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山东省东营市广饶一中2015届高三上学期期中考试模拟数学(理)试卷


2014-2015 学年山东省东营市广饶一中高三(上)期中数学模拟 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合 M={x|x+1≥0},N={x|x <4},则 M∩N=( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (2,+∞) C. (﹣1,2) D. [﹣1,2) 2. 已知命题 p: ? x∈R, 2 <3 ; 命题 q: ? x∈R, x =1﹣x , 则下列命题中为真命题的是 ( A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬p∧¬q
x x 3 2 2



3.函数周期为π,其图象的一条对称轴是 x= A. y=sin( + ) B. y=sin(2x+

,则此函数的解析式可以为(

) )

) C. y=sin(2x﹣

) D. y=sin(2x﹣

4.已知等差数列{an}中 a2=7,S4=32,则数列{an}的通项公式 an=( A. 3n﹣1 B. 4n﹣3 C. n+5[来源:学科网 ZXXK] D. 2n+3



5.已知 a=

,b=log2 ,c=log

,则(



A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. c>b>a 6.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( A. C. )

有最大值 4 B. ab 有最小值 有最大值 D. a +b 有最小值
2 2

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 asinA+bsinB﹣csinC= 角 C 等于( ) A. B. C. D.

asinB.则

8.已知实数 x,y 满足不等式组

,那么式子 z=3x+y 的最大值是(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

9.现有四个函数:①y=x? sinx②y=x? cosx③y=x? |cosx|④y=x? 2 的图象(部分)如下, 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )

x

A. ①④③② B. ④①②③ C. ①④②③ D. ③④②① 10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数” ,区间[a, b]称为“关联区间” .若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数” ,则 m 的 取值范围为( ) A. (﹣ ,﹣2] B. [﹣1,0] C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣ ,+∞)
2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上 11.若 f(x)=2 +2 lga 是奇函数,则实数 a=
x ﹣x



12. 计算 0.25 ×

﹣1

×

﹣10× (2﹣

) +1+

﹣1

=



13. (理)不等式|x﹣1|+|x+2|≤4 的解集是



14.已知

=



15.已知 是 .

是 R 上的减函数,则 a 的取值范围

16.给出下列四个命题: ①命题“若α= ,则 tanα=1”的逆否命题为假命题;

②命题 p:? x∈R,sinx≤1.则¬p:? x0∈R,使 sinx0>1; ③“φ= +kπ(k∈Z) ”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;

④命题 p: “? x0∈R,使 sinx0+cosx0= ” ;命题 q: “若 sinα>sinβ,则α>β” ,那么(¬ p)∧q 为真命题.其中正确的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17.设锐角△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 acosC+ c=b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y=2sin B+cos(
2

﹣2B)的值域.

18. 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)令 bn=an? 3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 20.已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (其中 a>0,且 a≠1) (1)求函数 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并予以证明; (3)求使 f(x)+g(x)<0 成立的 x 的集合.

2

2



21.某厂家拟在 2010 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3﹣ (k 为常数) ,如果不搞促销活动,则该产

品的年销售量只能是 1 万件 .已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该 产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产 品成本包括固定投入和再投入两部分资金) . (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 22.已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,x>0,a∈R 是常数. (1)求函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围; (3)证明:? a∈R,存在ξ∈(1,e) ,使 f′(ξ)= .
2

2014-2015 学年山东省东营市广饶一中高三(上)期中数 学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合 M={x|x+1≥0},N={x|x <4},则 M∩N=( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (2,+∞) C. (﹣1,2) D. [﹣1,2) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集的性质求解. 解答:[来源:学科网 ZXXK] 解:∵集合 M={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},N={x|x <4}={x|﹣2<x <2}, ∴M∩N={x|﹣1≤x<2}=[﹣1,2) . 故选:D. 点评: 本题考查交集的求法,解题时要认真审题,是基础题. 2. 已知命题 p: ? x∈R, 2 <3 ; 命题 q: ? x∈R, x =1﹣x , 则下列命题中为真命题的是 ( A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬p∧¬q 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型;简易逻辑. 分析: 举反例说明命题 p 为假命题,则¬p 为真命题.引入辅助函数 f(x)=x +x ﹣1,由函 数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题 q 为真命题,由复合命题的真假得到 答案. 解答: 解:因为 x=﹣1 时,2 >3 ,所以命题 p:? x∈R,2 <3 为假命题,则¬p 为真命 题. 令 f(x)=x +x ﹣1,因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数 f(x)=x +x ﹣1 在(0, 1)上存在零点, 即命题 q:? x∈R,x =1﹣x 为真命题. 则¬p∧q 为真命题. 故选 B. 点评: 本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答的 关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.
3 2 3 2 3 2 ﹣1 ﹣1 x x 3 2 x x 3 2 2 2



3.函数周期为π,其图象的一条对称轴是 x=

, 则此函数的解析式可以为(



A. y=sin( + D. y=sin(2x﹣

)[来源:学*科*网 Z*X*X*K] B. y=sin(2x+ )

) C. y=sin(2x﹣



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的周期排除 A,利用图象的一条对称轴是 x= 选项即可. 解答: 解:∵函数的周期为π, ∴ω=2,A 不正确; 函数的图象的一条对称轴是 x= ∴2x﹣ = ,y=sin(2x﹣ , )取得最大值, ,验证函数是否取得最值得到

故选:D. 点评: 本题考查三角函数的基本性质的应用,基本知识的考查. 4.已知等差数列{an}中 a2=7,S4=32,则数列{an}的通项公式 an=( A. 3n﹣1 B. 4n﹣3 C. n+5 D. 2n+3 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得首项和公差 d 的方程组,解方程组可得通项公式. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∴a2=a1+d=7,S4=4a1+ d=32, )

解得 a1=5,d=2 ∴数列{an}的通项公式 an=5+2(n﹣1)=2n+3 故选:D 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.

5.已知 a=

,b=log2 ,c=log

,则(



A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. c>b>a 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;综合题.[来源:学§科§网] 分析: 利用指数式的运算性质得到 0<a<1,由对数的运算性质得到 b<0,c>1,则答案可 求. 解答: 解:∵0<a= <2 =1,
0

b=log2 <log21=0, c=log =log23>log22=1,

∴c>a>b. 故选:C. 点评: 本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时 借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. 6.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( A. C. )

有最大值 4 B. ab 有最小值 有最大值 D. a +b 有最小值
2 2

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由于 = =2+ ≥4,故 A 不正确.

由基本不等式可得 a+b=1≥2 由于
2 2 2

,可得 ab≤ ,故 B 不正确. ≤2,故 ≤ ,故 C 正确.

=1+2

由 a +b =(a+b) ﹣2ab≥1﹣ = ,故 D 不正确. 解答: 解:∵正实数 a,b 满足 a+b=1, ∴ = =2+ ≥2+2=4,故 有最小值 4,故 A 不正确.

由基本不等式可得 a+b=1≥2 由于 故 C 正确. =a+b+2

,∴ab≤ ,故 ab 有最大值 ,故 B 不正确. =1+2 ≤2, ∴ ≤ , 故 有最大值为 ,

∵ a +b =(a+b) ﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣ = ,故 a +b 有最小值 ,故 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的关键, 属于基础题. 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 asinA+bsinB﹣csinC= 角 C 等于( ) A. B. C. D. asinB.则

2

2

2

2

2

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 解三角形. 根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论. 解:∵asinA+bsinB﹣csinC= asinB.
2 2 2

∴由正弦定理可得 a +b ﹣c = ∴由余弦定理可得 cosC= ∵0<C<π, ∴C= ,

ab, ,

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数角的求解,利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键.

8.已知实数 x,y 满足不等式组

,那么式子 z=3x+y 的最大值是(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z,z 相当于直线 y=﹣3x+z 的纵截距, 由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z, z 相当于直线 y=﹣3x+z 的纵截距,

则当过点 A 时有最大值, 由 y=x﹣1 与 2y+x=4 解得,A(2,1) , 则 z=6+1=7, 故选 B. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 9.现有四个函数:①y=x? sinx②y=x? cosx③y=x? |cosx|④y=x? 2 的图象(部分)如下, 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
x

A. ①④③② B. ④①②③ C. ①④②③ D. ③④②① 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 综合题. 分析: 从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 Y 轴对称,是一个偶函数,第二个 图象不关于原点对称,也不关于 Y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原点 对称,是奇函数,但第四个图象在 Y 轴左侧,函数值不大于 0,分析四个函数的解析后,即可 得到函数的性质,进而得到答案. 解答: 解:分析函数的解析式,可得: ①y=x? sinx 为偶函数;②y=x? cosx 为奇函数;③y=x? |cosx|为奇函数,④y=x? 2 为非奇 非偶函数 且当 x<0 时,③y=x? |cosx|≤0 恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③ 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中函数的图象或解析式,分析出函数 的性质,然后进行 比照,是解答本题的关键. 10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数” ,区间[a, b]称为“关联区间” .若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数” ,则 m 的 取值范围为( ) A. (﹣ ,﹣2] B. [﹣1,0] C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣ ,+∞)
2 x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 由题意可得 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,故
2



,由此求得 m 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数” , 2 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

2

故有

,即

,解得﹣ <m≤﹣2,

故选 A. 点评: 本题考查函数零点的判定定理, “关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化 的数学思想,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上 11.若 f(x)=2 +2 lga 是奇函数,则实数 a=
x ﹣x



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件可知,可由函数是奇函数,建立方程 f(x)+f(﹣x)=0,由此方程求出 a 的值 解答:[来源:Zxxk.Com] 解:函数 f(x)=2 +2 lga 是奇函数 ∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴2 +2 lga+2 +2 lga=0,即 2 +2 +lga(2 +2 )=0 ∴lga=﹣1 ∴a= 故答案为: .
x ﹣x ﹣x x x ﹣x x ﹣x x ﹣x

点评: 本题考查奇函数,解题的关键是熟练掌握奇函数的定义,由定义得出方程 f(x)+f (﹣x)=0,由此方程求出参数的值.

12.计算 0.25 ×

﹣1

×

﹣10×(2﹣

) +1+

﹣1

=

﹣13 .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= =4× ﹣ =6﹣20+1 =﹣13. +1+ × ﹣ +1+

故答案为:﹣13. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则,属于基础题.

13. (理)不等式|x﹣1|+|x+2|≤4 的解集是 [﹣ , ]



考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 依题意得:数轴上坐标为﹣ 的点与坐标为 的点之间的距离为 4,从而可得答案. 解答: 解:∵|x﹣1|+|x+2|≤4, 而数轴上坐标为﹣ 的点与坐标为 的点之间的距离为 4, ∴原不等式的解集为[﹣ , ], 故答案为:[﹣ , ]. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法, 分析得到数轴上坐标为﹣ 的点与坐标为 的点之间的 距离为 4 是关键,属于中档题.

14.已知

=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式得 cos( 解答: 解:∵ ∴cos( )=cos[ ﹣( )=cos[ ,sin( ﹣( ﹣x)]=sin( ﹣x)= .

﹣x)= , ﹣x)= .

﹣x)]=sin(

故答案为: . 点评: 本题考查余弦函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意诱导公式的合理运 用.

15.已知

是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是



考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质.

专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)为单调递减函数可得,g(x)=(3a﹣1)x+4a 在(﹣∞,1],函数 h (x)=logax 在(1,+∞)单调递减,且 g(1)≥h(1) ,代入解不等式可求 a 的范围 解答: 解:由函数 f(x)为单调递减函数可得,g(x)=(3a﹣1)x+4a 在(﹣∞,1],函 数 h(x)=logax 在(1,+∞)单调递减,且 g(1)≥h(1)



∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了分段函数的单调性的应用,解题的关键主要应用一次函数与对数函数 的单调性,要注意在端点值 1 处的处理. 16.给出下列四个命题: ①命题“若α= ,则 tanα=1”的逆否命题为假命题;

②命题 p:? x∈R,sinx≤1.则¬p:? x0∈R,使 sinx0>1; ③“φ= +kπ(k∈Z) ”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;

④命题 p: “? x0∈R,使 sinx0+cosx0= ” ;命题 q: “若 sinα>sinβ,则α>β” ,那么(¬ p)∧q 为真命题.其中正确的序号是 ②③ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;简易逻辑. 分析: ①可由互为逆否命题的等价性,先判断原命题的真假; ②由含有一个量词的命题的否定形式,即可判断; ③运用诱导公式,以及余弦函数为偶函数,即可判断; ④首先判断命题 p,q 的真假,再由复合命题的真假,即可判断. 解答: 解:①命题“若α= 逆否命题是真命题, 故①错; ②命题 p:? x∈R,sinx≤1.则¬p:? x0∈R,使 sinx0>1,故②对; ③函数 y=sin(2x+φ)为偶函数,由诱导公式可知,φ= ④由于 s inx+cosx= sin(x )≤ +kπ(k∈Z) ,反之成立,故③对; ,则 tanα=1”为真命题,由互为逆否命题的等价性可知,其

,故命题 p 为假命题,比如α=﹣300°,β=30°,

满足 sinα>sinβ,但α<β,故命题 q 为假命题.则(¬p)∧q 为假命题,故④错. 故答案为:②③

点评: 本题考查简易逻辑的知识:四种命题的真假、命题的否定、充分必要条件的判断,同 时考查函数的奇偶性,三角函数的化简,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17.设锐角△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 acosC+ c=b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y=2sin B+cos(
2

﹣2B)的值域.

考点: 正弦定理的应用;二倍角的余弦. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由正弦定理化简可求得 cosA= ,从而可求角 A 的大小; (Ⅱ)化简可得 y=2sin B+cos( 从而求出
2

﹣2B)=sin(2B﹣ .

)+1,再求得



解答: 解: (Ⅰ)△ABC 中,∵acosC+ c=b,由正弦定理可得 sinAcosC+ sinC=sinB ∴有 2sinAcosC+sinC=2sin(A+C) ∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC ∴2cosAsinC=sinC,∵0<sinC<1,∴2cosA=1 ∵0<A< ∴cosA= ,∴A= (Ⅱ)y=1﹣cos2B+cos ∵△ABC 为锐角三角形 cos2B+sin sin2B= sin2B﹣ cos2B+1=sin(2B﹣ )+1



∴ ∴ ∴ ∴

<B<

点评:[来源:学科网] 本题主要考察了正弦定理的应用,二倍角的余弦,属于中档题.

18. 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若? p 是? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

2



考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)现将 a=1 代入命题 p,然后解出 p 和 q,又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真,求解 实数 a 的取值范围; (2)先由¬p 是¬q 的充分不必要条件得到 q 是 p 的充分不必要条件,然 后化简命题,求解实数 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真, 由 得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3)

(2)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件,

又 p:{x|a<x<3a}(a>0) ,q:{x|2<x≤3},所以

解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是(1,2] 点评: 充要条件要抓住“大能推小,小不能推大”规律去推导. 19.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)令 bn=an? 3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: (1)由数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,利用等差数列的通项公式先求出 d=2,由此能求出数列{an}的通项公式. n n 2 3 n﹣1 n (2)由 an=2n,知 bn=an? 3 =2n? 3 ,所以 Sn=2×3+4×3 +6×3 +…+2(n﹣1)×3 +2n×3 , 再由错位相减法能够求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)∵数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12, ∴2+2+d+2+2d=12, 解得 d=2, ∴an=2+(n﹣1)×2=2n. (2)∵an=2n, n n ∴bn=an? 3 =2n? 3 , 2 3 n﹣1 n ∴Sn=2×3+4×3 +6×3 +…+2(n﹣1)×3 +2n×3 ,① 2 3 4 n n+1 3Sn=2×3 +4×3 +6×3 +…+2(n﹣1)×3 +2n×3 ,② 2 3 4 n n+1 ①﹣②得﹣2Sn=6+2×3 +2×3 +2×3 +…+2×3 ﹣2n×3

=2×
n+1 n+1

﹣2n×3

n+1

=3 ﹣2n×3 ﹣3 n+1 =(1﹣2n)×3 ﹣3 ∴Sn= + .

点评: 本题考查数列的通项公式的求 法和数列前 n 项和的求法, 综合性强, 难度大, 易出错. 解 题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用错位相减法进行求和. 20.已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (其中 a>0,且 a≠1 ) (1)求函数 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并予以证明; (3)求使 f(x)+g(x)<0 成立的 x 的集合. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法;函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的真数大于 0,可得函数的定义域; (2)利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算性质,可得结论; (3)结合对数的运算性质,分类讨论,即可求得使 f(x)+g(x)<0 成立的 x 的集合. 解答: 解: (1)由题意得: ,∴﹣1<x<1

∴所求定义域为{x|﹣1<x<1,x∈R}; (2)函数 f(x)﹣g(x)为奇函数 令 H(x)=f(x)﹣g(x) ,则 H(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x)=loga ∵H(﹣x)=loga =﹣loga =﹣H(x) , ,

∴函数 H(x)=f(x)﹣g(x)为奇函数; (3)∵f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1﹣x)=loga(1﹣x )<0=loga1 2 ∴当 a>1 时,0<1﹣x <1,∴0<x<1 或﹣1<x<0; 2 当 0<a<1 时,1﹣x >1,不等式无解 综上:当 a>1 时,使 f(x) +g(x)<0 成立的 x 的集合为{x|0<x<1 或﹣1<x<0}. 点评: 本题考查函数的奇偶性,考查解不等式,正确运用对数的运算性质是关键. 21.某厂家拟在 2010 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3﹣ (k 为常数) ,如果不搞促销活动,则该产
2

品的年销售量只能是 1 万件.已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该 产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产 品成本包括固定投入和再投入两部分资金) . (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意可知当 m=0 时,x=1 由满足 x=3 ﹣ ,即可得出 k 值,从而得出每件产

品的销售价格,从而得出 2010 年的利润的表达式即可; (2)对于(1)中求得的解析式,根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最 大值及相应的 x 值,从而解决该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 解答: 解: (1)由题意可知当 m=0 时,x=1(万件) , ∴1=3﹣k? k=2. (2 分) ∴x=3﹣ . (元) , (4 分) ﹣(8+16x+m) (6 分) ﹣m +29(m≥0) . (8 分) +(m+1)≥2 =8, (12 分)

每件产品的销售价格为 1.5× ∴2010 年的利润 y=x? =4+8x﹣m=4+8 =﹣ (2)∵m≥0 时,

∴y≤﹣8+29=21,当且仅当

=m+1? m=3(万元)时,

ymax=21(万元) . (15 分) 所以当该厂家 2010 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大. (15 分) 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识,考查学生分 析问题和解决问题的能力,属于基础题. 22.已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,x>0,a∈R 是常数. (1)求函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围; (3)证明:? a∈R,存在ξ∈(1,e) ,使 f′(ξ)= .
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;证明题;分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数 f(x)的导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线 方程; (2)讨论 a=0,a>0,a<0,运用对数函数的性质,以及分离参数,构造函数应用导数求极 值、最值,即可得到 a 的范围;

(3)设函数 g(x)=f′(x)﹣

=2x﹣(e+1)+ ﹣

,计算 g(1) ,g

(e) ,讨论当 a>e(e﹣1) 或

2

时,由零点存在定理,即可得证;当

时,求出 g(x)的最小值,判断它小于 0,再由零点存在定 理,即可得证. 解答: (1)解:函数 f(x)=x +a(x+lnx)的导数 f′(x)=2x+a(1+ ) , f(1)=1+a,f′(1)=2+2a, 则函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线为 y﹣(1+a)=(2+2a) (x﹣1) , 即 y=(1+a) (2x﹣1) ; (2)解:①a=0 时,f(x)=x ,因为 x>0,所以点(x,x )在第一象限, 2 依题意,f(x)=x +a(x+ lnx)>0; ②a>0 时,由对数函数性质知,x∈(0,1)时,lnx∈(﹣∞,0) ,alnx∈(﹣∞,0) , 从而“? x>0,f(x)=x +a(x+lnx)>0”不成立; ③a<0 时,由 f(x)=x +a(x+lnx)>0 得
2 2 2 2 2



设 x (0,1) 1 (1,+∞) g′(x) ﹣ 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗

,g′(x)=

+



则 g(x)≥g(1)=﹣1,从而 综上所述,常数 a 的取值范围﹣1<a≤0. (3)证明:直接计算知 设函数 g(x)=f′(x)﹣

,﹣1<a<0;

, =2x﹣(e+1)+ ﹣ ,





当 a>e(e﹣1) 或

2

时,

<0,

因为 y=g(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以存在ξ∈(1,e) ,使 g(ξ)=0, 即ξ∈(1,e) ,使 f′(ξ)= ;

当 个为正, 由均值不等式知,

时,g(1) 、g(e)≥0,而且 g (1) 、g(e)之中至少一

,等号当且仅当

时成立,

所以 g(x)有最小值

,且

, 此时存在ξ∈(1,e) ( 或 ) ,使 g(ξ)=0. .

综上所述,? a∈R,存在ξ∈(1,e) ,使 f′(ξ)=

点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,同时考查函数的 零点存在定理,以及分类讨论的思想方法,属于综合题.


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