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南京清江花苑严老师高三数学上学期期末复习0013


高三数学上学期期末复习 0013
第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.若集合 M ? {x | ?1 ? x ? 1} , N ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 M∩N= ▲ . 2.将复数

1 ? 2i (是虚数单位)写成 a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? 1? i
▲ .

▲ .

3.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 1, k ? ,若 a ? b ,则 k 等于 4.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) ,则 f [ f (0)] ? x ( x ? 0) ?3

▲ .

5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、 5、6),骰子朝上的面的点数分别为 x , y ,则 y ? 2 x 的概率为 ▲ .

?x ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ▲ . ?2 x ? y ? 5 ?
7.如图所示的流程图,若输出的结果是 15,则判断框中的横线上可以填入的 最大整数为 ▲ . 8. 已知圆 C 的圆心为抛物线 y ? ?4 x 的焦点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C
2

相切,则圆 C 的标准方程为 ▲ . 9.设 a、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ? ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

? , 则? ? ?

其中正确的命题序号是 ▲ . 10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A , 则 sin A ? ▲ .

11.已知函数 f ( x) ? ln x ? 小值 4,则 m ? ▲ .

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最 x

y Dn

Cn

12. 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另两个 顶点 Cn 、 Dn 在函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的图像上,若点 Bn 的 x

O An

Bn
1

x

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坐标为 ? n, 0 ? ( n ? 2, n ? N ) ),矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为 an ,则 a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ?
*

▲ . 13.已知椭圆

x2 y 2 3 ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b cos(? ? ? ) = ▲ . cos(? ? ? )

椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、 ? ,则

14 . 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) , 且

1 1 1 ? ?? ? =2 , 则 a1 a2 a2012

a2013 ? 4a1 的最小值为 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列, 角 B 为锐角,且 f ( B ) ? 1 ,求

1 2

2

1 1 的值. ? tan A tan C

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O 。 (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

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17.(本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 数列

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求

?a n ?的通项公式;

(Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求 出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 15 分) 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如 y 图,助跑道 ABC 是 一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后 4 A D 落到离地面高为 1 米的平台上 E 处, 飞行的轨迹是一段抛物线 CDE (抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内),D 为这段抛物线的 最高点. 现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐 C 标系, x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1), B O 2 点 B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安 全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米),试求运 动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)

E x

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19.(本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 E1 方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 a 2 b2
A

y C D B O x

x ? y ? a ,过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C.

(Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e =

1 ,F2 为椭圆的右焦点, | BA | ? | BF2 |? 2a 时, k1 的值; 当 求 2

(Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

k1 b 2 时,试问直线 ? k2 a 2

BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) (Ⅰ)求 a 的值.

记函数 f n ? x ? ? a ? x n ? 1 a ? R, n ? N* 的导函数为 f n? ? x ? ,已知 f 3? ? 2 ? ? 12 .

?

?

(Ⅱ)设函数 g n ( x) ? f n ( x) ? n 2 ln x ,试问:是否存在正整数 n 使得函数 g n ( x) 有且只有 一个零点?若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若实数 x0 和 m ( m ? 0 ,且 m ? 1 )满足: 大小,并加以证明.

f n? ? x0 ? f ?m? ? n ,试比较 x0 与 m 的 f n??1 ? x0 ? f n ?1 ? m ?

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第二部分(加试部分)
21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 若矩阵

A 有 特 征 值 ?1 ? 3 , ?2 ? ?1 , 它 们 所 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 e1 ? ? ? 0
? ?

?1 ?



e2 ? ? ? ,求矩阵 A . 2
? ?
…………………10 分

?1 ?

21.C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分 10 分) 已知椭圆 C :

任一点,求 ?PAB 面积的最大值。

x2 y 2 ? ? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆上 16 9

22.(本题满分 10 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 PCD ? 底 面 ABCD ,

PD ? CD , 底面 ABCD 是直角梯形,AB / / CD ,?ADC ?

?
2



AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . 设 Q 为 侧 棱 PC 上 一 点 , ??? ? ??? ? PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45°.

23.(本题满分 10 分) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 , a2 , a3 是 (1 ?

1 m x) 展开式的前三项的系数. 2

(Ⅰ)求 (1 ?

1 m x) 展开式的中间项; 2
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 与 的大小. an an ?1 an ? 2 an2 3

(Ⅱ)当 n ? 2 时,试比较

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