ? 2 y0 ? 1 1 1 ? 3 k 2 ? ? ? ?? x1 ? x2 9k x0 k ? 2 1 ? 3k 2
2 . 3

可求得 k 2 ? 检验 k 2 ?

2 5 ? ( , ??) 3 12

所以直线方程为 y ?
3

6 3 6 3 x? 或y ? ? x? . 3 2 3 2
2

26. (1) f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5 ; (2)13; (3) b ? 0 . 试题解析: ( 1 ) 由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , 过 y ? f ( x) 上 点
3 2 2

P(1, f (1)) 的切线方
程为 y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1) ,即 y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) . 而过 y ? f ( x) 上点

P(1, f (1)) 的切
线方程为 y ? 3x ? 1 , 故?

? 3 ? 2a ? b ? 3 ? 2a ? b ? 0 即? ,∵ y ? f ( x) 在 x ? ?2 处有极值, ?1 ? a ? b ? c ? 4 ?a ? b ? c ? 3

f ?(?2) ? 0 ,
∴ ? 4a ? b ? ?12 ,联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5 .∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5 .
3 2

( 2 ) f ( x ) 在 [?2,1] 上 单 调 递 增 , 又 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , 由 ( 1 ) 知 2a ? b ? 0 , ∴
2
2 f ?( x) ? 3x 2 ? bx ? b , 依 题 意 在 [ ?2,1] 上 恒 有 f ?( x) ? 0 , 即 3x ? bx ? b ? 0 即

b((x ? 1) ? 3x 2 在 [ ?2,1] 上恒成立.当 x ? 1 时恒成立;当 x ?[?2,1) 时, x ? 1? [?3,0) ,此时
b?
3 3x 2 3 ? ?6(∵ x ? 1? [?3,0) )当且仅当 x ? 0 时 ? 3( x ? 1) ? ? 6 ,而 3( x ? 1) ? x ?1 x ?1 x ?1

取等号,∴ 3( x ? 1) ?

3 3 ? 6 ? 0 ,要使 b ? 3( x ? 1) ? ? 6 恒成立,只要 b ? 0 . x ?1 x ?1


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