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2015高考文科数学分类汇编 专题09 圆锥曲线


专题 09 一、选择题

圆锥曲线

1.(新课标Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 ,E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点重合, 2

A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

2.(安徽卷)下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

A. x ?
2

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C. x ?
2

y2 ?1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 2

3. (福建卷) 已知椭圆 E :

x2 y 2 短轴的 一个端点为 M , 直线 l : 3x ? 4 y ? 0 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F . a 2 b2
4 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围 5 3 4

交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于 是( ) A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

4.(广东卷)已知椭圆 A. 9

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F 1 ? ?4,0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3



D. 2

5.(湖北卷)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长 度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a,b, e1 ? e2 C.对任意的 a,b, e1 ? e2 6.(湖南卷)若双曲线 )

B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2
B.
2

A.

7 3

5 4

C.

4 3

D.

5 3

7.(陕西卷)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为 A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)

8.(四川卷)过双曲线 x 2 ? |AB|= A.

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点,则 3

4 3 3

B.2 3

C.6

D.4 3

9.(四川卷)设直线 l 与抛物线 y2 =4x 相较于 A,B 两点,与圆(x-5)2 +y2 =r2 (r>0)相切于点 M,且 M 为线 段 AB 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)

10. ( 天 津 卷 )已 知 双 曲线

x2 y 2 , 且 双 曲 线 的 渐近 线 与 圆 = 1(a > 0, b > 0) 的 一 个 焦 点 为 F ( 2 , 0 ) a 2 b2

( x - 2)

2

+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为

x2 y 2 =1 A. 9 13

x2 y 2 =1 B. 13 9

x2 - y2 =1 C. 3

y2 =1 D. x 3
2

11. (浙江卷) 如图, 斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60 ,? 为斜足, 平面 ? 上的动点 ? 满足 ???? ? 30 , 则点 ? 的轨迹是( A.直线 C.椭圆 ) B.抛物线 D.双曲线的一支

x2 y 2 12.(重庆卷)设双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F,左、右顶 a b
点分别是 A1 , A2 ,过 F 做 A1A 2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B ? A2 C ,则双曲线的渐近线的斜率 为 A. ±

1 2

B. ±

2 2

C. ± 1

D. ± 2

二、填空题 1.(新课标Ⅰ)已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8

?

?

,当 ?APF 周

长最小时,该三角形的面积为



2.(新课标Ⅱ)已知双曲线过点 (4, 3 ) ,且渐近线方程为 y ? ? 3.(北京卷)已知(2,0)是双曲线 x 2 ?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2

.

y2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点,则 b ? _________. b2

x2 y 2 4.(山东卷)过双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P, a b
若点 P 的横坐标为 2 a 则 C 的离心率为 .

5.(上海卷)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的懂点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p ? .

6.(浙江卷)椭圆 椭圆的离心率是

x2 y 2 b ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上,则 2 c a b


三、解答题 1. (新课标Ⅱ)已知椭圆 C: (1)求 C 的方程. (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.直线 OM 的斜率与 直线 l 的斜率的乘积为定值. 2.(安徽卷)设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率为 ,点(2, 2 )在 C 上. 2 a b 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 B 的坐标 a 2 b2
5 。 10

为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。

3. (北京卷) 已知椭圆

,过点

且不过点

的直线与椭圆 交于

两点, 直线

与直线

.

(1)求椭圆 的离心率; (II)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率;

(III)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由。 4.(福建卷) 已知点 F 为抛物线 ? : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? 上,且 ?F ? 3 . (I)求抛物线 ? 的方程; (II) 已知点 G ? ?1,0? , 延长 ? F 交抛物线 ? 于点 ? , 证明: 以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆,必与直线 G ? 相切. 5.(湖北卷)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动, 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立 如图 2 所示的平面直角坐标系。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1 :x-2y=0 和 l2 :x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一 个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由。

6.(湖南卷)已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :
2

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交
于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向。 (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率。

7. (山东卷) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 C : 在椭圆 C 上, (I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 E :

x2 y2 1 3 , 且点 ( 3 , ) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 2 a b

x2 y2 ? ? 1, P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 于 A, B 两 4a 2 4b 2

点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q 。

(i)求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值。

8.(陕西卷)如图,椭圆 E: (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 2 ,且离心率为 . ? 2 ? 1 ( a > b >0)经过点 A(0,-1) 2 a b 2

(2)经过点(1,1)且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

O C 9. (上海卷) 已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A 、 记 ?A B 和 C 、D ,
的面积为 S . (1)设 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S ? (2)设 l1 : y ? kx , C ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2

? 3 3? 1 , ? , S ? ,求 k 的值; 3 ? 3 3 ?

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变.

10.(四川卷)如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率是 , 2 a b 2

点 P(0,1)在短轴 CD 上,且 PC PD ? ?1 (I) (II) 求椭圆 E 的方程; 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点。是否存 在常数 ? ,使得 OA OB ? ? PA PB 为定值?若存在,求 ? 的值; 若不存在,请说明理由。

11.(天津卷)已知椭圆 (1)求直线 BF 的斜率;

x2 y 2 5 . + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 2 a b 5

(2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,故点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM|=l |MQ| . (i)求 l 的值; (ii)若 |PM|sin?BQP=

7 5 ,求椭圆的方程. 9
1 2 x ,圆 C2:x2 + (y- 1)2 = 1 ,过点 P(t,0)(t>0) 作不过原点 O 的 4

12.(浙江卷)如图,已知抛物线 C1:y=

直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切 点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行, 则该直线与抛物线相切, 称该公共点为切点.

x2 y 2 13.(重庆卷)如题(21)图,椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的左右焦点分别为 F 1 , F2 ,且过 F2 的直线交椭 a b
圆于 P,Q 两点,且 PQ ? PF1 . (1)若| PF1 |=2+ 2 ,| PF2 |=2- 2 ,求椭圆的标准方程. (2)若|PQ|= ? | PF1 |,且

3 4 ? ? ? ,试确定椭圆离心率的取值范围. 4 3


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