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圆的标准方程


课题:圆的标准方程 克拉玛依市第十三中学

彭菊

一、 设计思路:教师引导、学生自主阅读、合作交流思考、探索新知。 二、 教材分析: 1、地位:本节课是人教 A 版必修二第四章圆与方程的第一节课——圆的 标准方程,本节内容是在学生认识圆,熟知圆的几何性质,研究了直线与 方程,知道了在直角坐标系中,通过方程可以研究直线的相关问题,对数 形结合的思想有了初步的体验,在此基础上进一步探究圆的方程,是后面 通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆问题的基础。 2、作用: 承上:和直线方程相结合,进一步完善解析几何的本质学习:用代数方法 研究图形的几何性质,体现数形结合的重要数学思想。 启下:是后面运用代数方法研究圆的其它相关知识的基础和关键,也是培 养学生学习思想、学习方法的关键。 3、三维目标: 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方 程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思 想,化归与转化思想。通过圆的标准方程解决实际问题的学 习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数法处理几何 问题的思想。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学 生学习数学的热情和兴趣, 锻炼学生的意志品质, 培养学生 的爱国热情。 4、教学重点:圆的标准方程。 解决办法:通过教师引领,学生自学,层层递问,巩固练习五种手段解决 5、教学难点:根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 解决办法:教师示范,学生小组交流,相互补充 三、 学情分析: 小学阶段学生已初步认识了圆,学生具备了一定的生活经验和知识 基础.但这些认识较多的是感性认识。 初中阶段学生已经具备一定的分析、归纳能力,以及研究直线图形 的经验,并且对圆的几何性质有了一定的认识。 高二的学生已经学习了直线与方程。知道在直角坐标系中,直线可 以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交 点坐标、 点到直线的距离等问题, 对数形结合的思想方法有了初步的体验。 四、 教学方法:

教法: 教师主要采用“引导”的方式.教师巧设情境和活动,以旁 激侧引的方式使学习不断深入。 学法: “自主交流探究”的方法学生在自主交流探究互相协作和谐 发展,感受知识的生成过程。 五、 教学流程: 新课导入 学生自主阅读,共同探究圆的标准方程 练 习巩固 探究用代数的方法判断点与圆的位置关系 例 题讲解 小结 巩固练习 作业布置。

六、教学过程:
教学 环节 教学内容 展示祖冲之图像、 生活中圆的图片。 直角坐标系里点、 直线的表示。 师生互动 师:认识图像中的人吗? 生:祖冲之 师:他的主要成就是什么? 生:圆周率 师:圆周率跟那种几何图形有关 生:圆 师:圆与我们的生活是密不可分,比如(放幻 灯) 。大家知道在直角坐标系中点可以用坐标 来表示,任何一条直线都可以用一个二元一次 方程表示,那么圆是否也可以用代数方程来表 示呢?这就是这节课我们研究的问题 ------ 圆 的标准方程(板书) 。 师: 请同学们阅读教科书 P118 至 P119 第一行, 并思考以下几个问题: 1、确定圆的基本要素有哪些? 2、假设圆心 C 为(a,b) ,半径为 r,点 M(x,y) 是圆上任意一点,则|MC|与半径 r 有何关系? 3、 你能用数学表达式表示出|MC|与半径 r 的关 系吗? 4、你能得到圆的标准方程吗?从方程中你能 看到圆的圆心和半径吗?反过来,给你圆心和 半径能写出圆的方程吗? 设计意图 1、 在陌生环境 中拉近师生 关系。 2、 回顾学生对 圆的认识。 3、 引出新课

(1) 圆 心 在 点 C(3, 4 ),半径是 5
2 2

活动 1 新课 导入

(师:那第三题呢?第三题圆心、半径都不知 道。 学生:直径的中点就是圆心。用到中点公式得 ?x ? 3? ? ? y ? 4? ? 5 (2) 经 过 点 P(5,1), 到圆心为(2,2) 圆心在点 C(8,-3) 学生:半径是直径的一半得 2。 (或者计算圆心 ?x ? 8? ? ? y ? 3? ? 25 到 P1 的 距 离 ) 所 以 圆 的 方 程 为 (3)已知两点 P1(4, ?x ? 5? 2 ? ? y ? 6? 2 ? 10 ) 9) ,P2(6,3) ,求 以 P1P2 为直径的圆 的方程。 ?x ? 5? ? ? y ? 6? ? 10
2 2

半径的寻求 方法。

2

2

圆的标准方程: ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r2 圆心(a,b)半径 r

1、 培养学生阅 读能力 2、 学生体会圆 的标准方程 的生成过程 3、 感受代数式 所表达的几 何意义。

你能判断下列各点 与 圆 ?x ? 5? ? ? y ? 6? ? 10 的位置关系吗? M(6,9) N(3,3) Q(5,3)
2 2

活动 2 探索 新知 一

活动 4 探求 新知 二、

师:你能解决这个问题吗?若能,请你说出判 断方法,若有困难,请阅读教科书 P119 例一 并完成。 生:将三点分别带入方程得到 M 点在圆上 N、 Q 点不在圆上 师:那么 N 点、Q 点不在圆上,不在圆上又可 以有哪几种位置关系? 生:圆内,圆外。 师:我们再观察 N 点、Q 点代到原方程左端不 等于右端,那不等于有可以分为哪几种情况? 生:大于和小于。点在圆内则左端小于右端, 点在圆外则左端大于右端。 师: 同学们现在具体判断点 N 和点 Q 与圆的位 置关系。 生:点 N 在圆外,点 Q 在圆内。 师:太棒了!其实初中我们已经学过判断点与 圆的位置关系的方法:只需要对比点与圆心的 距离 d 与 r 的大小。 (1) 点在圆上时 d=r ; (2) 点在圆内时 d<r ; (3) 点在圆外时 d>r。 师:现在我们又有了代数方法: 2 若圆为 ?x ? a?2 ? ? y 点为( x0 , y0 ) 。则: ? b? ? r 2 2 2 2
点在圆上 ? ?x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r
2 2 2 2

1、 培养学生阅 读,提取信 息的能力。 2、 培养学生观 察事物之间 联系的能力 3、 利用代数方 法判断点与 圆的位置关 系 4、 体会代数式 所表达的几 何意义

点在圆外 ? ?x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2

点在圆内 ? ?x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2

1、写出下列各圆的 圆心坐标和半径: (1) ?x ? 1?2 ? y 2 ? 6 活动 (2) ?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 3 (3) 课堂 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? m 练习 圆心 ( ? 1,2)r ? 3
2 2 2

圆心 (1,0)r ? 6

圆心 (-1, -2) , 半径|m| 2、写出下列各圆的 方程:

学生口答完成第 1 题的三个小题。 1、 加深学生对 若出现问题, 教师引导, 其余学生补充及完善。 圆的标准方 程的认识 2、 培养学生分 析问题的能 力 3、 体会用代数 方法解决几 何问题的过 程。 学生动笔完成第 2 题。教师巡视,并指导。 4、 总结求圆的 若第三小题出现问题严重,则采取下列步骤: 方程圆心和

(幻灯打出来) (其实代数式左端开方就是两 点的距离)

例: 已知 ? ABC 的三 个顶点的坐标分别 是 A(5,1) ,B(7, -3 ) , C ( 2 , -8 ) , 求它的外接圆的方 程。 解:设所求圆的方 程 是 2 2 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,因为 A(5,1) ,B ( 7 , -3 ) ,C(2, -8 )都在圆上,所 以它们的坐标都满 足圆的方程。于是 ? ?5 ? a ?2 ? ?1 ? b ?2 ? r 2 ? 2 2 2 ??7 ? a ? ? ?? 3 ? b ? ? r 2 2 ??2 ? a ? ? ?? 8 ? b ? ? r 2 ? 解 得 :

活动 5 例题 讲解

? a ? 2 ? ? b ? ?3 ?r 2 ? 25 ?
所以圆的方程为:
?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 ? 25

师:刚才研究了点与圆的位置问题,现在请问 同学们几点确定一条直线 生:两点确定一条直线。 师:那么几点确定一个圆呢? 生:不共线的三点确定一个圆。 师:对,而且只能确定一个圆。现在老师给出 三个点 A(5,1) ,B(7,-3) ,C(2,-8) (幻 灯上:在坐标系中给出这三个点)它们确定唯 一的圆(幻灯出示) ,那同学们想一下这个圆 的方程如何求解呢? 生:三点在圆上,则可带入圆的标准方程中, 得到方程组,解方程组即可。 生:连接三点,相当于求三角形的外接圆。 师:那外接圆的圆心你能找到吗? 生:两条边中垂线的交点。 师:那中垂线的方程怎么求? 生:找到中点,和斜率。 师:现在请同学们选择你们支持的方法求解这 个圆的标准方程。 师:有困难吗?(学生尝试两分钟) 生:方程组不好解 师:那老师来帮助你们,解方程组主要方法是 消元,如何消元呢?先消谁容易些呢? 学生:a,b 在括号里面,消 r 容易一些,前两个 式子相减。 师:板书前两个式子相减的过程。 学生:计算后两个式子相减的过程。 师:相减得到的等式 a-2b-8=0 以及 a+b+1=0, 将两式联立即可解得 a=2,b=-3, 再带入方程组 第一个等式中即可得到 =25 回顾:这道题我们用了两种方法,方法一:先 设出圆的标准方程,根据题设列出关于 a,b,r 的(3 个方程组成)方程组,解得 a,b,r 的值, 写出圆的标准方程即可。方法二:主要是利用 几何知识确定圆的要素,分别找到圆心和半 径,然后写出圆的标准方程。 2、圆心和半径如何寻求。 (圆心:中垂线交点, 半径:圆心到圆上一点的距离。 )下面同学们 来练习一道。 (师:两条垂直平分线的方程分别是 a-2b-8=0 和 a+b+1=0 与我们方法一中两方程相减得到的 等式相同,也就是说方法一中两方程相减得到 的方程就是中垂线的方程,这是为什么呢?学 生回家思考,课下交流。 ) 提示:从代数式表达的几何意义出发。 (若时 间允许老师引导学生理解) 学生先说,老师补充。

1、 圆的幻灯展 示目的是使 得“数形结 合”思想的 教学落到实 处。 2、 圆的标准方 程的应用 3、 让学生初步 体验用“待 定系数法” 求曲线方程 这一数学方 法使用的过 程。 4、 培养学生多 角度思考问 题。 5、 归纳几何法 找圆心和半 径的方法 6、 归纳求解圆 的标准方程 的两种方 法。

作业

教科书 P124 习题 4.1A 组 第 2、3、5、6 题。

板书 设计

r2

备选习题:已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2) ,且圆心在直线 l:x-y+1=0
上,求圆心为 C 的圆的标准方程。

七、教学反馈:

活动 7 小结

1、 圆的标准方程 2、 圆心寻找方法 3、 半径的求法 4、 圆 的 标 准 方 程 的求解方法 5、 数形结合思想。


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