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湖南省岳阳县一中高三数学第三次阶段考试试题 文 新人教A版

岳阳县一中 2014 届高三第三次阶段考试 数 学(文科)

时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:冯妍妍

一、选择题: (本大题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分.每小题给出的四个选项中只有一个是正确的, 请把正确答案填在答题卡相应位置上)
2 1.设集合 M ? ??1,0,1? , N ? x | x ? x ,则 M ? N =(

?

?

)B D. ?0?

A. ??1,0,1?

B. ?0,1?

C. ?1? ( )A

2.命题“若 x ? 1, 则 x ? 0 ”的否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 0 C.若 x ? 1 ,则 x ? 0 3.若函数 f ( x) ? cos x ?
2

B.若 x ? 1 ,则 x ? 0 D.若 x ? 1 ,则 x ? 0

A.最小正周期为

C.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2

)C

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 2 ? 的偶函数

4.将函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 2 倍,纵坐标不变,再将所得图像向左平移 得到的图像对应的解析式是( A. y ? sin(2 x ? ) 3 )C

?
3

个单位,

?

1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 3

1 ? C. y ? sin( x ? ) 2 6

D. y ? sin(2 x ?

2? ) 3

? y ? 2x ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 x ? 2 y 的最大值是( ?y ? 0 ?
A. 8 C. 3 D. 5 2 6.若 ?ABC 的内角满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A 等于( 3 B.

)D

0

)B

A. ?

15 3

B.

15 3

C. ?

15 3

D.

5 3
2 的零点,则 x

7.已知 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数, g ( x) ? [ x] 为取整函数, x0 是函数 f ( x) ? ln x ?

g ( x0 ) 等于(
A. 4 8.若 f ?x ? ? A. [3,6]

) C B. 3 C. 2 D. 1 ) A

3 sin ? 3 cos? 2 ? 5? ? x ? x ? 4 x ? 1 ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f ??? 1? 的取值范围是( 3 2 ? 6?
B. [3,4 ? 3] C. [4 ? 3,6] D. [4 ? 3,4 ? 3]

9.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) 恒成立,则不等式

x2 f ( x) ? 0 的解集是(
A. ? ??, ?2? ? ? 2, ??? C. (?2, 2)

)B B. ? ??, ?2? ? ? 0,2? D. ? ?2,0? ? ? 2, ???

二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卡相应位置) 10. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,已知 a ? 2, b ? 3 则

sin A ? sin( A ? C )



2 3

11.不等式

2? x ? 0 的解集为 x ?1
3

. ? ?1, 2?

12.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在区间 (1, ??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 13.若 lg x ? lg y ? 0 ,则 2 ? 2 的最小值是
x y

??3, ???
a?b )等 2

.4

14.函数 f ( x) ? ?2cos x ?1 , y ? f ?( x) 在区间 ? a, b? 上是增函数且 f ?(a) ? ?1, f ?(b) ? 1 ,则 f ( 于 . ?1

15.函数 y ?

d 的图像大致如下图, 有两条平 ax ? bx ? c
2

y 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2

行于 y 轴的渐近线 x ? ?5 和

x ? ?1 ,平行于 x 轴的切线方程为 y ? ?2 ,
则a :b:c:d = . 1: 6 : 5 : 8

2

3

x

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 75 分.要写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin 2 ( x ? ) . 3 2

?

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和对称轴方程; (2)当 x ???

? ?

, ? 时,求 f ( x) 的值域. 3 4

16、 (本小题满分 12 分) 解(1) f ( x) ? 3 sin(2 x ? 最小正周期 T ? ?

?
3

) ?1

3分 4分

2 ? ? ? ? 5? (2 ) 因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 3 4 3 3 6 ? 1 ? f ( x) 的值域为 ? ? , 3 ? 1? . ? 2 ?

由 2x ?

?
3

? k? ?

?

,(k ? z ) 得对称轴方程 x ?

k? ? ? ,k ? z 2 12

6分

12 分

17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三内角 A , B , C 所对三边分别为 a , b , c , 且 sin(

?
4

? A) ?

7 2 ? ,0 ? A ? . 10 4

(I)求 sin A 的值; (II)若 a ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 【解析】 : (Ⅰ)∵ 0 ? A ? 得 cos(

?
4



?
4

? A?

?
4

?

?
2

由 sin(

?
4

? A) ?

7 2 10

2 …2 分 4 10 ? ? ? ? ? ? 3 ∴ sin A ? sin( ? A ? ) = sin( ? A) cos - cos( ? A) sin = ……6 分 4 4 4 4 4 4 5 4 (Ⅱ) cos A ? ……7 分 5 2 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? bc ,所以 bc ? 10 ……10 分 5 1 S ?ABC ? bc sin A ? 3 c ? 10 ……12 分 2 ? A) ?
18. (本小题满分 12 分)

?

x2 已知函数 f ( x) ? ( a , b 为常数) ,且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两实根 x1 ? 3, x2 ? 4 . ax ? b
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若 k ? 1 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ?

x 2 ? (k ? 1) x ? k . 2? x

18.解: (1)依题意 ?

? f (3) ? 9 ? 0 ?3a ? b ? ?1 ?a ? ?1 ,解得 ? ,? ? ? f (4) ? 8 ? 0 ?4a ? b ? ?2 ?b ? 2
……………………………(4 分)

x2 ? f ( x) ? ( x ? 2) ?x?2
(2) f ( x) ?

?x ? 2 x 2 ? (k ? 1) x ? k (k ? 1) x ? k ? ? ? 0, ? ……6 分 2? x x?2 ? ?? (k ? 1) x ? k ? ( x ? 2) ? 0

k ?1 ?x ? 2 ? ? 不等式 ? ? k (x ? )( x ? 2) ? 0 ? k ?1 ?
k ?k ? 2 ?2? , k ?1 k ?1 k ?2 1) 当 1 ? k ? 2 时, ∴ k ?1
又 2) 当 k ? 2 时, …………………7 分

∴ x ? 2或x ? ∴x?2

k ; ………………9 分 k ?1
………………………10 分 ……………12 分

k ?2 3) 当 k ? 2 时, k ?1

k 或x ? 2 ∴x? k ?1

? k ? 综上所述:当 1 ? k ? 2 时,不等式解集为 ? x x ? 2或x ? ?; k ? 1? ?
当 k ? 2 时,不等式的解集为 x x ? 2

?

?

k ? ? 或x ? 2 ? . 当 k ? 2 时,不等式的解集为 ? x | x ? k ?1 ? ?
19. (本小题满分 13 分) 为响应中央“文化强国”号召,某市 2013 年计划投入 600 万元加强民族文化基础设施改造,根据估算, 改造后该市在一个月内(以 30 天记) ,民族文化旅游人数 f ( x) (万人)与时间 x (天)的函数关系近似满 足 f ( x) ? 4 ?

4 ,人均消费 g ( x) 元与时间 x (天)的函数关系近似满足 g ( x) ? 104? | x ? 23 | . x

(1)求该市旅游日收益 p( x) (万元)与时间 x (1 ? x ? 30, x ? N ? ) 的函数关系式; (2)若以最低日收益的 15% 作为每天的纯收入,该市对纯收入按 1.5% 的税率来收回投资,则按此预计两 年内能否收回全部投资?并说明理由. (1) p( x) ? f ( x) g ( x) ? (4 ? )(104? | x ? 23|),1 ? x ? 30, x ? N ?

4 x

…………5 分

4 81 ? (4 ? )(81 ? x) ? 4(82 ? x ? )(1 ? x ? 23, x ? N ? ) ? ? x x (2) P( x) ? ? ……………8 分 4 127 ? ?(4 ? )(127 ? x) ? 4(126 ? ? x)(23 ? x ? 30, x ? N ) ? x x ? 知 x ? 9, p( x) ? 400 ; ………………9 分

x ? 30, p( x) ? 400

14 ? 400 , 15

………………12 分

所以 x ? 9 时 p( x) 取得最小值 400, 则两年内的税收为 400 ? 15% ? 30 ? 12 ? 2 ? 1.5% ? 648 ? 600 , 两年内能收回全部投资. 20. (本小题满分 13 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?
a ? ln x ? 1 , g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x (其中 e 为自然对数的底数). x

……………13 分

(1)判断函数 f ( x) 在 (0, e] 上的单调性 ;(2)是否存在实数 x0 ? (0,??) , 使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切

线与 y 轴垂直? 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

f ( x) ?
20.解(1)∵

a a 1 x?a ? ln x ? 1 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 x ? ( 0 , ?? ) x x x x , ,∴

f ? x ? (0, e] ? ①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 , 在 上单调递增;
②若 0 ? a ? e ,当 当

x ? ? 0, a ?

f ? x? ? 0, a ? 上单调递减, ? 时, f ( x) ? 0 ,函数 在区间

x ? ? a, e ?

f ? x? ? a, e? 上单调递增, ? 时, f ( x) ? 0 ,函数 在区间
………………6 分

f ? x? ? 0, e? 上单调递减 ? ③若 a ? e ,则 f ( x) ? 0 ,函数 在区间 g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x x ? (0,??) , ,

(2)解:∵

ex ?1 ? x x ? ? ln x ? 1 e ? 1 ? ? x x ? ? ? ? ? ln x ? 1? e ? 1 g ?( x) ? ? ln x ? 1? e ? ? ln x ? 1? ? e ? ? 1 x ?x ? ,
由 (1) 易知 , 当 a ? 1 时 ,

f ( x) ?

1 ? ln x ? 1 f ( x ) min ? f (1) ? 0 , 即 x0 ? (0,??) x 在 (0,??) 上的最小值 :

1 ? ln x0 ? 1 ? 0 x 0 时,

?1 ? g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 x0 ? x0 ? 又 e ? 0 ,∴
x ? x0 g ?( x0 ) ? 0 曲线 y ? g ( x) 在点 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 有实数解.


g ? ? x0 ? ? 0

,即方程

g ?( x0 ) ? 0 无实数解.故不存在.

………………13 分

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 2a ln x(a, b ? R) . (I)若函数 y ? f ( x) 存在极大值和极小值,求

b 的取值范围; a

(II)设 m, n 分别为 f ( x ) 的极大值和极小值,若存在实数 b ? ( 范围. ( e 为自然对数的底) 解: (1) f ?( x) ? 2ax ? 4b ?

e ? 1 e2 ? 1 a, a), 使 m ? n ? 1 ,求 a 的取值 2e 2 e

2a 2ax 2 ? 4bx ? 2a ? ,其中 x ? 0 ,由于函数 f ( x ) 存在极大值和极小 x x
2

值, 故方程 f ?( x) ? 0 有两个不等的正实数根, 即 2ax ? 4bx ? 2a ? 0 有两个不等的正实数根, 记为 x1 , x2 ,

显然 a ? 0 .

? ? ? 16(b 2 ? a 2 ) ? 0, ? 2b b ? ? 0 ,解得 ? 1 . 所以 ? x1 ? x2 ? a a ? x1 x2 ? 1 ? 0 ? ?

………………5 分

e ? 1 e2 ? 1 b e ? 1 e2 ? 1 (2)由实数 b ? ( a, a), 知 a ? 0 ,且 ? ( , ) ,由(1)知 f ( x) 存在极大值和极小值, 2e a 2 e 2e 2 e
设 f ?( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,则 f ( x ) 在 (0, x1 ) 上递增,在 ( x1 , x2 ) 上递减,在 ( x2 , ??) 上递 增,所以 m ? f ( x1 ), n ? f ( x2 ) . 因为 x1 x2 ? 1 , 所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 且 x1 ?x2 ? x1

?

1 1 2b e 1 ? e 21? 由于函数 y ? x ? 在 (0,1) ? ?( , ) , x x1 a e e

上单调递减,所以

1 1 . ? x1 ? e e

………………7 分

而 2axi2 ? 4bxi ? 2a ? 0(i ? 1, 2) ,所以 2axi2 ? 2a ? 4bxi (i ? 1, 2) .
2 2 所以 m ? n ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ax1 ? 4bx1 ? 2a ln x1 ? ax2 ? 4bx2 ? 2a ln x2 2 2 ? a( x12 ? x2 ) ? (2ax12 ? 2a ? 2ax2 ? 2a) ? 2a(ln x1 ? ln x2 )

? ?a( x12 ?

1 ) ? 2a ln x12 . 2 x1
1 t 1 t 1 1 ?t ? ). 2 e e

2 令 t ? x1 ,则 m ? n ? ? a (t ? ) ? 2a ln t ,令 h(t ) ? ?(t ? ) ? 2 ln t (

所以 h?(t ) ? ?

1 1 (t ? 1) 2 ? 0 ,所以 h(t ) 在 ( 2 , ) 上单调递减,所以 2 e e t

e ? e?1 ? 2 ? h(t ) ? e2 ? e?2 ? 4 ,由 m ? n ? ah(t ) ? 1 ,知 a ?
所以

1 , h(t )

1 1 ?a? . ?2 e ?e ?4 e ? e ?1 ? 2
2

………………13 分