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高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系课件新人教A必修1_图文

【课标要求】 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确判断. 2.了解 Venn 图的含义,会用 Venn 图表示两个集合间的关系. 3.了解空集的含义及其性质.

|新知预习| 知识点一 子集 文字语言 对于两个集合 A,B, 如果集合 A 中任意一个 元素都是集合 B 中的元 素,我们就说这两个集 合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集 符号语言 对任意元素 x∈A, 必有 x∈B,则 A? B(或 B?A),读作 A 包含于 B 或 B 包含 A 图形语言

知识点二 集合相等 1.自然语言:如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A), 此时, 集合 A 与集合 B 中的元素是一样的, 因此,集合 A 与集合 B 相等。 2.符号语言:若 A?B,又 B?A,则 A=B.

知识点三 空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为?. 规定:空集是任何集合的子集.

知识点四 真子集 文字语言 符号语言 图形语言 对于两个集合 A,B,如果 若集合 A?B,但 x∈B,且 集合 A 是集合 B 的子集, 且 x?A,则 A ? B(或 B ? A)(读 在集合 B 中存在一个元素 作“A 真包含于 B”或“B 不是集合 A 的元素, 我们称 真包含 A”) 集合 A 是集合 B 的真子集

知识点五 子集的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集,即 A?A. 2.对于集合 A,B,C, (1)若 A?B,B?C,则 A?C; (2)若 A ? B,B ? C,则 A ? C.

【化解疑难】 1.子集概念的理解 (1)“A 是 B 的子集”的含义是: 集合 A 中的任何一个元素都是 集合 B 中的元素,即由任意 x∈A 能推出 x∈B. (2)不能把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”, 因为当 A=?时,A?B,但 A 中不含任何元素; 又当 A=B 时,也有 A?B,但 A 中含有 B 中的所有元素,这 两种情况都使 A?B 成立.

2.符号∈和?的区别 符号 ∈只能适用于元素与集合之间,符号 ∈的左边只能写元 素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素 与集合之间的关系,如-1∈Z, 2∈R;符号?只能适用于集合与 集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合 的子集, 左边集合的元素均属于右边的集合, 如{1}?{1,0}, {x|x<2} ?{x|x<3}.

|自我尝试| 1. 能正确表示集合 M={x|x∈R 且 0≤x≤1}和集合 N={x∈R|x2 =x}关系的 Venn 图是( )

【解析】 N={x∈R|x2=x}={0,1}, M={x|x∈R 且 0≤x≤1}, ∴N ? M. 【答案】 B

2.集合{0,1}的子集有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

)

【解析】 集合{0,1}的子集为?,{0},{1},{0,1}. 【答案】 D

3.已知集合 A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是( A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A

)

【解析】 集合 A={x|-1-x<0}={x|x>-1},所以 0∈A,{0} ?A,D 正确. 【答案】 D

4.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2},若 B?A, 则实数 m=________.

【解析】 ∵B?A,∴2m-1=m2,∴m=1. 【答案】 1

类型一 集合间关系的判断 [例 1] (1)下列各式中,正确的个数是( ) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0}; ⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)指出下列各组集合之间的关系: ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; ②A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; ③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.

【解析】 (1)对于①, 是集合与集合的关系, 应为{0} ? {0,1,2}; 对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③, 空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素 0 的集合,空 集不含任何元素, 并且空集是任何非空集合的真子集, 所以? ? {0}; 对于⑤,{0,1}是含有两个元素 0 与 1 的集合,而{(0,1)}是以有序数 组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥, 0 与{0}是“属于与否”的关系,所以 0∈{0}.故②③是正确的, 应选 B.

(2)①集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数 对,故 A 与 B 之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的 三角形,故 A ? B. ③方法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于 n∈N*, 因此集合 M 含有元素“1”,而集合 N 不含元素“1”,故 N ? M. 方法二:由列举法知 M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所 以 N ? M. 【答案】 (1)B

方法归纳 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 首先,判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B,若 是,则 A?B,否则 A 不是 B 的子集; 其次, 判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A, 若是,则 B?A,否则 B 不是 A 的子集; 若既有 A?B,又有 B?A,则 A=B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地 进行判断,但要注意端点值的取舍.

跟踪训练 1 (1)若集合 M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则 M 与 T 的关系是( ) A.M ? T B.M ? T C.M=T D.M ? T (2)已知集合 A={x|x<-2 或 x>0},B={x|0<x<1},则( ) A.A=B B.A ? B C.B ? A D.A?B

【解析】 (1)因为 M={x|x2-1=0}={-1,1}, 又 T={-1,0,1}, 所以 M ? T. (2)由数轴知 B ? A.

【答案】 (1)A (2)C

类型二 有限集合子集的确定 [例 2] (1)集合 M={a,b,c}的真子集个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 (2)满足{1,2} ? M?{1,2,3,4,5}的集合 M 有________个.

【解析】 (1)集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有 0 个, 1 个或 2 个, 含有 0 个元素为?, 含有 1 个元素有 3 个真子集{a}, {b},{c},含有 2 个元素有 3 个真子集{a,b},{a,c}和{b,c}, 共有 7 个真子集,故选 B. (2)由题意可得{1,2} ? M?{1,2,3,4,5},可以确定集合 M 必含有 元素 1,2,且含有元素 3,4,5 中的至少一个,因此依据集合 M 的元素 个数分类如下: 含有三个元素:{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合 M 共有 7 个. 【答案】 (1)B (2)7

方法归纳 求集合子集、真子集个数的三个步骤

跟踪训练 2 (1)已知集合 M={x∈Z|1≤x≤m}, 若集合 M 有 4 个子集,则实数 m=( ) A . 1 B .2 C.3 D.4 (2)若集合 A ? {1,2,3},且 A 中至少含有一个奇数,则这样的集 合有________个.

【解析】 (1)根据题意,集合 M 有 4 个子集,则 M 中有 2 个 元素,又由 M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于 1 而小于等于 m 的全部整数,则 m=2. (2)若 A 中含有一个奇数,则 A 可能为{1},{3},{1,2},{3,2}; 若 A 中含有两个奇数,则 A={1,3}. 【答案】 (1)B (2)5

类型三 根据集合的包含关系求参数 [例 3] 已知集合 A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足 A ?B 的实数 a 的取值范围.

方法归纳 (1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数 轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误, 一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”, 尤其是集合中含 有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨 论思想是必需的.

跟踪训练 3 (1)设集合 M={x|2x2-5x-3=0}, 集合 N={x|mx =1},若 N?M,则实数 m 的取值集合为________; (2)设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A B,则实数 a 的取值 范围是________.

? ? 1? 1? 【解析】 (1)集合 M=?3,-2?.若 N?M, 则 N={3}或?-2?或 ? ? ? ? ? 1? 1 ?.于是当 N={3}时,m=3;当 N=?-2?时,m=-2;当 N=?时, ? ?

m=0.
? 1? 所以 m 的取值集合为?-2,0,3?. ? ?

(2)因为 A ? B,所以 a≥2, 即 a 的取值范围是{a|a≥2}. ? 1? 【答案】 (1)?-2,0,3? (2){a|a≥2} ? ?

|素养提升| 1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 即由 x∈A, 能推出 x∈B,这是判断 A?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的 集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中 含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A、B 首先要满足 A?B,其次至少有一 个 x∈B,但 x?A.

2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依 次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真 子集. 3.规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因 此遇到诸如 A?B,A ? B 的问题时,务必优先考虑 A=?是否满足题 意,如例 3 跟踪训练 3 易忽视对?的讨论而导致解题错误.

|巩固提升| 1 .已知集合 M = {y|y = x - 2x - 1 , x∈R} , 集合 N = {x| - 2≤x≤4},则集合 M 与 N 之间的关系是( ) A.M>N B.M ? N C.N ? M D.M?N
2

【解析】 因为 y=(x-1)2-2≥-2, 所以 M={y|y≥-2},所以 N ? M. 【答案】 C

(

2.已知集合 A={1,2,3},B={3,x2,2},若 A=B,则 x 的值是 ) A.1 B.-1 C.±1 D.0

【解析】 由 A=B 得 x =1,所以 x=±1,故选 C. 【答案】 C

2

3.已知集合 M={-8,1,9},集合 N={1,m-1},若 N?M, 则实数 m=________.

【解析】 因为 m-1∈N,N?M, 所以 m-1∈M, 所以 m-1=-8 或 m-1=9, 所以 m=-7 或 10. 【答案】 -7 或 10