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2015-2016学年高中数学 3.2立体几何中的向量方法(三)空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1


§3.2

立体几何中的向量方法(三)——空间向量与空间角

课时目标 1.利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的计算问题.2.会用向量方法 求两点间的距离,点到平面的距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.

1.空间中的角 角的分类 异面直线 所成的角 直线与平 面所成 的角 二面角 2.空间的距离 距离的分类 两点间 的距离 向量求法 向量求法 设两异面直线所成的角为 θ ,它们的方向向 量为 a, b, 则 cos θ =________=__________ 设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ ,l 的方向 向量为 a,平面 α 的法向量为 n,则 sin θ =______ 设二面角 α —l—β 的平面角为 θ , 平面 α 、 β 的法向量为 n1,n2,则|cos θ |= __________=__________ 范围 ?0,π ? ? 2? ? ?

?0,π ? ? 2? ? ?
[0,π ]

若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 dAB= AB = ?x2-x1? +?y2-y1? +?z2-z1? |n|) 设 n 是平面 α 的法向量,A 是平面 α 外一点,
2 2 2

??? ?

点到平面的 距离

??? ? ? AB ? n B ? α 则点 A 到平面的距离 d= ? n

一、选择题 1.若直线 l1 的方向向量与直线 l2 的方向向量的夹角是 150°,则 l1 与 l2 这两条异面直 线所成的角等于( ) A.30° B.150° C.30°或 150° D.以上均错 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150°,则直线 l 与平面 α 所成 的角等于( ) A.30° B.60° C.150° D.以上均错

3.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是棱 CC1,BC,A1B1 上的点,若 ∠B1MN=90°,则∠PMN 的大小是( ) A.等于 90° B.小于 90° C.大于 90° D.不确定
1

4.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么异面直 线 AM 与 CN 所成角的余弦值为( ) 3 10 3 2 A. B. C. D. 2 10 5 5 ??? ? → → 5.若 O 为坐标原点, OA =(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为( ) 165 A. B.2 14 2 53 2 6.在直角坐标系中,设 A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标平面折成 120°的二 面角后,则 A、B 两点间的距离为( ) A.2 11 B. 11 C. 22 D.3 11 二、填空题 7.若两个平面 α ,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν =(-1,1,0).则这两个平面所 成的锐二面角的度数是________. 8.如图, C. 53 D.

已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧棱 CC1 的中点, 则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________. 9.已知 A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点 D 到平面 ABC 的距离为 ______. 三、解答题 10.

如图所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC, 且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值.

2

11.已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC =2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

能力提升 12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二 面角的余弦值为( ) 1 2 3 2 A. B. C. D. 2 3 3 2

1 13.已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,且 2 AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

3

1.空间两条异面直线所成的角,可转化为求两条直线的方向向量的夹角或夹角的补角. 2.直线与平面所成的角,二面角主要利用平面的法向量解决;要注意向量的方向和所求 角的范围. 3.空间两点间的距离可直接利用距离公式,点到平面的距离转化为向量的投影问题. §3.2 立体几何中的向量方法(三) ——空间向量与角、距离 知识梳理 1. 角的分类 异面直线 所成的角 直线与平 面所成 的角

向量求法 设两异面直线所成的角为 θ , 它们的方向向量为 a, b, |a·b| 则 cos θ =|cos〈a,b〉|= |a|·|b| 设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ , l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n,则 sin θ =|cos〈a,n〉|= |a·n| |a|·|n| 设二面角 α —l—β 的平面角为 θ , 平面 α 、 β 的法 |n1·n2| 向量为 n1, n2, 则|cos θ |=|cos 〈n1, n2 〉 |= |n1|·|n2|

范围

?0,π ? ? 2? ? ? ?0,π ? ? 2? ? ?

二面角

[0,π ]

作业设计 1.A 2.B 3.A [∵A1B1⊥平面 BCC1B1,∴A1B1⊥MN, → → → → → ∵MP·MN=(MB1+B1P)·MN → → → → =MB1·MN+B1P·MN=0, ∴MP⊥MN,即∠PMN=90°.] 4.D

4

[如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), ? 1 ? M?1, ,1?,C(0,1,0), ? 2 ? 1? ? N?1,1, ?. 2? ? 1? → ? 1 ? → ? ∴AM=?0, ,1?,CN=?1,0, ?. 2? ? 2 ? ? 5 → → → 1 → ∴AM·CN= ,|AM|= =|CN|. 2 2 1 2 2 → → ∴cos〈AM,CN〉= = .] 5 5 5 · 2 2 3 → 1 → → 5.D [由题意OP= (OA+OB)=(2, ,3), 2 2 1 → → → PC=OC-OP=(-2,- ,-3), 2 1 53 4+ +9= .] 4 2 6.A [作 AE⊥x 轴交 x 轴于点 E,BF⊥x 轴交 x 轴于点 F,则 → PC=|PC|=



AB=AE+EF+ FB ,
→ →

→ →

??? ?

→2

AB =AE2+EF2+ FB 2+2AE·EF+2AE· FB +2EF· FB
→2 →2 → 2 =AE +EF + FB +2AE· FB 1 =9+25+4+2×3×2× =44, 2 → ∴|AB|=2 11.] 7.60° -1 1 解析 ∵cos〈n,ν 〉= =- , 2 2· 2 ∴〈n,ν 〉=120°.故两平面所成的锐二面角为 60°. 8.90° 解析 建立如图所示的坐标系,设正三棱柱的棱长为 1,则 B? 1 ? ? 3 ,- ,0?, 2 ? ?2

??? ?







??? ?



??? ?

??? ?

??? ?

M?

? 3 1 1? , , ?, ? 2 2 2?

5

1 ? ? 3 ,- ,1?, 2 ? ?2 1 ? → ? 3 因此AB1=? ,- ,1?, 2 2 ? ? 1? → ? BM=?0,1, ?, 2? ?

B1?

设异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 θ ,

→ → 则 cos θ =|cos〈AB1,BM〉|= =0,∴θ =90°. 49 17 9. 17 解析 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),

→ ? 3 ? ∴可取 n=?- ,-1,1?,又AD=(-7,-7,7). ? 2 ? ∴点 D 到平面 ABC 的距离 d= 10. = 49 17 . 17

解 由题设条件知,可建立以 AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图 所示). ?1 ? 设 AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D? ,0,0?,S(0,0,1). ?2 ? → → ∴AS=(0,0,1),CS=(-1,-1,1). → → 显然AS是底面的法向量,它与已知向量CS的夹角 β =90°-θ , 1 1× 3 3 , 3

故有 sin θ =|cos β |= 于是 cos θ = 1-sin θ =
2

= 6 . 3



6

11.解

如图所示, 以 C 为原点, CB、 CD、 CG 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz. 由题意知 C(0,0,0),A(4,4,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0), G(0,0,2). → → → BE=(0,2,0),GE=(4,2,-2),EF=(-2,2,0). 设平面 GEF 的法向量为 n=(x,y,z),
?2x+y-z=0, ? ?-x+y=0. ?

则有

即?

令 x=1,则 y=1,z=3,∴n=(1,1,3). 点 B 到平面 EFG 的距离为

12.B [

建系如图,设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0), 1? ? A1(1,0,1),E?1,1, ?, 2? ? → ∴DA1=(1,0,1), 1? → ? DE=?1,1, ?. 2? ? 设平面 A1ED 的一个法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n·DA1=0,且 n·DE=0,

x+z=0, ? ? 即? 1 x+y+ z=0. ? 2 ?
1 令 x=1,得 y=- ,z=-1, 2 1 ? ? ∴n=?1,- ,-1?. 2 ? ? → 又平面 ABCD 的一个法向量为DD1=(0,0,1), -1 2 → ∴cos〈n,DD1〉= =- . 3 3 ×1 2
7

2 ∴平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 .] 3 13.

(1)证明 设 PA=1,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴正向建立空间 直角坐标系如图所示, 1 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, ), 2 1 1 N( ,0,0),S(1, ,0). 2 2 1 1 1 → → 所以CM=(1,-1, ),SN=(- ,- ,0). 2 2 2 1 1 → → 因为CM SN=- + +0=0,所以 CM⊥SN. 2 2 1 → (2)解 NC=(- ,1,0), 2 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则

1 ? ?x-y+2z=0, 即? 1 ? ?-2x+y=0.

令 x=2,得 a=(2,1,-2).

→ 因为|cos〈a,SN〉|= 所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45°.



8


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