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2012届二轮复习专题8--分段函数


2012 届高考冲刺专题 8—分段函数专题
知识点梳理 一、定义:分段函数是指自变量在不同范围内,有不同对应法则的函数。 二、注意:
1、分段函数是一个函数,而不是几个函数; 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; 3、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法:先分后合

三、涉及的内容及相应的常用方法:
1、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解 析式; 2、求值、解不等式:注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性: 各段单调(如递增)+连接处不等关系。

?①f1 ? x ? 在(??, a )上 ? f x , x ? ( ?? , a ] ? ? ? ? ? ? 1 (如 f ? x ? ? ? 在 R 上是增函数,则 ?②f 2 ? x ? 在[a, ??)上 ? ) ; ? ? ? f 2 ? x ? , x ? [a, ??) ? ?③f1 ? a ? ? f 2 ? a ?
4、奇偶性: 分段讨论,各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数; 5、图像性质或变换等: 作图、赋值等,注意变量的范围限制; 6、最值: 求各段的最值或者上下界再进行比较; 7、图像: 分类讨论,如零点分段法得到各段解析式再作图;

?2e x ?1 , x ? 2, ? 例题讲解:1、设 f(x)= ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,

则不等式 f(x)>2 的解集为(



(A)(1,2) ? (3,+∞)(B)( 10 ,+∞)(C)(1,2) ? ( 10 ,+∞)(D)(1,2) 答案:C 2、已知 f ( x) ? ? (A)(1,+ ? )

1, ?(3 ? a) x ? 4 a, x< 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是( ) log x , x ? 1 ? a
(B)(- ? ,3) (C)[

3 ,3) 5

(D)(1,3)

3? a ? 0 ? ? a ?1 ?1? a ? 3 答案:D。 ? ?? 3 ? a ? ?1 ? 4a ? log 1 a ?

1

4、设定义为 R 的函数 f ( x) ? ?

? ? lg x ? 1 , x ? 1, ? ?0, x ? 1.

则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 ( ) D. b ? 0 且 c ? 0

有 7 个不同的实数解的充要条件是 A. b ? 0 且 c ? 0 B. b ? 0 且 c ? 0

C. b ? 0 且 c ? 0

2 答案:C。设 t ? f ( x) 由函数 y ? f ? x ? 的图中得,方程 t ? bt ? c ? 0 有两根,其中一根 t ? 0 ,另一根 t ? 0 。

5、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 A.-1 B.0 C.1

? log2 (1 ? x), x ? 0, ) 的值为( f ( x) ? ? 则 f (2009 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0 , ?
D.2



答案:C。法一、分别求出 f ?1?、f ? 2?、 、f ? 6? ,观察可得周期为 6 法二、由

f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2) ,迭代得 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x ?1) , f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 2)

? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 7、求函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值 ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?

fmax ( x) ? 4 .
8、(2011 年高考湖北卷理科 17)(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千 米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此 时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米,/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时, 车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/小时) f ( x ) ? x v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v ( x ) ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v ( x ) ? ax ? b
1 ? ?a ? ? 3 , 200a ? b ? 0, 再由已知得 ,解得 ? 20a ? b ? 60. ?b ? 200 . 3 ?

?

故函数 v ( x ) 的表达式为 v ( x ) ? ? 1

?60, 0 ? x ? 20, ? (200 ? x ), 20 ? x ? 200. ? ?3 ?60, 0 ? x ? 20, ? (200 ? x ), 20 ? x ? 200. ? ?3
2

(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x ) ? ? 1

当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? x(200 ? x) ? [
1 3 1 x ? (200 ? x) 2 10000 ] ? , 3 2 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值
10000 . 3

10000 ? 3333 . 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

3


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