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2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题四 函数与方程思想


专题四:函数与方程思想
【考情分析】 纵观近几年的高考试题,函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学 思想方法的考查,一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上,与函数相关的试题所占比例 始终在 20%左右,且试题中既有灵活多变的客观性试题,又有一定能力要求的主观性试题。函 数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大,综合知识多、题型多、应 用技巧多。在高中新课标数学中,还安排了函数与方程这一节内容,可见其重要所在。 在近几年的高考中,函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等,方程观点的应 用可分为逐步提高的四个层次: (1)解方程; (2)含参数方程讨论; (3)转化为对方程的研 究,如直线与圆、圆锥曲线的位置关系,函数的性质,集合关系; (4)构造方程求解。 预测 2012 年高考对本讲考查趋势:函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式 间的关系;特别注意客观形题目,大题一般难度略大。 【知识交汇】 函数与方程(不等式)的思想贯穿于高中学习的各个内容,求值的问题就要涉及到方程, 求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程(不等式) 思想的运用使我们解决问题的重要手段。 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解就是函 数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0 通 过方程进行研究。就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借 助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨 论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方 法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的 基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数 关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。 函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观 察、分析和解决问题; 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造 方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方 程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处 理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系; 3.函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中,很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持,很多方程的问题 需要用函数的知识和方法去解决.对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)= 0,也可以把函数 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0,函数与方程可相互转化。

-1-

4.函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x) =0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例如求反函数,求 函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点; (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等 式 f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等 式; (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题 十分重要; (4)函数 f(x)= ( ax ? b ) (n∈N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用
n
*

赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题; (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二 元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立 函数表达式的方法加以解决。 【思想方法】 题型 1:函数思想在方程中应用 例 1.已知
5b ? c 5a ? 1 (a、b、c∈R) ,则有(



(A) 解析:

b

2

? 4 ac

(B)

b

2

? 4 ac (C) b

2

? 4 ac

(D) b ? 4 ac
2

法一:依题设有 a·5-b· 5 +c=0, ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个实根;
2

∴△= b ? 4 ac ≥0 ∴ b ? 4 ac
2 2

故选(B);

法二:去分母,移项,两边平方得:
5b
2

? 25 a
2

2

? 10 ac ? c ≥10ac+2·5a·c=20ac,
2

∴ b ? 4 ac

故选(B)

题型 2:函数思想在不等式中的应用

例 2.若 a、b 是正数,且满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围。

-2-

方法一 (看成函数的值域)∵ab=a+b+3,∴a≠1,∴b=

a+3 a+3 ,而 b>0,∴ >0,即 a-1 a-1

a+3 (a-1)2+5(a-1)+4 4 a>1 或 a<-3, a>0, a>1, a-1>0.∴ab=a· 又 ∴ 故 = =(a-1)+ a-1 a-1 a-1
+5≥9. 4 4

当且仅当 a-1=

a-1

,即 a=3 时取等号.又 a>3 时,(a-1)+

a-1

+5 是关于 a 的单调

增函数. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二 (看成不等式的解集)∵a, 为正数, a+b≥2 ab, ab=a+b+3, ab≥2 ab b ∴ 又 ∴ +3. 2 即( ab) -2 ab-3≥0,解得 ab≥3 或 ab≤-1(舍去),∴ab≥9.∴ab 的取值范围是[9, +∞). 2 方法三 若设 ab=t,则 a+b=t-3,∴a,b 可看成方程 x -(t-3)x+t=0 的两个正 根.

?Δ =(t-3) -4t≥0 ? 从而有?a+b=t-3>0 ?ab=t>0 ?

2

?t≤1或t≥9 ? ,即?t>3 ?t>0 ?



解得 t≥9,即 ab≥9.∴ab 的取值范围是[9,+∞). 点评:当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程 后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减 少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究 函数的方法将问题解决。 题型 3:函数思想在实际问题中的应用 例 3. (2011 陕西理 14) .植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米) . 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题; 【解】 (方法一)设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) ,

i 1 2 ? ? 19 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是:

20

s ? ( i ? 1) ? 10 ? ( i ? 2) ? 10 ? ? ? ( i ? i ) ? 10 ? [( i ? 1) ? i ] ? 10 ? ? ? (20 ? i ) ? 10

? 1 0 ? [i ? i ?

i ( i ? 1) 2

? i ? (20 ? i) ?

( 2 0 ? i )( i ? 1 ? 2 0 ) 2

] ? 1 0 ( i ? 2 1i ? 2 1 0 ) 。
2

所以当 i ? 10 或 1 1 时, s 的值最小,最小值是 1000,所以往返路程的最小值是 2000 米。 (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一 个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第
-3-

11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一 个树坑旁,则有路程总和是 1 0 ? (1 ? 2 ? ? ? 1 9 ) ? 2 ? 1 0 ? 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是:
10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2

1 9 (1 ? 1 9 ) 2

? 2 ? 3 8 0 0 ;树苗放在第

? 10 ?

9 ? (1 ? 9 ) 2

? 2 ? 10 ?

1 0 ? (1 ? 1 0 ) 2

? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 ,

所以路程总和最小为 2000 米. 点评:构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用,函数是解决具体问题的有效 工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式,研究函数的性质,解释问题。 题型 4:函数思想在数列中的应用 例 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a 3 ? 12 , S 12 >0, S 13 <0, (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S 1 、 S 2 、 S 3 ?, S 12 中哪一个最大,并说明理由。 解析: (1)由 a 3 ? 12 得: a 1 ? 12 ? 2 d , ∵ S 12 = 12 a 1 ? 44 d ? 144 ? 42 d >0, S 13 = 13 a 1 ? 78 d ? 156 ? 52 d <0, ∴?
24 7

<d<-3
n ( n ? 1) 2 d ? 1 2 dn
2

(2) S n ? na 1 ?

? (12 ?

5 2

d )n , 5 2 ? 12 d

∵d<0, S n 是关于 n 的二次函数,对称轴方程为:x= ∵?
24 7



<d<-3,∴6<

5 2

?

12 d

<

13 2



∴当 n=6 时, S n 最大。 点评:数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十 分重要。 题型 5:函数思想在立体几何中的应用 例 5. (1)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上任一点,设∠BAC =θ ,PA=AB=2r,求异面直线 PB 和 AC 的距离。 分析:异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值,从而 设定变量,建立目标函数而求函数最小值。 解析:在 PB 上任取一点 M,作 MD⊥AC 于 D,MH⊥AB P 于 H, 设 MH=x,则 MH⊥平面 ABC,AC⊥HD, M A 2 2 2 2 2 ∴MD = x + [(2r - x)sinθ ] = (sin + 1)x - H D C B

-4-

4rsin θ x+4r sin θ =(sin θ +1)[x-
2 2 2 2

2 r sin θ 1 ? sin θ
2

2

] +

2

4 r sin θ 1 ? sin θ
2

2

2

即当 x=

2 r sin θ 1 ? sin θ
2

2

时,MD 取最小值

2 r sin θ 1 ? sin θ
2

为两异面直线的距离。

点评:本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的 最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地,对于求最大值、 最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后 利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。 (2)已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 1,表面积为 的最值。 解析:设三条棱长分别为 x,y,z,则长方体的体积 V=xyz。 由题设有: x ? y ? z ? 1 , 2 ( xy ? yz ? zx ) ? 所以 yz ?
8 27
3

16 27

,求长方体的体积

16 27



? ( xy ? zx ) ?

8 27
2

? x? x ,
2

故体积 V(x) ? x y z ? x ? x ? 下面求 x 的取值范围。 因为 y ? z ? 1 ? x , yz ?
2

8 27

x,

8 27

? x? x ,
2

所以 y、z 是方程 t ? (1 ? x ) t ? 由 ? ? 0, 得
1 9
2

8 27

? x? x

2

? 0 的两个实根。

? x ?

5 9


8 27 ? 3( x ? 16 729 2 9 )( x ? 4 9 )

因为 V ' ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 所以当 x ? 当x ?
2 9 4 9

时, V ( x ) m in ?
20 729



时, V ( x ) m ax ?



点评:解决本题的关键在于确定目标函数时,根据相关条件的特征,构造了二次方程, 并由此得出定义域使问题得解。 题型 6:利用方程思想处理解析几何问题 例 6. (1)直线 (1 ? a ) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为(
2 2



A. 1 , ? 1

B. 2 , ? 2

C.1

D. ? 1

解 析 : 由 直 线 方 程 得 y ? ? 1 ? (1 ? a ) x , 并 代 入 圆 方 程 , 整 理 得
(2 ? 2a ? a ) x
2 2

? 2ax ? 1 ? 0 。

-5-

又直线与圆相切,应有 ? ? 4 a ? 4 ( 2 ? 2 a ? a ) ? ? 8 a ? 8 ? 0 ,解得 a ? ?1 。
2 2

故选 D。 点评:即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程,其判 别式为△,则有: (1)曲线 C 与直线 l 相离 ? ? ? 0 ; (2)曲线 C 与直线 l 相切 ? ? ? 0 ; (3)曲线 C 与直线 l 相交 ? ? ? 0 。 (2)△ABC 的三边 a,b,c 满足 b=8-c, a ? bc ? 12 a ? 52 ? 0 ,试确定△ABC 的形
2

状。 解析:因为 b+c=8, bc ? a ? 12 a ? 52 ,
2

所以 b,c 是方程 t ? 8 t ? a ? 12 a ? 52 ? 0 的两实根,
2 2



? ? ( ? 8) ? 4 (a
2

2

? 12a ? 52)

? ?4(a
2

2

? 12 a ? 36) ? 0

即 ? 4 ( a ? 6 ) ? 0 ,所以 a=6。从而得 b=c=4,因此△ABC 是等腰三角形。 点评:构建一元二次方程的模型解决数学问题,是一种行之有效的手段,其独特功能在 于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题,从而使问题获得圆满解 决。 题型 7:函数思想在三角中的应用 例 7. (1)求 sin x cos x ? sin x ? cos x 的取值范围。 解析:设 sin x ? co s x ? t , t ? ? 2 ,
t
2

?

2 ,

?

则 sin x co s x ?

?1 2

,构造二次函数 y ?
1 2 ?

t

2

?t ?

1 2

,t ? ?

2
2

?

2,

2 ,

?

由图 1 可知: ? 1 ? y ?

图1 即 ? 1 ? sin x co s x ? sin x ? co s x ?
1 2 ? 2 。

-6-

(2)已知函数 f ( x ) ? ? sin x ? sin x ? a ,当 f ( x ) ? 0 有实数解时,求 a 的取值范围。
2

解析:由 f ( x ) ? 0 得 ? sin x ? sin x ? a ? 0 ,分离 a 得:
2

1? ? a ? sin x ? sin x ? ? sin x ? ? ? 2?
2

2

?

1 4



问题转化为求 a 的值域。 因为 sin x ? ? ? 1 , 1? ,所以 ? ? sin x ?
?? ?
? ?

??

1? ? 2?

2

?

1? ? 1 ? ? ? ?? , 2 ? 。 4? ? 4 ? ?

故当 a ? ? ? , 2 ? 时, f ( x ) ? 0 有实数解。 ? 4 ? 点评:该题通过三角换元构造了二次函数,最终求得最值。 题型 8:方程思想在求函数最值中的应用 例 8. (1)如果函数 y ?
ax ? b x
2

1

?1

的最大值是 4,最小值是-1,求实数 a、b 的值。
ax x
2 2

解析:由 y 的最大值是 4,知存在实数 x 使

?b ?1

=4,即方程 4 x ? ax ? 4 ? b ? 0 有
2

实根,故有 ? 1 ? a ? 1 6 ( 4 ? b ) ? 0 ;
2

又由 y 的最大值是 4,知对任意实数 x 恒有
2 2

ax ? b x
2

?1

? 4 ,即 4 x

2

? ax ? 4 ? b ? 0 恒成立,

故 ? 1 ? a ? 1 6 ( 4 ? b ) ? 0 ,从而有 ? 1 ? a ? 1 6 ( 4 ? b ) ? 0 。 同样由 y 的最小值是-1,可得 ? 2 ? a ? 4 (1 ? b ) ? 0 。
2

由?

?? 1 ? 0 ?? 2 ? 0

,可解得 ?

?a ? ± 4 ?b ? 3
2



(2)已知函数 y= m x

? 4 3x ? n x ?1
2

的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。
2

解析:函数式变形为: (y-m)x -4 由已知得 y-m≠0,∴ △=(-4
2

3

x+(y-n)=0,x∈R,

3

) -4(y-m)(y-n)≥0。

2

即:y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ①, 不等式①的解集为(-1,7),则 ?1 ? ( m ? ? 解得: ? m ?
? 5 n ) ? m n ? 12 ? 0



?4 9 ? 7( m ? n ) ? m n ? 1 2 ? 0

?n ? 1

或?m ?

?1

∴ y=??

?n ? 5

-7-

(也可: 由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。 ) 点评:本例解法中,对题设中给出的最值,一方面认为是方程的实数解,另一方面又认 为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻,所以构思新颖,证法严谨。 题型 9:方程思想在数列知识中的应用 例 9.若(z-x)
2

-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差数列。
2

分析:题设正好是判别式 b -4ac=0 的形式,因此构造一个一元二次方程求解。 证明:当 x=y 时,可得 x=z,∴x、y、z 成等差数列; 当 x≠y 时,设方程(x-y)t -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0 得 t 1 =t 2 ,并易知 t=1 是方程的根。 ∴t 1 ·t 2 =
y ? z x ? y
2

=1,即 2y=x+z,

∴x、y、z 成等差数列。 点评:题设条件具备或经变形整理后具备 x 1 +x 2 =a、x 1 ·x 2 =b 的形式,则利用根与系 数的关系构造方程;具备 b -4ac≥0 或 b -4ac≤0 的形式,可利用根的判别式构造一元二 次方程。 题型 10:方程思想在三角知识中的应用 例 10.△ABC 中,求证:cosA·cosB·cosC≤ 1
8
2 2

证明:设 k=cosA·cosB·cosC= 1 [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC= 1 [-cosC+cos(A
2 2

-B)]cosC; 整理得:cos C-cos(A-B)·cosC+2k=0,即看作关于 cosC 的一元二次方程。 ∴△=cos (A-B)-8k≥0,即 8k≤cos (A-B)≤1; ∴ k≤ 1 即 cosA·cosB·cosC≤ 1 。
8 8
2 2 2

点评:既是方程思想,也属判别式法。还可用放缩法:cosA·cosB·cosC=?
1 2

=-

cos C+ 1 cos(A-B)·cosC=- 1 [cosC- cos( A ?
2

B)

] + 1 cos (A-B)≤ 1 cos (A-B)
2 2 2

2

2

2

8

8

≤1 。
8

题型 11:函数零点与方程的解 例 11. (2011 天津理 2)函数 (1) A.
f

?x? ?
C.

2 ? 3x
x

的零点所在的一个区间是( D.

) .

? ? 2, ? 1 ?

B.

? ? 1, 0 ?

? 0 ,1 ?

? 1, 2 ?

【答案】B

-8-

【解析】解法 1.因为 所以函数
f

f ? ?2 ? ? 2

?2

?6?0



f ? ? 1? ? 2

?1

?3? 0



f ?0? ? 2 ? 0 ? 0
0



?x? ?
f

2 ? 3x
x x

的零点所在的一个区间是

? ? 1, 0 ? .故选B.
x

解法 2.

?x? ?

2 ? 3x ? 0

x 可化为 2 ? ? 3 x .画出函数 y ? 2 和 y ? ? 3 x 的图象,可观

察出选项C,D不正确,且

f ?0? ? 2 ? 0 ? 0
0

,由此可排除A,故选B.

点评:函数的零点、方程的根以及函数图像与 x 轴的交点之间存在相互转化关系。本题 主要考察学生对方程的根与函数零点关系的理解,以及利用函数图象确定函数零点的个数的 方法。 (2)已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ln( 1 ? x ) ,则方程 f ( x ) ? 0 在( ? 2 ,1 )内有没有实数解? 说明理由? 解析: 由基本初等函数的性质可知函数 f ( x ) ? 2 x ? ln( 1 ? x ) 在其定义域 (?? ,1) 内的图象 连续, 且有 f (1 ? e ) ? 2 (1 ? e ) ? ln e ? 3 ? 2 e ? 0 , f (1 ? ) ? 2 (1 ? ) ? ln
e e 1 1 1 e ? 1? 2 e ? 0,

于是有 f (1 ? e ) · f (1 ?

1 e

) ? 0。 1 e

∴函数 f ( x ) 在区间( 1 ? e , 1 ?

)内至少有一个零点,
1 e

即方程 f ( x ) ? 0 在区间( 1 ? e , 1 ?

) ? ( ? 2 ,1)内至少有一个实数解.

点评:本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用。 【思维总结】 1.函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关 系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象, 抽象其数学特征,建立函数关系; 2.在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作已知数,根据题设本身 各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想; 3.函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若有解析表 达式,那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如 果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以 分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以 用函数的方法解决;反之,许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决. 总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想,用它来指导解 题。在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最佳解题方 案。

-9-


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2013届高三数学二轮复习精品教学案:【专题四】函数与方....doc

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2012届高三数学第二轮复习《函数方程思想》专题一.doc

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2013届高三数学二轮复习精品教学案:(4)函数与方程思想.doc

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2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题九 解答题解....doc

2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题九 解答题解题策略专题辅导 高三数学高三...可从函数 与方程思想角度来理解,多用归纳,猜想,③数列中经常出现的一些不等式...

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