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新课标高考数列《数列求和》大题专题含答案


2015 高考数学专题复习:数列
数列求和 1.公式求和
1.

2015.4.6

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?
3 3 3

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
2

2.

? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? 2 ?
3

3.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? (Ⅰ)求 a n , S n

1 3

(Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ?log3 an ,求 bn

4.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 Sn ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 q ?

q (an ?1)( q 是常数且 q ? 0, q ? 1, ) q ?1

1 1 时,试证明 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 3 2
n ?1 2

1? ?1?S n ? 3 ? 1.?2?S n ? n ? 9n.?3?an ? 2 ? ? ? ? ? 3?
n

n?n ? 1? 1 1 ?1? , bn ? ? n log3 2.?4?an ? q n , S n ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

n

2.错位相减法求和
1. a n ? ?2n ? 1? ? 3n ,求 S n 3. an ? ?3n ? 1? ? 2 2n?2 ,求 S n 4. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? an ? n2 ?1,数列 ?bn ?满足 3n ? bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 且 b1 ? 1 . (Ⅰ)求 an , bn (Ⅱ)设 Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,求 Tn . 2. an ?

2n ,求 S n 3n

5.设等比数列 {an } 的前项和为 S n ,已知 a n ?1 ? 2S n ? 2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅱ)在 a n 和 an?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列

?1? ? ? 前 n 项和 Tn ?dn ?

6.已知数列 {a n } 满足: S n ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和. (Ⅰ)试求 {a n } 的通项公式 (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ?

n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn an

7.正项等比数列 {a n } 的前

n 项和为 Sn , a4 ? 16 ,且 a2 , a3 的等差中项为 S2 .

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 (Ⅱ)设 bn ?

n a2 n ?1

,求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn

3? ?1? 3 3n ? 2 n 2 4n ? 3 ?1?S n ? n ? 3 .?2?S n ? ? ? 4 ? .?4?a n ? 2n ? 1, bn ? n ?1 .?5?a n ? 2 ? 3 n ?1 , ? ? n ? ? ? ? ? ? .?3?S n ? 2? ? 3? 2 3 3 3 ?
n ?1

n

1 n ?1 ? 1 ? ? ?? ? dn 4 ? 3?

n ?1

15 ? n 5 ? ? 1 ? 8 16 ? 2n ?1? , Tn ? ? ? ? ? ? ? ? .?6?a n ? ? ? , Tn ? ?n ? 1? ? 2 n ?1 ? 2.?7 ?a n ? 2 n ,Tn ? ? 16 ? 8 16 ? ? 3 ? 9 9 ? 2 2 n ?1 ?2?

n ?1

n

3.裂项法求和
(1) ?an ? 为等差数列,

? 1 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? a n a n ?1 ? a n a n ?1 ? ? d

(2) a n ?

1 n ?1 ? n

?

已知 ?an ?通项公式,求前 n 项和 S n 1. an ?

1 ? n?n ? 1?

Sn ?

2. an ?

1 ? ?2n ? 1??2n ? 1?

Sn ?

3. an ?

1 ? ?3n ? 1??3n ? 2?

Sn ?

4. an ?

2 ? ?3n ? 2??3n ? 1?

Sn ?

5. an ?

2 4n ? 1
2

?

Sn ?

6. a n ?

2 ? ?6n ? 3??2n ? 1?

Sn ?

7. an ?

1 ? n?n ? 2 ?

Sn ?

8. an ?

1 ? n?n ? 3?

Sn ?

9. an ?

1 ? n ?1 ? n

Sn ?

10. an ?

1 ? n?2 ? n

Sn ?

11. a n ?

? ?

2n 2 n ? 1 ? 2 n?1 ? 1

??

? ?

Sn ? Sn ?

11. a n ?

4n = 4 n ? 3 ? 4 n?1 ? 3

??

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)若 bn ? log2 an ,且 cn ?

1 Sn ? 1 2

1 ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn bn ? bn ? 2

4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1. n ? 2, n ? N * (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 a n (Ⅱ)设 bn ?

?

?

a n ?1 ,求数列 ? bn ?的前项和 Tn ?a n ? 1??a n?1 ? 1?

?1??11?Sn ? 1 ?

1 2
n ?1

1? 1 1 ? 1?3 1 1 ? .?12?an ? ? n ? n ?1 .?2?99.?3?an ? 2 n , Tn ? ? ? ? ?.?1?2015 ?. ?1 3? 4 ?3 4 ?3? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 1 ? 2 1?1? ?, Tn ? 1 ? n ?5?bn ? ? ? n ?1 n 2 ?1 n?2? ? 2 ?1 2 ?1? 1 ?
n ?3

?4?an ? 2n?1 , bn ? 2? ?
4.分组法求和

?

1 ?1? ? ? n ?1 ? 2 ?

n?2

, Sn ? 4 ?

1 ?1? ? ? n ?1 ? 2 ?

n?2

1.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? ?3n ? 2? 2 2 2

3.已知 ?an ? 是首项为 19 ,公差为 ? 2 的等差数列 (Ⅰ)求通项 an (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和

Sn .

4.求和:等差数列 ?an ?中, a3 ? 5, S15 ? 225 (Ⅰ)求通项 an 及 Sn (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 2n ? 3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

1 ? ?3 2 n? n n ?1 ? ? n ? ?.?2?S n ? n 2 ? 2n ? ? 1 ? ?? 1? .?3?a n ? 21 ? 2n, bn ? ?21 ? 2n ? ? 3 n ?1 n ?1 ? 2? n ?1 2 ? ?2 ? ? n n 3 ? ln 3 ? 1, ?n ? 2k ? n 2 n ?1 ? 3 ?1 2 ?2 ? 2 Tn ? 20n ? n 2 ? .?4?S n ? n 2 , Tn ? ? n 2 ? 2n.?5?S n ? ? 2 3 ?3 n ? n ? 1 ln 3 ? ln 2 ? 1, ?n ? 2k ? 1? ? 2 ?

?1?S n ? ? ?2 ?

?

?

?

?

2015 高考数学专题复习:分类讨论
5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. (Ⅰ)求 {an } 通项公式 (Ⅱ)求数列 {| an |} 的前 n 项和 T n

6.数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 2, ?n ? 3? (Ⅰ)求 {an } 通项公式 (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

8.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2,4S n ? an ? an?1 , ?n ? N ? ? (Ⅰ)求 {an } 通项公式 (Ⅱ)设数列 ?

? n 1 ? 1 ? ? ? Tn ? 的前 n 项和 T n ,求证: 2 ? 4n ? 4 2 ? ? an ? ?

9.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 2an ? n 2 ? 3n ? 2 (Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 2n?为等比数列

(Ⅱ)设 bn ? an ? cosn? ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

? 3 2 43 ?? 2 n ? 2 n. ? n ? 7 ? 2 n ? 1. n ? 2 k ? 1 ? ?n. ? n ? 2k ? 1? ? ? ? ? 5 a ? 3 n ? 23. T ? . ? 6 ? an ? ? ? 4 ? Sn ? ? ? ? ? ? n n ??2n... ? n ? 2k ? ?n ? 2. ? n ? 2k ? ?77 ? 3 ? n ? 7 ?2 ? 1 ? n ? 7 ? . ? n ? 8 ? ? ? ? ? 2 2

? n 2 ? 3n ? 2 ?n ? 2k ? 1? ? ? 2 Sn ? ? 2 ? n ? 3n .....?n ? 2k ? ? ? 2

? 7 ? an ? ? ?

?1. ? n ? 2k ? 1? ? ?n. ? n ? 2k ?

?8?an

? 2n.bn ?

1 1 1 . ? bn ? 2 4n?n ? 1? 4n 4n?n ? 1?

? 2 n ?1 ? 2 n ? ..?n ? 2k ? ? n 1 1 ? 1? 1 ? n 3 n ? Tn ? ? ? ?1 ? ? ? .?9?q ? 2.bn ? 2n ? 2 ? ?? 1? .Tn ? ? n ?1 4n ? 4 4 4 ? n? 2 ??? n ? 1? ? ? 2 ? 2 .?n ? 2k ? 1? ? 3 ?

?

?

?

?

2015 高考数学专题复习:等差等比证明
1.等差数列证明: an ?1 ? an ? d (常数) 2.等比数列的证明方法: 练习: 1.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 5a n ? 4 (Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 1? 是等比数列 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n

an ?1 ? q (常数) an

2.数列 ?an } 满足: a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (Ⅰ)求证: ?an?1 ? an ?是等比数列 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n

a n ? a n ?1 . 2

3.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) . (Ⅰ)证明数列 ?

? an ? 是等差数列 n ? ?2 ?

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项之和 S n

4.设数列 {an } 的前

n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2

(Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (Ⅱ)求 a n

5.数列 ? an ?的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? (?1) n , ?n ? 1? .

(Ⅰ)求证数列 ? ?an ?

?

2 ? (?1) n ? 为等比数列 3 ?

(Ⅱ)求 a n 及前 n 项和 S n

6.数列 ?an ? 的前 等比数列

n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 ,求证: ?an ? 是首项为 1 的

7.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 5 且 an ? 2an?1 ? 2n ?1?n ? 2 且 n ? N * . (Ⅰ)证明:数列 ?

?

? an ? 1 ? 为等差数列 n ? ? 2 ?

(Ⅱ)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n

8.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 4, an?1 ? S n ? 3n , bn ? S n ? 3n (Ⅰ)求证:数列 {bn } 为等比数列,并求 ? bn ?的通项公式 (Ⅱ)令 Cn ? 2 log2 bn ? nbn ? 2 ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 T n

9.在数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? 2(an?1 ? 1) ? n(n ? 2, n ? N * ) (Ⅰ)证明:数列 {a n ? n} 是等比数列 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项之和 S n

10.已知 a1 ?

3a n 1 , a n ?1 ? 2 an ? 3

(Ⅰ)证明:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? an ?

(Ⅱ)设 f ?n? ? an , 求 f ?n ? 的最大值

11.若数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 S n ? 2an ? 4, bn?1 ? an ? 2bn ,且 b1 ? 2 (Ⅰ)求 a n (Ⅱ)求 ? bn ?的前 n 项和 Tn

12.数列 ?a n ? 中,a1 ? 1 ,n ? 2 时,a n , S n , S n ? 通项公式 a n (Ⅰ)求证: ?

1 成等比数列 求 {an } 的前 n 项之和 S n 及 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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?1? ? 是等差数列 ? Sn ?

(Ⅱ)求 a n

13.设实数数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,满足 a1 ? 1, S n ? nan ? 2n?n ? 1? (Ⅰ)求证 ?a n ? 为等差数列,并求 a n 和 S n (Ⅱ)设数列 ?

?

1 ? ? 的前项和为 Tn ,试求 Tn 的取值范围 ? a n ? a n ?1 ?

1? n n?2 ?1?q ? 4, a n ? 4 ? 5 n?1 ? 1, S n ? 5 n ? n ? 1.?2?bn ? ? ? ? ? .?3?d ? 1, S n ? ?2n ? 3? ? 2 ? 3.?4 ?q ? 2, a n ? ?3n ? 1? ? 2 ? 2? 2? n n ?1 n ?1 2 ?5?q ? 2, a n ? 1 ? 2 n ?1 ? ? ? ? ? ?? 1? .?6 ?q ? a 2 .?7 ?bn ? n ? 1, S n ? n ? 2 ? n.?8?q ? 2, bn ? 2 , S n ? ?n ? n ? 1? ? ?? n ? 1? 3 ?3?

n ?1

?9?q ? 2, a n ? 2 n ? n, S n ? 2 n ?1 ? n

2

?1? ?n?4 1 1 .?10?? ? : d ? , .?11?a n ? 2 n ?1 , bn ? n ? 2 n .Tn ? ?n ? 1? ? 2 n ?1 ? 2. 2 3 2 ? an ?

?1, n ? 1 1 n ?1 1 ? ?12?d ? 2, bn ? ? .?13?a n ? 2n ? 1, S n ? n 2 , bn ? , Tn ? ? ? , ?. ?2 ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 ? 3 2 ? ? ?2n ? 1??2n ? 3? , n ? 2 ?

2015 高考数列复习测试题
一.选择题: 1. 公 比 为 2 等 比 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 , 且 a3 a11 ? 16 , 则 log 2 a10 ? ( )

( A) 4

( B) 5

(C ) ?

(D) ?

2. 等 差 数 列 {a n } 中 , a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 , 则 数 列 {a n } 的 公 差 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

3.定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍 是等比数列, 则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 ( )

A.① ② 4. 已 知 ( )

B.③ ④ 为 等 比 数 列 ,

C.① ③

D.② ④

? an ?

a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 , 则 a1 ? a10 ?

( A) 7
5. 在 等 差 数 列 ( ) A.58 B.176

( B) ??

(C ) ??

(D) 5

? an ?

中 , 已 知 a4 +a8 =16 , 则 该 数 列 前 11 项 和 S11 =

C.143

D.88

6.已知等差数列 ?an ? 的前

n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ?

? 1 ? ? 的前 100项和为 ? an an ?1 ?



) A.

99 101

B.

100 101

C.

99 100

D.

101 100

?bn ?为等差数列且 bn ? an?1 ? an . 7.数列 ?an ? 的首项为 3, 若则 b3 ? ?2, b10 ? 12 , 则 a8 ?
( ) A.3 B.0 C.8 D.11

8. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 : S n ? S m ? S n?m , 且 a1 ? 1 . 那 么 a10 ? ( ) A.1 B.9 C.10 D.55

9.已知 ?a n ? 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为 ?a n ? 的前 n 项 和 ( , ) B. ? 90 C.110 D.90

n ? N?





S1 0







A. ? 110

10.有一个奇数组成的数阵排列如下:

则第 30 行从左到右第 3 个数是 A.1125 二.填空题: 11. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1,则通项 an ? ___________
2 12.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____





B.3215

C.1310

D.1051

15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 三.解答题:

4a ? 2 1 an , ? n ,求 ?an ? 的通项公式 3 a n ?1 a n ?1 ? 2

16. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (Ⅰ)证明:数列 { (Ⅱ)数列 {

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 3

1 ? 1}是等比数列 an

n } 的前 n 项和 Sn . an

17.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? ? (Ⅰ)确定常数 k ,求 a n (Ⅱ)求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 8 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 2n

18.已知 x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 2

项的和 S n 对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f ( S n?1 ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的第 n ? 1 项 (Ⅱ)若 bn 是

1 a n?1

,

1 的等比中项,且 T n 为 ?bn ?的前 n 项和,求 T n an

19.已知 ?an ? 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn ,? bn ?是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,a4 +b4 =27 ,

S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 与 ? bn ?的通项公式 (Ⅱ)记 Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? ? a1bn ,求 T n

2 20.等差数列 {an } 为递增数列, 且 a 2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 {bn } 的前 n 项

1 bn ; 2 (Ⅰ)求数列 {an }和{bn }的通项公式
和 Tn ? 1 ? (Ⅱ)若 cn ?

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . an ? an ?1

21.设数列 {an } 的前 等差数列。 (Ⅰ)求 a1 的值

n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅲ)证明:对一切正整数

n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

1 ? 10 : BBCBD, BAACD.?11?a n ?

2 ? n ? n?n ? 1? n?2 ? Sn ? ? 2 ? n ? ? ? ?17?Tn ? 4 ? n ?1 2 ? 2 2 ? n ?18?a n?1 ? 6n ? 3, Tn ? .?19 ?a n ? 3n ? 1, bn ? 2 n ,Tn ? 5 ? 2 n ?1 ? 6n ? 10 18n ? 9
1? ?20?an ? 2n ? 1, bn ? 2 ? ? ? ? ? 3?
n

n?n ? 1? 3 x ?15?an ? 2 ?16? n ? n n ? 1.?12?2n ? 1.?13? .?14? n n 2 5 3n ? 3 an 2 ? 2 ?1 x ? 2

?

?

Sn ?

2n 2n ? 1

?21?
21 lg 2 2

a n?1 2
n

?

3 an ?a ? ? n?1 ? 1, ? nn ? 2? ?1 2 2 ?2 ?

3 q ? , a n ? 3n ? 2 n. 2

?22?a1 ?

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 , Tn ? 7 ?


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