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湖北省荆门市2014届高三元月调考数学文试题(扫描版含答案)


荆门市 2013-2014 学年度高三元月调考

数学(文)参考答案及评分说明
命题:荆门外校 审题:龙泉中学 市教研室

一.选择题 1~10

DBDAC 11 . 2

ADADC 12 . 4 2 13 . ?6
2

二.填空题 16. {x | kπ ?

14 . (?? , ? 1)

15 .

8000 3

π π ? x ? kπ ? , k ? Z } 6 6

17.(1) n ? 1 (2)8

π 三.解答题(Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 2sin x cos( x ? ) 6 π π π ? cos x(cos x ? 3 sin x) ? 2sin x cos( x ? ) ? 2cos x sin( x ? ) ? 2sin x cos( x ? ) 6 6 6 π ? 2sin(2 x ? ) ………………………………………………………………………4 分 6 π π π 7π π 1 x ?[ 0 , 时 ] , 2 x ? ? [ , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ∴函数 f ( x) 的值域是 [?1, 2] ……………………………………………………………6 分 π π 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ?1 ,则 sin(2 A ? ) ? , 6 6 2 π π π 7π 由题意可知: 0 ? A ≤ ,则 , ? 2A ? ≤ 6 6 6 2 π 5π π ∴ 2A ? ? ,故 A ? ……………………………………………………………9 分 6 6 3
由余弦定理,有 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

∴ 4 ? b2 ? c 2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ≥ (b ? c) 2 ? 3( 故 b ? c ≤ 4 ,所以 b ? c 最大值为 4. 在△ ABC 中, FM / / AB , ∴ 直线 FM//面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点 ∴ C1 M // AE ∴直线 C1 M // 面ABE 故 C1F // 面AEB
2

b ? c 2 (b ? c)2 , ) ? 2 4
A1 E B1 P C1

…………………………………………………12 分

19.(1)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM

又∵ C1M ? FM ? M ∴ 面ABE // 面FMC1 ,
2 2

A

M

C F

……………………………………………… 4分 B

(2)证明:在△ ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60? , ∴ AB ? 2 3 , ∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC , ∴ AB ? 面BB1C1C 由已知 AB ? BB1 ,
…………………………………………8 分

故 ABE ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE,

(3)在棱 AC 上取中点 M,连结 EM、BM,在 BM 上取中点 O,连结 PO,则 PO// BB1 ,

?点 P 到面 BB1C1C 的距离等于点 O 到平面 BB1C1C 的距离.
过 O 作 OH//AB 交 BC 与 H,则 OH ? 平面 BB1C1C , 在等边△ BCM 中可知: CO ? BM ,? BO ? 1 在 Rt △ BOC 中,可得 OH ?

3 2

?VP ? B1C1F ?

3 3

………………………………………………………………………………12 分

20.? an ? 2an?1 ? 2n (n ≥ 2且n ? N ? ) , ? 即?

a n a n ?1 ? ?1, 2 2 2 n?1

an an ?1 ? n?1 ? 1 (n ≥ 2, 且n ? N ? ) 2 2 2

则数列 {a n } 是等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 (2)由(1)得:?

a1 1 ? 2 2

………………………………4 分

an 1 1 ? ? (n ? 1)d ? n ? 2 2 2 2
………………………………………………………………………8 分

1 ? a n ? (n ? ) 2 n 2
(3)? Sn ?

1 1 3 2 5 3 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? … ?(n ? )2n 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? … ?(n ? )2n ?1 2 2 2 2 1 1 则 ? Sn ? 1 ? 22 ? 23 ? … ?2n ? (n ? )2n ? 21 ? 22 ? 23 ? … ?2n ? (n ? )2n?1 ? 1 2 2
…………………………………………………………………………10 分

?

2(1 ? 2 ) 1 ? (n ? ) 2n?1 ? 1 ? (3 ? 2n)2 n ? 3 1? 2 2
n

S n ? (2n ? 3)2 n ? 3 ? (2n ? 3) 2 n


Sn ? 2n ? 3 2n
2

…………………………………………………………………………13 分

0) .设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 21.(Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1,
所以 x1 ? 1 ?

5 3



5 3

,得 x1 ?

2 3

, y1 ?

2 6 3



……………………………………… 3 分

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b 2 2 ?b ? a ? 1. ?
消去 b 2 并整理得 故椭圆 C1 的方程为

9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ?

1 3

不合题意,舍去).

x2 4

?

y2 3

? 1 .……………………………………………………………… 6 分

2 2 6 (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)可知 M ( , ) , F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 3 3 ???? ? ? 5 2 6 ????? 1 2 6 ???? 2 2 6 设 N ( x0 , y 0 ) ,则 MF1 ? (? , ? ), MF2 ? ( , ? ), MN ? ( x0 ? , y0 ? ) 3 3 3 3 3 3

2 2 6 求得 x0 ? ? , y0 ? ? 3 3
设直线 l 为 y ? 6 x ? t ,代入

,则 kMN ? 6

……………………………………… 8 分

x2 4
2

?

y2 3

? 1 得: 27 x 2 ? 8 6tx ? 4t 2 ? 12 ? 0

? x1 ? x 2 ? ?

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 由 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( 6 x1 ? t )( 6 x2 ? t )

???

??? ?

8 6 t 4 t ? 12 ……………………………………………………10 分 ,x x 1 ? 2 27 27

? 7 x1 x 2 ? 6t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
求得 t ? ?2 3 ,符合 ? ? 0 .

28t 2 ? 84 48t 2 2 ? ? t ? 0 ……………………12 分 27 27

故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 . ……………………… 14 分 方法二:由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同, 故 l 的斜率 k ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . …………………………………8 分
2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 ? ? y ? 6( x ? m)

???? ???? ?

????

9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
, x1 x2 ?

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?

16m 9

8m 2 ? 4 9

. …………………10 分

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

???

??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
? 7? 8m 2 ? 4 9 ? 6m ? 16m 9
2

? 6m 2 ?
2

1 9

(14m2 ? 28) ? 0 .……………… 12 分

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 .
……………………… 14 分

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? a ? 1 , ? 2 ? b 1 ? ? 4 22.(Ⅰ) f ?( x) ? a ? ,于是 ? 解得 ? 或? 2 1 b ? ?1, ? 8 ( x ? b) ?a ? ? 0, ? b?? . 2 ? (2 ? b) ? 3 ? ?
因 a,b ? Z ,故 f ( x) ? x ?

1 x ?1



……………………………………………………4 分

(Ⅱ)已知函数 y1 ? x , y2 ?

1 都是奇函数. x

所以函数 g ( x) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?

1 x

也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.

1

x ?1 的 图 像 , 故 函 数 f ( x) 的 图 像 是 以 点 (11) , 为 中 心 的 中 心 对 称 图
形.…………………………………………………………………………………………… 9 分 (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ( x0,x0 ? 由 f ?( x0 ) ? 1 ?

? 可知, 函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11) 即得到函数 f ( x) , 平移, ?1.

1 ). x0 ? 1

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1) 2
…………………………………………11 分

2 x0 ? x0 ? 1 1 y? ? [1 ? ]( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2

令 x ? 1得 y ?

x ?1 x0 ? 1 ). ,切线与直线 x ? 1 交点为 (1,0 x0 ? 1 x0 ? 1

, 2 x0 ? 1) . 令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ? 1
直线 x ? 1与直线 y ? x 的交点为 (11) ,. 从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1
……………………………………………………14 分

所以,所围三角形的面积为定值 2 .


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