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锐角三角函数复习


锐角三角函数单元复习

知识

回顾
(1) 对于锐角 的每一个确定的 对于锐角A的每一个确定的 值,sinA、cosA、tanA都有唯 、 、 都有唯 一的确定的值与它对应,所以 一的确定的值与它对应, 把锐角A的正弦 余弦、 的正弦、 把锐角 的正弦、余弦、正切叫 的锐角三角函数。 做∠A的锐角三角函数。 的锐角三角函数

Rt△ABC中 在Rt△ABC中

∠A的对边 = sinA= ∠A的斜边

a c b c
a b

∠A的邻边 = cosA= ∠A的斜边 ∠A的对边 =

tanA=

∠A的邻边

知识

回顾

(2) sinA、 cosA 、 tanA 是一个比值(数值) 是一个比值 数值) 比值( 、 的大小有关 大小只与∠ 的大小有关,而与直角三角形的边 大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边 无关。 长无关。 (3) 特殊角的三角函数值

1 2

2 2 2 2

3 2 3 3

3 2 1 2

1

3


1


把Rt△ABC各边长扩大 倍得Rt△DEF, △ 各边长扩大3倍得 △ 各边长扩大 倍得 )

那么∠ 的余弦值的关系为( 那么∠A, ∠ D的余弦值的关系为( 的余弦值的关系为

2 sinA=

在Rt△ABC中, ∠ C=900, △ 中
2 2

,则cosB=( 则

)





4 如图 △ABC中,∠C=900,BD平 如图,△ 中∠ 平 分∠ABC, BC=12, BD= 8 3 , 则 的度数及AD的长为 ∠A的度数及 的长为 的度数及 A

D B

C

5

如图,已知△ 如图,已知△ABC中, ∠C=300 中 sinA= 0.8,AC=10,求AB的长。 的长。 求 的长
B

C

A




A

450 B

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

如图, 如图,在△ABC中,已知 中 已知AC=6,∠C=75°, , ° D 的面积。 ∠B=45°,求△ABC的面积。 ° 的面积

60° ° 75° ° C

海中有一个小岛A,它的周围 海里内有暗礁 海里内有暗礁, 海中有一个小岛 ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群 由西向到航行, 点测得小岛A在北偏东 由西向到航行,在B点测得小岛 在北偏东 °方向上,航行 点测得小岛 在北偏东60°方向上,航行12 海里到达D点 这时测得小岛A在北偏到 在北偏到30°方向上, 海里到达 点,这时测得小岛 在北偏到 °方向上,如果渔 船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险? 船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
解:由点A作BD的垂线 由点 作 的垂线 的延长线于点F,垂足为F, 交BD的延长线于点 ,垂足为 ,∠AFD=90° 的延长线于点 ° 由题意图示可知∠ 由题意图示可知∠DAF=30° ° 设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中,根据勾股定理 则在 △ 中 B
2

A 60° D F 30°

AF = AD 2 ? DF 2 =
在Rt△ABF中, △ 中

( 2 x ) ? x 2 = 3x
3x tan 30 = 12 + x
o

AF tan ∠ABF = BF
解得 x=6





AF = 6 x = 6 3 ≈ 10.4

10.4 > 8没有触礁危险 没有触礁危险

B

一、基本概念 习 1 练

c a 1.正弦 sinA= 正弦 a c 如右图所示的Rt⊿ ABC b 中∠C=90°,a=5,b=12, A 2.余弦 cosA= c 余弦 C b 那么 a 5 3.正切 tanA= b 13 定义: 锐角A的正弦、余弦、正切、 定义: 锐角A 正切 sinA= _____, 余切都叫做∠ 的锐角三角函数. 余切都叫做∠A的锐角三角函数. b 4.余切 cotA= 余切 tanA = _____, a 5
12 5 13

cosB=______,

二、特殊角三角函数值
正弦值 三角函数 如何变 化? 余弦值 sinα 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 余切值 思 考 如何变锐角 的正弦值、 锐角A的正弦值 的正弦值、 tanα 化? 余弦值有无变化范
围0< ?

角度 逐渐 增大

角 度



6 3 0° 45 ° 0°
1 2
3 2 3 3 2 2 2 2 3 2

90 °

1 2

1 1

3
3 3

sinA<1

正 弦 值 余弦 也 值逐 正切 增 渐减 值也 大 小 随之 增大 余切 值逐 渐减 小

cotα 0<cosA<1

3

三、几个重要关系式
条件: 条件:∠A为锐角 为锐角 tgA·tg(900-A)=1 sin2A+cos2A=1

练 习 2

⑴ 已知角A为锐角,且 同角的正切余互为倒数 tanA=0.6,则cosA=( 同角的正弦余弦平方和等于1 5/3

).

⑵ sin2A+tanAtan(900-A) - 2 + cos2A=( 0 ).

sinA=cos(90°- A ) 互余两个角的三角函数关系 ( ° ⑶ tan44°tan46°= ( 1 ). cosA=sin(90°- A) ( ° ) (4)tan29°tan60°tan61° tanA =cot(90°- A) ( ° ) =( 3 ). cotA= tan(90°- A) ( ° )

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值

求下列各式的值

. 2sin30°+3tan30°+cot45° cos245°+ tan60°cos30°

=2 + d 3 =2 = 3 - 2o 2

cos 45o ? sin 30o cos 45o + sin 30o

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值 2.已知值,求角 2.已知值,求角

求锐角A 求锐角A的值

1. 已知 tanA= 3 ,求锐角A . 2. 已知2cosA 3 =0,

∠A=60° ∠A=30°

求锐角A的度数 . 解:∵ 2cosA ∴ 2cosA = ∴cosA=
3 2

3 =0 3

∴∠A= 30°

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值 2.已知值,求角 2.已知值,求角 3. 确定值的范围

确定值的范围

1. 当 锐角A>45°时,sinA的 值( B ) (A)小于 (C) 小于
2 2 3 2

(B)大于 (D)大于

2 2 3 2

2. 当锐角A>30°时,cosA的 值( C ) (A)小于 (C) 小于
1 2
3 2

(B)大于 (D)大于

1 2 3 2

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值 2.已知值,求角 2.已知值,求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围

确定角的范围

1. 当∠A为锐角,且tanA的值 大于 3 时,∠A( B )
3

(A)小于30° (C) 小于60°

(B)大于30° (D)大于60°

2. 当∠A为锐角,且cosA的 值小于 3 时,∠A( B )
2

(A)小于30° (C) 小于60°

(B)大于30° (D)大于60°

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值 2.已知值,求角 2.已知值,求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围

确定角的范围

3. 当∠A为锐角,且cosA=

1 5

那么( D ) (A)0°<∠A≤ 30 ° (B) 30°<∠A≤45°
(C)45°<∠A≤ 60 ° (D) 60°<∠A≤ 90 °
1 3

4. 当∠A为锐角,且sinA= 那么( A )

(A)0°<∠A≤ 30 ° (B) 30°<∠A≤45°
(C)45°<∠A≤ 60 ° (D) 60°<∠A≤ 90 °

☆ 应用练习
1.已知角,求值 1.已知角,求值 2.已知值,求角 2.已知值,求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围

确定角的范围

5.设A为锐角 设 为锐角 为锐角,sinA=tan300 , 则( )

(A)0°<∠A< 30 ° ° (B) 30°<∠A<45° ° °
(C)45°<∠A< 60 ° ° (D) 60°<∠A< 90 ° °

☆ 拓展应用练习
1. 求锐角三角函数值

4 1.在Rt△ABC中,∠C=900, cos A = . 1.在Rt△ABC中 5
则tanB=

求值

4 3

用定义

关系式

2.在Rt△ABC中, C=900 ,∠B=2∠A, 2.在Rt△ABC中 则tanB=

3
3 5

特殊三角 函数值

3.在Rt△AB中 ,AC=3, 3.在Rt△AB中,∠ACB=900,AC=3,BC=4 C CD⊥AB于D ⊥ 于 则sin∠ACD = ∠ B
等角转化 (转化思想 转化思想) 转化思想

D

A

☆ 拓展应用练习
1. 求锐角三角函数值 2.注意细节 2.注意细节

为斜边 细节决定成败 a为斜边

1.在Rt△ABC中,a=5,b=3,c=4,则 1.在Rt△ABC中,a=5,b=3,c=4,则

3 sinB= 5
分类讨论 2.在Rt△ABC中,a=4,c=5 , 2.在Rt△ABC中

4 4 41 sinA= 5 , 41 0<cosA<1 3.已知A为锐角,且cosA是方程 3.已知A为锐角, cosA是方程 已知
1 5x+2=0的一根 的一根, 2x2-5x+2=0的一根,则 cosA= 2

☆ 拓展应用练习
1. 求锐角三角函数值 2.注意细节 2.注意细节 3.应用关系式化简和计算

化简求值

1 0< A+cos2A=1 2 1. sin α ? cos α = ,0sinα <450, 8

求 sin α ? cos α
2.已知 2.已知

α 为锐角, tan α = 2, 为锐角,
sin α tan α = cos α

求 3 sin α + cos α

4 cos α ? 5 sin α

☆ 拓展应用练习
1. 求锐角三角函数值 2.注意细节 2.注意细节 3.应用关系式化简和计算

化简求值

3.在Rt△ABC中 3.在Rt△ABC中,∠ACB=900,

1 CD⊥AB于D sinA= , ⊥ 于 3
BD=2,则BC= 则
sinA=cosB A C

┌ D

B

☆ 拓展应用练习

1.比较大小 比较大小:tan250 比较大小

cos400

2.比较大小 比较大小:tan460 , cos10 , sin880 , tan520 比较大小 tanA和 3.在Rt△ABC中 3.在Rt△ABC中,∠C=900, tanA和tanB 是关于x的方程x 8=0的两个实数 是关于x的方程x2-kx+k2-8=0的两个实数 根, 求k △ABC中 4.在Rt△ABC sinA和 4.在Rt值. 中,∠C=900, sinA和sinB 是关于x的方程4x 5x+k=0的两个实数根 的两个实数根, 是关于x的方程4x2-5x+k=0的两个实数根, 求 k值 .

综合应用 将一副三角板按如图所示摆放在一起, 将一副三角板按如图所示摆放在一起 试求tan∠ 连AD,试求 ∠ADB. 试求
D B

C A

☆ 实践与探究

将一副三角板按如图所示摆放在一起, 将一副三角板按如图所示摆放在一起 AB=CD =6,求重叠部分的面积 求重叠部分的面积. 求重叠部分的面积


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