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高二数学寒假作业(理)

数学综合
一、选择题
? 1. 已知集合 A ? x ? 2 ? x ? 3?, B ? {x y ? lg(x ?1)},
那么集合 A ? B 等于( )
A. ?x ?1 ? x ? 3? B. ?x x ? ?1或x ? 3? C. ?x ? 2 ? x ? ?1? D. {x1 ? x ? 3}
2. 已知命题 p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0 ,则( )

A. ?p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0

B. ?p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0

C. ?p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0

D. ?p : ?x ? R , x2 ? x ?1 ? 0

3. 已知等差数列{an}的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a7 ? 13 ,则 a2 ? ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 经过点 P(?1,2) 且与直线 l : x ? y ? 0 垂直的直线方程为 ( )

A. x ? y ? 3 ? 0

B. x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ?1 ? 0

D. x ? y ? 3 ? 0

5. 已知直线 m 、 n 、 l ,平面? 、 ? ,下列命题正确的是( )

A. 若 m ? ? , n ? ? , m //? , n //? ,则? // ? ;

B. 若 m ? ? , n ? ? , l ? m,l ? n ,则 l ? ? ;

C. 若 m ? ?, m // n ,则 n ? ? ;

D. 若? ? ?, m ? ?, n ? ? ,则 m ? n .

6. 已知 a ? (cos(? ? x),sin(x ? ? )) b ? (cos(? ? x),?sin(x ? ? )) ,则函数

4

4

4

4

f (x) ? a ? b 是( )

A. 最小正周期为? 的偶函数 C. 最小正周期为 2? 的偶函数

B. 最小正周期为? 的奇函数 D. 最小正周期为 2? 的奇函数

1

7. 已知函数 f (x) ? x ? 3 , x ?[0,3] ,则函数 f (x) 的最小值为 ( ) x ?1

A. 4

B. ?3

C. 0

D. ?4

8. 在底面为正方形的四棱锥V ? ABCD 中,侧棱VA 垂直于底面,且VA ? AB .点 M

为VA 的中点,则直线VC 与平面 MBC 所成角的正弦值是 ( )

3
A.
6

15
B.
5

2

15

C.

D.

3

15

9. 函

数 y ? xa x ?0 ? a ? 1?的图象的大致形状是 (
x

y

y

1o

1o

o

x

o -1
A.

o

x

o-1 B.


y
1o
ox o- C.
1

y
1o
ox Do-
1

10. 已知圆 C 与直线 x ? 3y ? 4 ? 0及 x ? 3y ? 6 ? 0 都相切,且圆心在直线

2x ? y ? 9 ? 0上,则圆 C 的方程为( )

A. (x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 5 2

B. (x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 5 2

C. (x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 10

D. (x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 10
11. 一个几何体的三视图如图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三 角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( )

A. 4 3 ? 3

B. 1 ? 2

C. 3 ? 3

D. 3 ? 6

12. 已知函数 y ? f (x) 的定义域为 R ,当 x ? 0时, f (x) ?1 ,且对任意的 x, y ? R ,
2

等式 f (x) f ( y) ? f (x ? y) 成立.若数列{an}满足 a1 ? f (0) ,

f (an?1) ?

1 f (?2 ? an )

(n ? N ? ) ,则 a2009 的值为(

A. 4016

B. 4017

C. 4018

) D. 4019

二、填空题 13. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) ? f (2 ? x) ? 0 ,当 x ?1,f (x) ? log2 (x ?1) ,

则 f (?1) =

.

?x ? y ?1? 0 14. 若实数 x 、 y 满足约束条件 ??3x ? y ?1 ? 0 ,则
??x ? y ?11 ? 0

z ? (x ?1)2 ? ( y ?1)2 的最小值为

.

y

B

A

o

x

? ?? ? 15. 已知方程 x2 ? mx ? 2 x2 ? nx ? 2 ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的等比数 2

列,则| m ? n | ?

.

16. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H .有下

列四个命题,

A

D

① 点 H 是 △A1BD 的垂心;

B ② AH 垂直平面 CB1D1 ;

C
H

③ 二面角 C ? B1D1 ? C1 的正切值为 2 ;





H

到平面

A1B1C1D1

的距离为

3 4

.

A1 B1

D1 C1

其中真命题的代号是

.(写出所有真命题的代号)

三、解答题

3

17. 已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1,(1)直线 l:4x - 5y ? 40 ? 0 . 25 9
椭圆上求一点 P ,使它到直线 l 的距离最小,并求出最小值;(2)求过点 A(2,1) 的各
弦中点M的轨迹方程.
18. 如图,在平面直角坐标系中,锐角? 和钝角 ? 的终边分别于 A , B 两点. (Ⅰ)如果 A , B 两点的纵坐标分别为 4 , 12 ,求 cos? 和 sin ? 的值; 5 13 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 cos(? ?? ) 的值; (Ⅲ)已知点 C (?1, 3) ,求函数 f (? ) ? OA?OC 的值域.
4

19. 已知圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ?1 ? 0 内一定点 A(1, 2) , P、Q 为圆上的动点.(Ⅰ) 若 P、Q 两点关于过定点 A 的直线 l 对称,求 直线 l 的方程(Ⅱ)若 AP ? AQ ? 0 ,求线
段 PQ 中点 M 的轨迹方程.
20. 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD为梯形, AB // DC , ?ABC ? ?CAD ? 90? ,且 PA ? AB ? BC ,点 E 是棱 PB 上的动点.
(Ⅰ)当 PD ∥平面 EAC 时,确定点 E 在棱 PB 上的位置; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A?CE ? P 余弦值.
5

21.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ax ? b 1? x2 (x ? 0), g(x) ? 2 b(1?x2 ) ,且 g(0) ? 2 ,

f ( 3) ? 2 ? 3 .(Ⅰ)求 g(x) 的值域;

(Ⅱ)指出函数 f (x) 的单调性(不需证明),并求解关于实数 m 的不等式

f (m2 ? m) ? f (3m ? 4) ;

(Ⅲ)定义在 R 上的函数 h(x) 满足 h(x ? 2) ? ?h(x),h(?x) ? ?h(x) ,且当 0 ? x ? 1

时 h(x)

?

1 2

[log

2

g

(

x)

?

f

(x)], 求方程 h(x)

?

?

1 2

在区间[0,2009] 上的解的个数.

22. (本题满分 12 分)已知 f (x) ? x2 ?1, g(x) ? 10(x ? 1), 各项均为正数的数列{an }

满足 a1 ? 2 , (an?1 ? an ) ? g(an ) ?

f (an ) ? 0 ,

bn

?

9 (n 10

?

2)(an

? 1)

.

(Ⅰ)求证:数列{an ? 1}是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, bn 取最大值,并求

出最大值;(Ⅲ)若 t m ? t m?1 对任意 m ? N * 恒成立,求实数 t 的取值范围. bm bm?1

6

数学综合(2)

一、选择题

命题人 邵明岗

1.设集合 A ? {x | y ? log2 x}, B ? {y | y ? log2 x} ,则下列关系中正确的是(



A. A B ? A

B. A B ? ?

C. A ? B

D. A ? B

2.,若A(-2,3),B(3,-2),C(0,m)三点共线,则m的值为( )

A,1

B,-1

C,-5

D,5

3.若非空集合 A, B,C 满足 A B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则( )

A.“ x?C ”是“ x? A ”的充分条件但不是必要条件

B.“ x?C ”是“ x? A ”的必要条件但不是充分条件

C.“ x?C ”是“ x? A ”的充要条件

D.“ x?C ”既不是“ x? A ”的充分条件也不是“ x? A ”必要条件

4.两条平行线 4x+3y-1=0 与 8x+6y+3=0 之间的距离是( )

A, 2 5

B, 4 5

C, 1 5

D,0.5

5.设 f:x→ x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B ? {1,2} ,则 A B ? ( )

A. ?

B.{1}

C. ? 或{2}

或{1}

6.函数 y ? f (x) 的图象如右上图所示,那么函数 y ? f (2 ? x) 的图象是(

D. ? )

7.圆Ax.2+y2+4x–4y+4=0 关于直线B.l: x–y+2=0 对称的C.圆的方程是( )

D. A.x2+y2=4

B.x2+y2–4x+4y=0

C.x2+y2=2

D.x2+y2–4x+4y–4=0

7

8.定义两种运算:① a ? b ? a2 ? b2 ② a ? b ? (a ? b)2 ,则函数 f (x) ? 2 ? x 是 x?2?2
()

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

9.如果函数 y=x2+ax-1 在区间[0,3]上有最小值-2,那么 a 的值是( )

(A) ? 2 (B)- 10 (C)-2 (D) ? 2 或- 10

3

3

10.已知函数 f (x) ? 3? 2 | x | , g(x) ? x2 ? 2x ,构造函数 F(x)定义如下:

当 f(x) ? g(x)时,F(x)= g(x);当 f(x)<g(x)时,F(x)= f(x). 那么 F (x)( )

A. 有最大值 3,最小值 ?1 C. 有最大值 3,无最小值

B. 有最大值 7 ? 2 7 ,无最小值 D. 无最大值,有最小值 ?1

11 已 知 a ? (? 2 ,? 1)b, ? ?( , 1,) ,若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 ? 的 取 值 范 围 是

()

(A) (? 1 , 2) (2, ??) (B) (2, ??) (C) (? 1 , ??) (D) (??, ? 1)

2

2

2

12 在 ?ABC 中,AB ? a, BC ? b ,且 a ?b ? 0 ,则 ?ABC 是

()

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
二、填空题

13. sin15 cos5 ? sin 20 ?



cos15 cos5 ? cos 20

14

若函数

f

(x)

?

x x2 ?

a

(

a ? 0 ) 在 ?1, ???

上的最大值为

3 ,则 a 的值 3



.

8

15.已知数列{an } 的通项公式为 an

?

2007 ? 2n 2008 ? 2n

(n∈N+),则在数列{an } 的前

50



中最大项是第

项,最小项是第

项。

16.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S 6 ? S7 ? S5. 给出下列结论:
①d<0 ②S11>0 ③S12<0 ④S13<0 ⑤S8>S6 ⑥S9>S3 则其中正确的结论的序号____________.
三、解答题
17.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f (x) 满足 f (0) ? 1和 f (x ?1) ? f (x) ? 2x . (1)求 f (x) 的解析式;
(2)求 f (x) 在 ??1,1? 上的最大值和最小值.

18.(本小题满分 12 分)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,已知 E、F、G 分别是棱 AB、

AD、 D1 A1 的中点.

(1)求证:BG//平面

A1EF

;(2)若

P

为棱

CC1

上一点,求当

CP PC1

等于多少时,平面

A1EF ? 平面 EFP ?

D1

C1

G

A

B1

1

P

D

F

C

A

EB

9

19.(本小题满分 12 分)禽流感疫情的爆发,给疫区禽类养殖户带来了一定的经济损 失,某养殖户原来投资 20 万元,预计第一个月损失的金额是投资额的 1 ,以后每个月
5 损失的金额是上个月损失金额的 4 .
5 (1)三个月中,该养殖户总损失的金额是多少万元? (2)为了扶持禽类养殖,政府决定给予一定的补偿,若该养殖户每月可从政府
处领到 a 万元的补偿金,总共三个月,且每个月损失金额(补贴前)是上 个月损失金额(补贴后)的 4 ,若补贴后,该养殖户第三个月仅损失 1200
5 元,求 a 的值以及该养殖户在三个月中,实际总损失为多少万元?
20.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,已知 a1 ? ?1 ,且 an?1 ? 2an ? 3n ? 4(n ? N*) (1)求证:数列{an ? 3n ?1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求和 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an | (n ? N*) .
10

21.(本小题满分

12

分)((1)画出不等式组

???2xx??2

y y

? ?

1 5

? ?

0, 0,

所表示的平面区域.

??y ? x ? 2,

(2)试求由不等式 y ? 2 及 x ? y ? x ?1所表示的平面区域的面积.

22.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? a ? bcos x ? csin x 的图象过 A(0, 1) 和 B(? , 1) 两点,当 x ?[0, ? ]

2

2

时,恒有 | f (x) |≤2.

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 a 取上述范围内的最大整数值时,若存在实数 m、n、? 使

mf (x) ? nf (x ??) ?1,求 m、n、? 的值.

11

数学综合(3)
命题人:刘颖 一.选择题
1. 已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是( )

A.长方体

主视图

左视图

B.圆柱

俯视图 C.正方体

D.圆锥

2. 已知直线 l 过点(2,1),如果直线 l 的斜率不存在,则直线 l 必过点( )

A.(0,1)

B.(2,0)

C.(0,0)

D.(1,2)

3.等比数列?an? 中, log2 a2 ? log2 a6 ? 4 ,则 a3a5 等于(



A.16

B. ?16

C. ?16

D. ?4

4.若底面积相等的圆锥和圆柱的体积之比是2:1,则它们的高之比( )

A.2:1

B.4:1

C.6:1

D.8:1

5.右图所示的直观图,其原来平面图形的面积是( )

A

A,4

B.,4 2

C.,2 2 D.,8

2

45?

O2

B

6. 若集合 A={ y | y = 2 x,x∈R},B = { y | y = x 2,x∈R },则( )

A.A ?? B

B.A ? B

C.B ?? A

D.A = B

7.函数 y ? log0.3(x2 ? 2x) 的单调减区间是( )

A. ???,1?

B. ???,0?

C. ?1, ???

D. ?2, ???

8.已知正方体外接球的体积是 32 ? ,那么正方体的棱长等于 ( ) 3

(A) 2 2

(B) 2 3 3

(C) 4 2 3

(D) 4 3 3

12

9. 抽气机每次抽出空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少要抽(已

知 lg2=0.3010) ( )

A.6 次

B.7 次

C.8 次

10.直线 a (x +1) +b (y +1) = 0 与圆 x2 +y2 =2 的位置关系是(

A.相离

B.相切

C.相交或相切

D.9 次
)
D.不能确定

11.已知直角△ABC 所在的平面与平面 α 不垂直,则△ABC 在平面 α 内的射影为

()

A.直角三角形或锐角三角形

B.直角三角形或钝角三角形

C.锐角三角形或钝角三角形

D.以上均不正确

12.计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个

计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:

十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

例如,用十六进制表示:E +D=1B,则 A×B= ( )

A.6E

B.72

C.5F

D.B0

二、填空题

13、关于

x

的方程

x2

?

ax

?

2b

?

0

,一个根

0

?

x1

?

1,另一个根1 ?

x2

?

2

,则

b?2 a ?1



范围为

14.已知 f (x) = ax2 +bx +3a + b 是偶函数,且其定义域为[a ?3,2a],则 f (x) = .

15.若关于 x 的不等式| x ?1| ? | x ? 2 |? a 有解,则实数 a 的取值范围是________..

16.已知 m,n 是直线,α ,β ,γ 是平面,给出下列命题: ① 若 m // α ,n //α ,则 m // n ; ② 若 n ⊥ α ,n ⊥ β ,则 α∥β ; ③ m // α ,n ⊥ α ,则 m ⊥ n ; ④ m ⊥α ,n ? α ,则 m,n 是异面直线 ;
13

⑤ 若 m,n 为异面直线,且n∥? ,m∥?,n∥?,m∥?,那么?∥?. 则其中正确的命题是 (把你认为正确的命题序号都填上) . 三、解答题 17. (本小题 12 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? ? .
3 (Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin B ? 2sin A ,求 △ABC 的面积。

18. (本小题 12 分)

已知函数 f (x) ? 2sin2 x ? 2 3 sin x cos x ? a , x ?[? , ? ] ,且 f (? ) ? 4 .

42

3

(1)求实数 a 的值;(2)求函数 f (x) 的值域.

14

19.(本小题 12 分) 已知圆 C:x2 + y2 ?2x +4y ?4 = 0,问:是否存在斜率为 1 的直线 m,使以 m 被
圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点? 若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分

12

分)设

f

(x)

?

1 4

x2

?

1 2

x

?

3 4

,正数数列?an? 的前 n

项和为 Sn



且 Sn ? f (an ) , (n ? N ? ) .

? ? (1)求数列 an 的通项公式;(2)若 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2n?1(2n ? 1) ? 2对一

切正整数 n 都成立,求数列?bn? 的通项公式。

15

21.(本小题 12 分)

在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,已知 E、F、G 分别是棱 AB、AD、 D1A1 的中点.

(1)求证:BG//平面

A1EF

;(2)若

P

为棱

CC1

上一点,求当

CP PC1

等于多少时,平面

A1EF ? 平面 EFP ?

D1 G A1
D F

C1 B1
P C

A

EB

22.(本小题 14 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产 1t 甲产品需用 A 种原料 2t、 B 种原料 6t;生产 1t 乙产品需用 A 种原料 5t、B 种原料 3t。又知每 t 甲产品价值 4 万元,每 t 乙产品价值 3 万元。但生产这两种产品所消耗原料 A 不能超过 10t,消耗 原料 B 不能超过 18t,求甲、乙两种产品各生产多少 t 时,创造的产值最高。

16

数学综合(4)

一、选择题
? ? 1、设集合 M ? ?x | x(x ?1) ? 0?,N= x | x2 ? 4 ,则(

命题人:宁传胜
).

A、 M ?N ??

B、 M ?N ?M

C、 M ?N ?M D、

M ?N ?R 2. 对变量 x, y 有观测数据( x1 , y1 )(i=1,2,…,10),得散点图 1;对变量 u ,v 有

观测数据( u1 , v1 )(i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 相关

(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负

3、等差数列?an ?中,a3 ? 7, a9 ? 19,则a5为( ).

A、13

B、12

C、11

D、10

4、原命题:“设 a、b、c ? R, 若a ? b,则ac2 >bc 2 ”以及它的逆命题,否命题、逆

否命题中,真命题共有( )个.

A、0

B、1

C、2

D、4

17

??
5、设 a

?

(sin

x,

3

),

??
 b

?

( 1  ,  1  cos

x)

 , 且

??
a //

??
b

,则锐角 ?

为(



4

32

A、 ? 6

B、 ? 4

C、 ? 3

D、 5 ? 12

6、一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( )

A、 8?

B、 6?

C、 4?

D、 ?

7、不等式组

?(x ? y ?1)(x ???1 ? x ? 2

?

y

?

1)

?

0

所表示的平面区域是(



A、一个三角形

B、一个梯形

C、直角三角形

D、等腰直角三角形

8.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关 系,要从这 10 000 人中再用分层抽样的方法抽出 200 人作进一步调查,其中低于 1 500 元的称为低收入者,高于 3 000 元的称为高收入者,则应在低收入者和高收入者中分 别抽取的人数是

频率 组距

0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

A.1 000,2 000 B.40,80

C.20,40

D.10,20

? ? 9.若等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ? 32n?1 ? a ,则常数 a 的值等于

A. ? 1 3

B.-1

C. 1 3

D.-3

10.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几

何体的体积是

18

A. 2 cm3 3

B. 2 3 cm3 3

C 4 cm3 D. 8 cm3

3

3

11.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图像沿 x 轴向左或向右平移 m(m ? 0) 个单位后,

所得图像关于原点对称,则 m 的最小值为

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

12.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1,?1) 的

夹角为?

,则?

?

? ??

0,? ?

? ??

的概率是

A. 5 12
二、填空题

B. 1 2

C. 7 12

13.右图的框图表示的程序所输出的结果是



D. 5 6

14、定义运算 a ? b ? a2 ? ab ? b2 ,则sin ? ? cos? ?

6

6

15、设 m、n 是两条不同的直线,?、? 是两个不同的平面,下面给出四个命题;

①若 m //?,   n // ?且? // ? ,  则m // n ;

②若 m ? ?,   n ? ?且? ? ? ,  则m ? n

③若 m ? ?,   n // ?且? // ? ,  则m ? n

19

④若? ? ? ,   ? ? ? ? m且n ? m ,  则n ? ?

其中真命题的序号是

16.

等差数列{

an

}前

n

项和为

Sn

。已知

am ?1

+

am ?1

-

a

2 m

=0,

S2m?1

=38,则

m=_______

三、解答题
17、(本题满分 12 分) 将 A、B 枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问:
(1)共有多少种不同的结果? (2)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少?

18、(本题满分 12 分)

??

??

?? ??

已知 a ? (cosx ? sin x,sin x), b ? ( cosx ? sin x,?2sin x) ,且f (x) ? a ? b   .

(1)求 f (x) 的解析式,并用 f (x) ? Asin(wx ? ?) 的形式表示;

(2)求方程 f (x) =1 的解.

20

19、(本题满分 12 分)
设数列?an ?的前n项和为Sn , a1 ? 1,且数列?Sn ?是以c(c ? 0) 为公比的等比数列.
? ? (1)求数列 an 的通项公式;
(2)求 a2 ? a4 ??? a2n
20、(本题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1 、CD
的中点.
(1)证明: AD ? D1F ; (2)求 AE与D1F 所成的角; (3)证明:面 AED ? 面A1FD1 ; (4)设 AA1=2 ,求三棱维 E-AA1F的体积VE-AA1F
21

21、(本小题满分 12 分)

?4 ? x2 (x ? 0)

已知函数

f

?x?

?

? ?

2(x ? 0)



??1? 2x(x ? 0)

(1)画出函数 f ? x? 图像;

(2)求 f ?a2 ?1?(a ?R), f ? f ?3?? 的值;

(3)当 ?4 ? x ? 3时,求 f ? x? 取值的集合.

??

??

??

22、(本题满分 14 分)已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM ? t1 OA? t2 AB .

(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件;

(2)求证:当 t1

?1

时,不论

t

为何实数,
2

A、B、M三点都共线



??

??

(3)若 t1 ? a2 ,求当OM ? AB 且 ?ABM 的面积为12时a的值.

22

数学综合(5)

命题人 高峰

一 选择题

1.已知: f ( x) 是 R 上的奇函数 ,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? (0, 2) 时,

f ( x) ? x ? 2 ,则 f (7) ?

()

A. 3 B. ?3 C. 1 D. ?1

2.已知函数

f

(x)

?

? 3x?1 ? ?log2

,x x,

? x

0, ? 0.



f

?

x0

??

3 ,则

x0

的 取值范围是

()

A. x0 ? 8 . B. x0 ? 0 或 x0 ? 8 . C. 0 ? x0 ? 8 .

D. x0 ? 0 或

0 ? x0 ? 8 .

3.函数 y ?1? 1? x2 ( ?1? x ? 0) 的反函数图像是

()

y

y

y

y

1

1

?1 O
A.

xO 1
B.

1
xO
?1
C.

?1

x

Ox

?1
D.

4.设 a,b,c 表示三条直线,?, ? 表示两个平面,下列命题中不正确的是(



A.

a ?

? //

? ?

? ? ?

?

a

?

?

a?b

?

B. b在?内

? ?

?

b

?

c

c是a在?内的射影??

b // c ?

C. b在?内

? ?

?

c

//

?

c不在?内??

D.

a b

//? ? ? a??

?

b

?

?

5 给出下列命题:(1)三点确定一个平面;(2)在空间中,过直线外一点只能作一条

23

直线与该直线平行;(3)若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则

? // ? ;(4)若直线 a、b、c 满足 a ? b、a ? c, 则 b // c .其中正确命题的个数



()

A. 0 个

B.1 个

C. 2 个

D. 3 个

6.如图, P 为正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的中心,△ PAC 在该正方体各个面上的

射影可能是( )

D1 A1
D A

C1 B1 P
C B

(1)

(2)

(3)

(4)

A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4)

7.已知 a , b 都是实数,则“ a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的( )

A.充分不必 要条件

B.必要不充分条件

C.充分必 要条件

D.既不充分又不 必要条件

8.已知不等式| x ? m | ? 1成立的一个充分非必要条件是 1 ? x ? 1 ,则实数 m 的取

3

2

值范围是 ( )

A.

????

4 3

,

1 2

? ??

B.

????

1 2

,

4 3

? ??

C.

? ??

??,

?

1 2

? ??

D.

? ??

4 3

,

??

? ??

9.已知直线 l 与抛物线 y2 ? 4x 相交于 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) 两个不同的点,那么“直

线 l 经 过 抛 物 线 y2 ? 4x
()

的 焦 点 ” 是 “ x1 x2 ? 1 ” 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
24

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

10.已知数列?an? 的通项为 an

?

? ??

2 3

?n?1 ??

?

?? ?????

2 3

?n?1 ??

? ?1?
??

,下列表述正确的是(



A.最大项为 0,最小项为 ? 20 81

B.最大项为 0,最小项不存在

C.最大项不存在,最小项为 ? 20 81

D.最大项为 0,最小项为 a4

11.把函数 y ? sin x( x ? R) 的图像上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,再把图 3

像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到的图像所表示的函数 2
是 ()

A.

? y ? sin(2x ? ), x ? R

3

B. y ? sin( x ? ? ), x ? R 26

C. y ? sin(2x ? ? ), x ? R 3

D. y ? sin(2x ? 2? ), x ? R 3

12.已知两点 M(?5, 0)和N (5, 0) ,若直线上存在点 P ,使| PM | ? | PN |? 6 ,则称
该直

线为“ B 型直线” .给出下列直 线:① y ? x ? 1 ;② y ? 2 ;③ y ? 4 x ;④ y ? 2x ? 1 , 3

其中为“ B 型直线”的是(
A.①② B.①③

) C. ①④

D. ③④

二 填空题

13.已知椭圆 x 2 16

y2 ?
12

? 1的左焦点是 F1 ,右焦点是 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1

的中点在 y 轴上,那么 PF1 : PF2 ?



14. 下列有关平面向量的四.个.命.题.中,所有正确命题的序号是

写命题所对应的序号即可) [来源:Zxxk.Com]

.(填

25

① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基; ② 一个 平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基; ③ 平面向量的基向量可能互相垂直; ④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线 性组 合.
15. 若方程 ax2 ? by2 ? c 的系数 a, b, c 可以从 ?1, 0,1, 2, 3, 4 这 6 个数中任取 3 个不 同 的数而得到,则这样的方程表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是___ ________.(结
果用数值表示)
16. 函数 f ? x? ? lg ?4 ? x? 的定义域
x?3 三 解答题 17..若集合 A ? {x | log a (x 2 ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1}
(1)若 a ? 2 ,求集合 A ; (2)若 9 ? A ,求 a 的取值范围.
4
18.设函数 f ( x) ? x2 ? | 2x ? a | ( x ? R, a 为实数). (1)若 f ( x) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a ? 2,求函数 f ( x) 的最小值.
26

19.过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0?的焦点 F 作一条倾斜角为 ?
4
的直线与抛物线相交于 A,B 两点。
(1)用 p 表示 A,B 之间的 距离;[来源:Zxxk.Com] (2)证明: ?AOB的大小是与 p 无关的定值。
20. 如 图 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 A B CD, ABCD 为 正 方 形 , ?PAD ? 90o , 且 PA ? AD ,E、F 分别是线段 PA、CD 的中点.
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD; (Ⅱ)求 EF 和平面 ABCD所成的角? ;
(Ⅲ)求异面直线 EF 与 BD 所成的角 ? .
27

21. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CC1 ? AC ? BC ? 2 ,?ACB ? 90? .

(1) 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图,请据此画出它的左视图和俯视

图;

( 2 ) 若 P 是 AA1 的 中 点 , 求 四 棱 锥

C1

B1

A1
B1 ? C1A1PC 的体积.

C B

A

22. 设点 M (m,0) 在椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点. 当 MP 的 16 12
模最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

28

数学综合六

命题人:杨淑媛

一、选择题

1.下列给出的赋值语句中正确的是:

A、3=A

B、M=—M

C、B=A=2

2、下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是( )

D、x+y=0

(1)已知三角形三边长,求三角形的面积;

(2)求方程 ax+b=0(a,b 为常数)的根;

(3)求三个实数 a,b,c 中的最大者;

(4)求 1+2+3+…+100 的值。

(A)4 个

(B) 3 个

(C) 2 个

(D) 1 个

3.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构

()

A.顺序结构

B.条件结构和循环结构

C.顺序结构和条件结构

D.没有任何结构

4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,

公司为了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,

记这项调查为(1);在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售 收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽

样方法依次是 ( ) A、 分层抽样法,系统抽样法

B、分层抽样法,简单随机抽样法

C、系统抽样法,分层抽样法

D、简单随机抽样法,分层抽样法

5.一个容量为 20 的样本数据,分组后组距为 10,区间与频数分布如下:

?10, 20?,2; ?20,30? ,3; ?30, 40? ,4; ?40,50? ,5;?50,60? ,4; ?60,70? ,2.

则样本在 ???,50?上的频率为

A. 1

B. 1

C. 1

20

4

2

6.已知实数 x, y 满足 y ? 1? x2 ,则 x ? y 的最小值为(

D. 7 10
)

(

)

29

A.-1

B.1

C. 2

1
D.

2

7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有

女生,不同的选法共有( )

A.140 种

B. 120 种

C.35 种

D.34 种

8.如图,在所有棱长都相等的三棱锥 A ? BCD 中, E , F 分别为线段

BD, AC 的中点,则 EF 与 CD 所成的角等于( )

A

A. 450

B. 600

C. 900

D. 300

F

B
E

C

D

9.设集合 A ={1,2,3}, B ={1,2,3},分别从 A , B 中随机取一 个数 a 和 b ,记“点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上”为事件 Cn ( 2 ? n ? 5, n ? N ) ,

若使事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为 (

)

A.3

B.4

C.2 和 5

D.3 和 4

10.以正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点及 6 个表面的中心点共 14 个点中的某些

点为顶点的正棱锥共有( )个.

A.38

B.32

C.28

D.20

二、填空题

11、以椭圆 x2 ? y2 =1 的右焦点为圆心,且与双曲线 x2 ? y2 =1 的渐近线相切的圆

169 144

9 16

的方程为 .

12、已知双曲线

x2 25

?

y2 24

? 1上一点

M

到右准线的距离为

10,F2

为右焦点,N是MF2

的中点,

O 为坐标原点,则 ON 的长为



13、对 ?n?N +,直线 y ?

1 x ? 2 总与双曲线 x2

n

a2

? y2 b2

? 1左、右两支各有一个交点,

则该双曲线的离心率 e 范围为



30

14、已知椭圆 x2 4

?

y2 3

? 1的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 ,点 P 为椭圆上的一点,则当

??

?

?

PA1? PF2 取最小值时, PA1 ? PF2 的值为



15. 过 动 点 P 作 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的 切 线 PA ( 其 中 A 为 切 点 ) , 点 D (2,0) , | PA|=| PD|,则动点 P 的轨迹方程为____________________ 16.在三棱锥 P ? ABC中, PA ? 平面ABC , CB ? AB,

PB与平面ABC 所 成 角 等 于 45? , 二 面 角 P

C ? PA? B 的 大 小 为 30? , BC ? 1 , 则 三 棱 锥 P ? A B C的外接球的表面积为__________

A

C

B
三、解答题
17.已知命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? 2ax ? 2a2 ? 5a ? 4 ? 0; 命题 q :?x??0 ,1? ,
都有 ?a2 ? 4a ? 3? x ? 3 ? 0 。若“ p或q ”为真,“ p且q ”为假,
求实数 a 的取值范围.

18.输入一个任意正整数 n,设计一个程序框图求 s ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 的值,并写

23

n

出程序

31

19. 动点 P 是边长等于 4 的正方形 ABCD所在平面外的一点, PA=2,且 PA与平面 ABCD所成角等于 45 ? . (1)求 PC 的最小值; (2) E 为 AD的中点,当 PC 取到最小值时,线段 AB 上是否存在点 F ,使平面 PEF ? 平面 PAC ,若存在,确定 F 的位置,若不存在,说明理由。
P

D

E

A

C

B

20.(本小题满分 14 分)现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 7 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 7 的概率是多少?

32

21.已知双曲线与椭圆 x2 ? y2 ? 1共焦点,它们的离心率之和为 14 .

9 25

5

⑴求双曲线方程;

⑵F1、F2 为双曲线两焦点,P 为双曲线上一点且满足∠F1PF2=600, 求△F1PF2 的面积和△F1PF2 外接圆面积。

22.设 P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn() n≥3,n∈N)是二次曲线 C 上的点,且 a1= OP1 2,

a2= OP2 2, ……,an= OPn 2 构成了一个公差为 d(d≠0)的等差数列, 其中 O 是坐

标原点.

记 Sn=a1+a2+……+an.

⑴ 若 C 的方程为 x2 ? 100

y2 25

=1,n=3.

点 P1(10,0)

及 S3=255,

求点 P3 的坐标;

⑵若 C 的方程为 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0),点 P1(a,0),对于给定的自然数 n,当公差

d 变化时,

求 Sn 的最小值;
⑶请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符 合条件的点 P1,P2,……,Pn 存在的充要条件,并说明理由.

33

试卷 7 立体几何试题

命题人 张莉

一、选择题
1.已知 AB//PQ,BC//QR,则∠PQP 等于( )

A 300

B 300

C 1500

D 以上结论都不对

2.在空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角 形全等

A1

B2

C3

D4

3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关

系是( )

A 平行

B 相交

C 在平面内 D 平行或在平面内

4.已知直线 m//平面? ,直线 n 在? 内,则 m 与 n 的关系为( )

A 平行

B 相交

C 平行或异面 D 相交或异面

5.经过平面? 外一点,作与? 平行的平面,则这样的平面可作( )

A 1 个 或 2 个 B 0 个或 1 个 C 1 个 D 0 个

6.如图,如果 MC ? 菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( )

A 平行

B 垂直相交

C 异面

D 相交但不垂直

7.经过平面? 外一点和平面? 内一点与平面? 垂直的平面有(

A 0个

B 1个

C 无数个

D

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

) 1 个或无数个

34

B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
9.对于直线 m , n 和平面?, ? ,使? ? ? 成立的一个条件是( )

A m // n, n ? ?, m ? ? B m // n, n ? ?, m ? ?

C m ? n,? ? ? m, n ? ? D m ? n, m //?, n // ?

10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

11、棱长都相等的正四棱锥的侧棱与底面所成的角是(



(A)30?

(B)45?

(C)60?

(D)135?

12、在等边三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的高,将?ABC 沿 AD 折成 60?的二面角

B’-AD-C,记?B’AC=?,则 cos?=(



(A) ? 3 4

1
(B)
2

二.填空题

3
(C)
4

7
(D)
8

13.已知 ? ABC 的两边 AC,BC 分别交平面? 于点 M,N,设直线 AB 与平面? 交于点 O,
则点 O 与直线 MN 的位置关系为_________

14.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行

的直线有
A
_____________条

15.一块西瓜切 3 刀最多能切_________块

D

B

C

B’

16.将边长是 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得折起后 BD 得长为 a,则三棱锥 D-ABC 的体积为___________
三、 解答题 17(10 分)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AA1 和棱 CC1 上的
点,且 AE ? C1F 。求证:四边形 EBFD1 是平行四边形

35

18(10 分)如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点,
证明:直线 PC 与平面 ABD 垂直
P D C
A B
19(12 分)如图,正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a,则侧棱长为 2a,E,F 分别为 AC,AD
上的动点,求截面 ?BEF 周长的最小值和这时 E,F 的位置.
36

A
F E
D B
C
20(12 分)如图,长方形的三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方体对角线 AC? 的


D1

A1 a D

A

b

C1
B1 cC
B

21.,如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? BC ? AA1 ? 2,且?ABC ? 90 ? ,O 为 A1C 的中点. (Ⅰ)证明: B1C1 ? A1B ;
37

A'

C'

B'

O

A

C

(Ⅱ)求 O 到平面 ABB1 A1 的距离;

B

(Ⅲ)求 A1B1 与平面 A1BC 所成的角.

22 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.

A

(I)求证: AO ? 平面 BCD;
(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

D O

B

E

C

38

数学试卷 8 常用逻辑用语

命题人 胡津浦

一、选择题

1.设 a ? R ,则 a ?1是 1 ? 1 的 a





(A)充分但不必要条件

(B)必要但不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

2.“? ? k? ? 5 ? , k ? Z ”是“ sin 2? ? 1 ”的

12

2

A.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分又不必要条件

3. “直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 ? 垂直”的(



条件

A.充要

B.充分非必要

C.必要非充分

D.既非充分又非必要

4. 命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是

A. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

C. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

D. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

5.以下有四种说法,其中正确说法的个数为:

(1)“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;

(2) “ a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的充要条件;

(3) “ x ? 3 ”是“ x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; (4)“ A B B? ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件.

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

6.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是

39

( )。

A.假设三内角都不大于 60 度;

B. 假设三内角都大于 60 度;

C. 假设三内角至多有一个大于 60 度; D. 假设三内角至多有两个大于 60 度。

7“ cos? ? cos? ”是“? ? ? ”的

A.充分非必要条件 C.充要条件 8 下列四个结论:

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题;

②若 p :? 是无理数, q :? 是有理数,那么 p ? q 是真命题;

③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题;

④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ?p 是真命题;

其中正确结论的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

9. 给出四个命题:①未位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;

③ ?x ? R , x ? 0;④ ?x ? R , 2x ?1是奇数.
下列说法正确的是

A. 四个命题都是真命题

B. ①②是全称命题

C. ②③是特称命题

D.四个命题中有两个假命题

10 . 已 知 命 题

p



?x ? R, x2

?

1 x2

?2

,命题 q 是命题 p 的否定,则命题

p . q . p ? q . p ? q 中是真命题的个数

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

11.在下列命题中,真命题是( )

A. “x=2 时,x2-3x+2=0”的否命题;

B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题;

C.若 ac>bc,则 a>b;

D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

12..已知 P:|2x-3|<1, Q:x(x-3)<0, 则 P 是 Q 的( )

A.充分不必要条件;

B.必要不充分条件 ;

C.充要条件 ;

D.既不充分也不必要条件

二、填空题

13.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;

②在 ?ABC中,“ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要

条件.

40



? ? ?

x y

?1 ?2



? ? ?

x? y ? xy ? 2

3

的充要条件;④“am2<bm2

”是“a<b”的充分必要条件.

以上说法中,判断错误的有___________.

14.命题“至少有一个偶数是素数”的否定为

.

15. 命题“ ?x0 ? R, x02 ?1 ? 0. ”的否定为:



16.已知命题 p:“对任意的 x∈R, x3 ? x2 ?1 ? 0”,则命题┐p 是

三、解答题
17.(本题满分 12 分)
设 p :方程 x2 ? mx ?1 ? 0 有两个不等的负根,q :方程 4x2 ? 4(m ? 2)x ?1 ? 0
无实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

18.(本大题共 12 分)
已知命题 P : 1? x ?1 ? 2 ;Q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0?m ? 0? 若 ?P 是 ?Q 的必要
3 非充分条件,试求实数 m 的取值范围.
41

19.已知 a ? 0,a ? 1,命题 p : 函数 y ? loga (x ? 1)在 (0, ??) 上单调递减,命 题 q :曲线 y ? x2 ? (2a ? 3)x ? 1与 x 轴交于不同的两点,若 p ? q 为假命 题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围。
20.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真
命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说
明理由。
42

21 . 已 知 命 题 p : x2 ? m ?x 1 ? 0有 两 个 不 相 等 的 负 根 , 命 题 q : 4x2 ? 4(m ? 2)x ?1 ? 0 无实根,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范 围.
22、(本题 10 分)已知命题 P:方程 x2 ? y 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的双 4?k 1?k
曲线; 命题 Q: a ? ( 2 , -1, k ) , b ? (1, 0 ,1- k ) 的夹角为锐角 , 如果命
43

题“P ? Q”为真,命题“P ? Q”为假。求 k 的取值范围;

试卷 9 圆锥曲线

出卷人:王美忠

一、选择题 1、抛物线y= 1 x2 焦点为( )
4
(A)(0,2) (B)(0,1)

(C)(0, 1 ) 16

(D)(1,0)

2、以椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的焦点为焦点,离心率 e=2 的双曲线方程是( ) 25 9

(A)x 2 ? y 2 ? 1

(B)x 2 ? y 2 ? 1

(C)x 2

?

y2

?1

(D)x 2

y2 ?

?1

6 12

6 14

4 14

4 12

3、已知F1、F2 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的两个焦点,AB是过焦点F1的弦, 9 25

若∣AB∣=8,则∣F2A∣+∣F2B∣=( )

(A)12

(B) 16

(C)4

(D)8

4、 曲线 x 2 ? y 2 ? 1与曲线 x 2 ? y 2 ? 1(k﹤9)的( )

25 9

25 ? k 9 ? k

(A)长轴相等 (B)焦距相等 (C)离心率相等 (D)准线相同 5、设抛物线性 x2=-4y 的通径为AB,O为顶点,S为△AOB面积,则有( )

44

(A)AB=8,S=4 (C)AB=4,S=4

(B)AB=-4,S=2 (D)AB=4, S=2

6.设椭圆 x2 m2

?

y2 n2

? 1( m ? 0, n ? 0 )的右焦点与抛物线

y2

? 8x 的焦点相同,离

心率为 1 ,则此椭圆的方程为 2

(A) x2 ? y2 ? 1 (B) x2 ? y2 ? 1 (C) x2 ? y2 ? 1 (D) x2 ? y2 ? 1

12 16

16 12

48 64

64 48

7.已知椭圆 x 2 a2

?

y2 25

? 1 (a

? 5) 的两个焦点为 F1 、F2 ,且|

F1 F2

|? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,

则△ ABF2 的周长为( )

(A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41

8.已知 A(-1,0),B(1,0),点 C(x,y)满足: (x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,则 AC ? BC ?

x?4

2

A.6

B.4

C.2

D.不能确定

9.抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标为(1,

2),设抛物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于( )

A.7 B. 3 5 C.6 D.5

10.双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a,b

?

0) 的左、右焦点分别为

F1、F2,过焦点

F2 且垂直于

x

轴的弦为 AB,若 ?AF1B ? 90? ,则双曲线的离心率为

A.

1 2

(2 ?

2)

B. 2 ?1

C 2 ?1

D.

1 2

(2

?

2)

11.直线 x ? y ? 1与椭圆 x2 ? y2 ? 1相交于 A、B 两点,该椭圆上点 P,使得△APB

43

16 9

的面积等于 3,这样的点 P 共有

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

12.已知 F 是抛物线 y=1 x2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方 4

程是( )

45

A. x 2 =2 y-1
.C x 2 =y- 1 2
二、填空题

B. x2 =2y- 1 16
D. x 2 =2 y-2

? ? 13.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1与双曲线 x 2 ? y 2

mn

pq

m, n, p, q ? R ?

有共同的焦点 F1、F2,

P 是椭圆和双曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 =

.

14、经过两点 P(-2 2 ,0)、Q(0, 5 )的椭圆标准方程为———————————————
15、一抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2 米时,水面宽度为 4 米;若水面下降 1 米时,则水面宽度为―――――――――――――
16、设 F 是抛物线 x 2 =4y 的焦点,P 在抛物线上运动,A(2,3)是平面上一定点,
当|PA|+|PF|最小时,P 点的坐标是——————————。
三、解答题 17) 过抛物线 y 2 ? 8x 焦点的直线L与这个抛物线相交于A、B两点,设AB中点M
的纵坐标为 4,求直线L的方程。

18) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0),长轴长 6,设直线 y ? x ? 2
46

交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

19) 已知双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1共焦点,它们的离心率之和为 14 ,求双曲线方程.

9 25

5

20)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2x ?1截得的弦长为 15 ,
求抛物线的方程。
47

21).已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭

圆中心 O,如图,且 AC · BC =0,|BC|=2|AC|,(1)求椭圆的方程;

(2)如果椭圆上两点 P、Q 使∠PCQ 的平

分线垂直 AO,

则是否存在实数λ ,使 PQ =λ AB ?

22).已知定点 F(1, 0) ,动点 P (异于原点)在 y 轴上运动,连接 PF,过点 P 作 PM
48

交 x 轴于点 M ,并延长 MP 到点 N ,且 PM ? PF ? 0 ,| PN |?| PM | . (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程;(2)若直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A 、 B 两点, 若 OA?OB ? ?4 且 4 6 ?| AB |? 4 30 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

高二数学(理科)寒假作业参考答案

综合(1)参考答案

一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分)

1. D 2.C 3.B 4. A 5.C 6. B 7. B 8. D 9.D 10. A 11. D

12.B

二、填空题(本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)

13. ? 2

14. 9

15. 3 2

16.①②③

三、解答题(本题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17 P(?4, 9) 轨迹方程为9x2 ? 25 y 2 ?18 x ? 25 y ? 0 5

18 解:解:(Ⅰ), ocs ? ? 3 5

(Ⅱ) cos(? ?? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin? ? (? 5 ) ? 3 ? 12 ? 4 ? 33 13 5 13 5 65

(Ⅲ)值域为 (?1, 3) .

19. 解:(Ⅰ) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0

(Ⅱ) 线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为 x2 ? y2 ? 5y ? 3 ? 0 .

49

20. 解:(Ⅰ) PE ? 2EB 时, PD ∥平面 EAC (Ⅱ)二面角 A?CE ? P 的余弦值为

3. 6

21. 解:(Ⅰ) , a ? ?1,b ? 1.值域为[2,??) ;(Ⅱ),不等式的解集为

[ 4 ,2) ? (2,??) ; 3

(Ⅲ) h(x) ? ? 1 在?0, 2009? 上共有 502 个解.
2

22.

解:(I){an

?

1}

是以

a1

?

1

?

1

为首项,公比为

9 10

的等比数列.

(II)当 n=7 或 n=8 时, bn 取最大值,最大值为 b7

? b8

? 98 107



(III) 实数 t 的取值范围是 t ? 6 . 5

综合 2 参考答案

题号 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

答案 D A B D D

题号 13

14

C A A C B AC

15

16

答案 ?(2 ? 3) 3 ? 1

11,10;

①②④⑥

17.解:(1)

f (x)

?

x2

?

x ?1 ;(2)

f

(x)min

?

f

(1) 2

?

3 4



f

(x)max

?

f

(?1) ? 3 .

18.(1)连结 AG 与 A1F 相交于点 Q ,再连结 EQ ,则易证 Q 为 AG 的中点,由三角

形中位线定理知,

BG // EQ ,从而证得 BG//平面 A1EF

(2)连结 AC 与 EF 相交于点 M ,再连结 A1M 及 PM ,则 A1M ? MP 即可.

50

设正方体棱长为 4 ,则 tan ?AA1M ?

2 ?tan 4

?PMC ? PC ,所以 PC ? 3 ,所以

32

2

PC1

?

5 2





CP PC1

?

3 时,平面 5

A1EF

? 平面 EFP .

19.解:(1)三个月中,该养殖户总损失的金额为:

20

?

1 5

? ?1 ??

?

4 5

?

? ??

4 5

?2 ??

? ? ??

?

9.76(万元)

(2)∵该养殖户第一个月实际损失为 20 ? 1 ? a (万元), 5

第二个月实际损失为: ?4 ? a? 4 ? a (万元)
5

第三个月实际损失为:

???(4

?

a)

4 5

?

a???

?

4 5

?

a

(万元)



???(4

?

a)

4 5

?

a???

?

4 5

?

a

?

0.12

?

a

?

1

该养殖户在三个月中实际总损失为:

3

?

? 12 ?? 5

?

1???

?

0.12

?

4.52(万元).

20.解:(1)∵ an?1 ? 3(n ?1) ?1 ? 2(an ? 3n ?1) 且 a1 ? 3 ?1 ? 1

∴数列{an ? 3n ?1}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.

(2)由(1)可知 an ? 3n ?1 ? (a1 ? 3 ?1) ? 2n?1 ∴ an ? 2n?1 ? 3n ? 1.

当 n=1 时, a1 ? 20 ? 3 ?1 ? ?1 也满足.

故数列{an}的通项公式 an ? 2n?1 ? 3n ? 1.

(3)∵ an ? 2n?1 ? 3n ?1 ,∴a1<0,a2<0,a3<0,a4<0,a5>0,a6>0 …… 猜想:当 n≥5 时,an>0.

证明:当 n≥5 时, an?1 ? an ? 2n ? 2n?1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2n?1 ? 3 ? 0 (递增数列) ∴当 n≥5 时,an>0 恒成立.

51

设 Tn ? a1 ? a2 ?

?

an

?

2n

?

3n2 ? 2

n

?1

当 n≤4 时, Sn ? ?(a1 ? a2 ?

?

an )

?

?Tn

?

?2n

?

3n2 ? 2

n

?1

当 n≥5 时, Sn ? ?(a1 ? a2 ?

? a4 ) ? a5 ?

?

an

?

Tn

?

2T4

?

2n

?

3n2 ? 2

n

?

21



Sn

?

????2n

?

3n2 ? 2

n

? 1(n



4)

? ???2n

?

3n2 ? 2

n

?

21(n ≥ 5)

21.(解:(1)如图所示,其中的阴影部分便是欲表示的平面区域.

?x ? 0,

?x ? 0,

(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组:①

? ? ??

y y y

? ? ?

x, x ? 1, 2,

或②

? ? ??

y y y

? ? ?

?x, ?x ? 2,

1,

上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示,其形状如一展翅的海鸥.它所围成

的面积为 S ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?1 ? 3

2

2

x+y-1=0

y

x-y+1=0

x-y=0

y=2

x+y=0

O

x

22.解:(1) y ? f (x) 的图象过 A、B 两点,故有 a ? b ? 1, a ? c ? 1

∴ f (x) ? a ? (1? a)cos x ? (1? a)sin x ? a ? 2(1? a)cos(x ? ? ) 4

∵ x ?[0, ? ] ∴ x ? ? ?[? ? , ? ] c o sx(? ? ?) 2[ , 1 ]

2

4 44

42

设 2 cos(x ? ? ) ? t. 则 g(t) ? a ? (1 ? a) 2 ?[?2, 2] ∴ a ?[? 2, 4 ? 3 2] 4

(2)由(1)知,a 的最大整数为 8,此时 f (x) ? 8 ? 7 2 cos(x ? ? ) 4

方法一:依题意有 a=8, b ? ?7 ∴ f (x) ? ?7 2 sin(x ? ? ) ? 8 4

∵ mf (x) ? nf (x ??) ?1 ∴ ?7 2msin(x ? ? ) ? 8m ? 7 2nsin(x ? ? ? ?) ? 8n ?1

4

4

52

即 (8m ? 8n ?1) ? 7 2(msin(x ? ? ) ? nsin(x ? ? ??) ? 0

4

4

令 x ? ? ? t 则 msint ? nsin(t ??) ? (m ? ncos?)2 ? (?nsin?)2 sin(t ??) 4

∴ (8m ? 8n ?1) ? 7 2 (m ? ncos?)2 ? (?nsin?)2 sin(x ? ? ??) ? 0 4

?8m ? 8n ? 1 ①



?8m ? 8n ?1 ? 0

? ?(m

?

n cos?)2

?

(n sin?)2

?

0



??m ? n cos? ??n sin? ? 0

?

0② ③

由③可知 n=0 求 sin? ? 0

当 n=0 时,由 mf (x) ? nf (x ??) ?1? mf (x) ?1矛盾.

∴n≠0 ∴ sin? ? 0 ∴ cos? ? ?1 由②得 cos? ? ? m n
当 ? m ?1时,即 m ? n ? 0 与①矛盾. n
∴ cos? ? ?1 ∴ ? m ? ?1 ∴ m ? n ④ n

由①④得 m ? n ? 1 16



?sin ? ??cos?

?0 ?
?1

?

?

2k?

?

?

(k

?

Z)

∴ m ? n ? 1 ? ? 2k? ? ? (k ?Z ) 16
方法二: f (x) ? 8 ? 7sin x ? 7cos x

∵ f (0) ? 1

f (? )? 1 ∴ mf (0) ? nf (??) ?1 mf (? )? nf ?( ?? ?) 1

2

2

2

∴ nf (??) ? nf (? ??) ∴ n[ f (??) ? f (? ??)] ? 0 ∴n=0 求 f (??) ? f (? ??)

2

2

2

若 n=0,则 mf (x) ?1矛盾. ∴ f (??) ? f (? ??) 2

∴ 8 ? 7sin(??) ? 7cos? ? 8 ? 7sin(? ??) ? 7cos(? ? ?) ∴

2

2

sin? ? 0

∴ y ? k? (k ?Z)

当 y ? 2n? (n ? Z) 时 f (x ? y) ? 8 ? 7cos x ? 7sin x ? f (x) ? (m ? n) f (x) ?1矛盾

当 y ? 2n? ? ? (n?Z) 时, f (x ??) ? 8 ? 7cos x ? 7sin x

53

∴ mf (x) ? nf (x ??) ?1? 8(m ? n) ?1? 7(n ? m)(cos x ? sin x) ? 0

即 8(m ? n) ?1? 7 2(n ? m)sin(x ? ? ) ? 0 4



?8(m ? ??n ? m

n) ? ?0

1

?

0

?

???????mn ??111616

∴m?n? 1 16

y ? 2 n? ? ? ( n?Z ) .

综合 3 试题答案
一.选择题:

题号

12

3

4

5

67

8

9 10 11 12

答案

BBACA

二、填空题:
13. ( 1 ,1) ; 4

14.f (x)= x2 +3

三、解答题 17. (本小题 12 分)

A D D C C DA
15. a ? 3 ; 16.② ③⑤

解:(Ⅰ)由余弦定理得, a2 ? b2 ? ab ? 4 ,

又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

联立方程组

?a2 ? ?ab

? b2 ? ? 4,

ab

?

4,解得

a

?

2



b

?

2



(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a ,

联立方程组

?a2 ? b2 ?

? ?b

?

2a,

ab

?

4,解得

a

?

23 3

,b

?

43 3



所以 △ABC 的面积 S ? 1 ab sin C ? 2 3 .

2

3

18.(本小题 12 分)解:(1) f (? ) ? 2sin2 ? ? 2 3 sin ? cos ? ? a ? 4 ,得 a ?1.

3

3

33



54

f (x) ? 2sin2 x ? 2 3 sin x cos x ?1 ? 2? 1? cos 2x ? 2 3 ? sin 2x ?1 ? 2sin(2x ? ? ) ? 2

2

2

6



∵ x ?[? , ? ] ∴ 2x ? ? ?[? , 5? ] ∴ sin(2x ? ? ) ?[1 ,1] ,∴ 2sin(2x ? ? ) ? 2?[3,4] ,

42

6 36

62

6

∴ f (x) 的值域为[3,4] .

19.(本小题 12 分)

假设存在斜率为 1 的直线 m:y=x +b,记 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 m 的方程代入圆的方程,消去 y 得:2x2 +2(b +1)x +b2 +4b ?4=0 ②.

由韦达定理得?????xx11·+x2x2==b?2(+b42+b1?),4 ,

△= 4(b +1)2 ?8(4b ?4) =4(b ?3)2 > 0,得 b ≠?3.

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB,则有 x1x2 +y1y2=0



y1y2 =(x1 +b)(x2 +b) = x1x2 +b(x1 +x2) +b2 =

b2

+2b 2

?4,

①,

代入①得 b =1 或 b = ?4,均满足△> 0.

故满足条件的直线 m 的方程为 y= x +1 和 y= x ?4.

20.(本小题 12 分)

解:解:(1)由

f

(x)

?

1 4

x2

?

1 2

x?

3 4

, Sn

?

f

(an )

, (n ? N ?)



Sn

?

1 4

an2

?

1 2

an

?

3 4

(n ? N ?)



Sn?1

?

1 4

a2 n?1

?

1 2

an?1

?

3 4







an?1

?

Sn?1

? Sn

?

1 4

(an2?1

? an2 ) ?

1 2

an?1

?

1 2

an





1 4

(an2?1

?

an2

)

?

1 2

(an?1

?

an

)

?

0



即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0

? ? ∵ an > 0 ,∴ an?1 ? an ? 2 ,即数列 an 是公差为 2 的等差数列,

55

由①得,

S1

?

a1

?

1 4

a12

?

1 2

a1

?

3 4

,解得

a1

?

3,

因此 ,数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ?1.

(2) a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2n?1(2n ?1) ? 2



当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a2b2 ? ? an?1bn?1 ? 2n (2n ? 3) ? 2 ④

③-④,得 anbn ? 2n ( 2n ? 1,)

由 an ? 2n ?1得, bn ? 2n
21.(本小题 12 分) 证:

(1)连结 AG 与 A1F 相交于点 Q ,再连结 EQ ,则易证 Q 为 AG 的中点,由三角形
中位线定理知,
BG // EQ ,从而证得 BG//平面 A1EF

解:(2)连结 AC 与 EF 相交于点 M ,再连结 A1M 及 PM ,则 A1M ? MP 即可.

设正方体棱长为 4 ,则 tan ?AA1M ?

2 ?tan 4

?PMC ? PC ,所以 PC ? 3 ,所以

32

2

PC1

?

5 2





CP PC1

?

3 5

时,平面

A1EF

? 平面

EFP



22.解:将已知数据列成下表

产品 甲产品

资源

(1t)

A 原料 t

2

B 原料 t

6

产值(万元)

4

乙产品 (1t) 5 3 3

资源限额 (t) 10 18

设生产甲种产品为 x t,乙种产品为 y t,

产值为 z 万元,那么,有约束条件

???62xx

? ?

5y 3y

? ?

10 18

,则

z

?

4x

?

3

y



??x ? 0, y ? 0,

l1

56

6
y 4 2

5 A( ,1)
2

O

2

x

l2

由不等式组作出可行域如图,这里

l1 : 2x ? 5y ? 10 ,

由方程组

???62xx

? ?

5y 3y

? ?

10 18

解得交点

A(

5 2

,1)



当直线 z ? 4x ? 3y 过 A 点时,有

zA

?

4?

5 2

? 3?1 ? 13 (万元)。

所以生产甲种产品 2.5 t,乙种产品 1 t 时,产值为 13 万元最高。

综合(4)参考答案
1---6 BCCCBC 13. 1320

7---12

DCDCAC

?2? 3
14.
4

15. ② 、③ 16. 10
17、解: ① 共有 6?6 ? 36 种结果

② 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果 有(1,2),
(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),(5,4),(3,6),(6,3), (6,6)
共 12 种

③两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= 12 ? 1 36 3
?? ??
18、解:(1) f (x) ? a ? b

= (cosx ? sin x, sin x) ? (cosx ? sin x, ? 2sin x)

= (cos x ? sin x)2 ? 2sin 2 x

= cos2 x ? 2sin x cosx ? sin 2 x = cos2x ? sin 2x = 2 sin(2x ? ? )
4

(2)由 f (x) ? 1得 2 sin(2x ? ? ) =1 , 4



2x ? ? ? ? ? 2k?  (K?Z)

44

sin(2x ? ? ) ? 2 42

57



2x ? ? ? 3? ? 2k?  (K?Z)

44

所以

x ? k?  或  x ? ? +k? (K?Z)为方程的解.

4

19、解:(1)∵数列?Sn ?是以c(c ? 0)为公比的等比数列 ,且S1 ? a1 ? 1

∴ S n ? s1c n?1 ? c n?1

∴ Sn?1 ? c n?2   (n ? 2)

∴ an ? Sn ? Sn?1 ? c n?1 ? c n?2 ? (c ? 1)c n?2 (n ? 2)

?1,       n ? 1

∴ an

?

? ?(c

?1)C n?2 ,   n

?

2,且n ? N?

(2)由(1)知 a2 , a4 , a6 ,?, a2n, 是以 a2 为首项,C2 为公比的等比数列,

a2

?

a4

???

a2n

?

(c ?1)(1 ? c2n ) 1? c2

?

c2n ?1 c ?1

20、(1)解: ∵ AC1 是正方体

∴ AD ? 面DC1

又 D1F ? 面DC1

∴ AD ? D1F

(2)证明:取 AB 中点 G,连结 A1G, FG, F是CD的中点

//

//

∴ GF ? AD,  A1D1=AD

//
∴ GF ? A1D1

∴四边形 GFD1 A1 是平行四边形

∴ A1G // D1F

设 A1G ? AE ? H ,则?AHA1是AE与D1F所成的角

又 E 是 BB1 的中点

∴ Rt?A1 AG ≌Rt△ABE

∴ ?GA1 A ? ?GAH

∴ ?AHA1 ? 90?

即直线 AE与D1所成的角为直角

(3)证明: 由(1)知 AD ? D1F,由(2)知AE ? D1F 又 AD ? AE ? A,

∴ D1F ? 面AED  又   D1F ? 面A1FD1

∴面 AED ? 面A1FD

(4) 解:连结 GE  、GD

58

∵体积V E? AA1F1

? VF ?AA1E

又 FG⊥面 ABB1 A1 ,三棱锥 F- AA1E 的高 FG= AA1 ? 2

∴面积 S?AA1E

? 1S 2



ABB1 A1

?

1 2

?

22

?2

V ∴ E? AA 1 F

? VF ?AA 1 E

?

1 3 ? FG ? S?AA1 E

?

4 3

21.(本小题 12 分)

解:(1) 图像(略)

(2) f (a2 ?1) ? 4 ? (a2 ?1)2 ? 3 ? 2a2 ? a4 ,

f ( f (3)) = f (?5) =11,

(3)由图像知,当 ?4 ? x ? 3时, ?5 ? f (x) ? 9

故 f ? x? 取值的集合为?y | ?5 ? y ? 9?

22、(1)解: OM ? t1OA ? t2 AB = t1 (0,2) ? t2 (4,4) = (4t2 ,2t1 ? 4t2 )

当点

M

在第二或第三象限时,有

??4t ?

2

?

0

??2t1 ? 4t2 ? 0

故所求的充要条件为 t2 ﹤0 且t1 ? 2t 2? 0

(2)证明:当 t1 ? 1时,由(1)知OM ? (4t2 ,4t2 ? 2)

∵ AB ? OB ? OA ? (4,4)

AM ? OM ? OA ? (4t2 ,4t2 ) ? t2 (4,4) ? t2 AB
∴ A、B、M 三点都共线

(3)解:当 t1 ? a2时,OM=(4t2 ,4t2 ? 2a2 ) 又 AB ? (4,4),   OM ? AB

4t2 ? 4 ? (4t2 ? 2a 2 ) ? 4 ? 0


     t 2

?

?1

a2

4

故 OM ? (?a2 , a2 )

又 AB ? 4 2

59

点 M 到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0的距离 

d ? | ?a2 ? a2 ? 2 | ? 2 | a2 ?1| 2



S?ABM ? 12



1 | AB | ?d ? 1 ? 4 2 ? 2 | a2 ?1 |

2

2

解得 a ? ?2

故所求 a的值为:a ? ?2

综合 5 参考答案
1~6 BACDCB 7~12 DBAACA 13 5:3 14 ②③
1
15
10
16 ?x x ? 4且x ? 3?

17 (1)若 a ? 2 , log 2 (x 2 ? x ? 2) ? 2 ,则 x2 ? x ? 2 ? 4 x2 ? x ? 6 ? 0 , (x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 3 所以 A ? {x x ? ?2,或 x ? 3}

(2)因为

9 4

?

A

,所以

log

a

[(

9 4

)

2

?

9 4

?

2]

?

2

log

a

13 16

?

2



因为

log

a

13 16

?

2

?

0

且 13 ? a2 16

所以 0 ? a ? 1

故 13 ? a ? 1 4

18

(1)由已知

f (?x) ?

f

( x),即|

2x

?

a

|?|

2x

?

a

|, 解得a

?

0

; [来源:学科网 ZXXK]

60

(2)

f

(x)

?

? ??

x

2

?

? ??

x

2

? ?

2x 2x

? ?

a, a,

x x

? ?

1 2 1 2

a a



当 x ? 1 a 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? a ? ( x ? 1)2 ? (a ? 1) , 2

由 a ? 2, x ? 1 a, 得 x ? 1,从而 x ? ?1, 2

故 f ( x) 在 x ? 1 a 时单调递增, f ( x) 的最小值为 f ( a ) ? a2 ;

2

24

当 x ? 1 a 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? a ? ( x ? 1)2 ? (a ? 1) , 2

故当 1 ? x ? a 时, f ( x) 单调递增,当 x ? 1时, f ( x) 单调递减,[来源:学科网] 2
则 f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 ;

由 a2 ? (a ? 1) ? (a ? 2)2 ? 0 ,知 f ( x) 的最小值为 a ? 1 .

4

4

19 (1)焦点 F?1,0? ,过抛物线的焦点且倾斜角为 ? 的直线方程是 y ? x ? p

4

2



?y2 ? 2 px

?

? ?? y

?

x

?

p 2

? x2

? 3px ?

p2 4

? 0 ? xA

? xB

? 3 p, xA xB

?

p2 4

?

AB ? xA ? xB ? p ? 4 p

(或

2p AB ? sin 2 ? ? 4 p



4

? ?? ? (2) cos?AOB ? AO 2 ? BO 2 ? AB 2 ? ? ? ? ? xA2 ? yA2 ? xB2 ? yB2 ? xA ? xB 2 ? yA ? yB 2

2 AO BO

2 xA2 ? yA2 xB2 ? yB2

61

?

? ?? ? xAxB ? yA yB

?

xA2 ? yA2 xB2 ? yB2

? ? 2xA xB

?

p 2

?x

A

?

xB ??

p2 4

? ? 3 41

xA xB xA xB ? 2 p?xA ? xB ? ? 4 p2

41

∴ ?AOB的大小是与 p 无关的定值.

20 (Ⅰ) 证明:由已知 PA ? AD, AB ? AD, 所以 ?PAB为平面 PAD与平面 ABCD所成二面角的平面角, 由已知:平面 PAD⊥平面 ABCD,得 PA ? AB



AB

?

平面ABCD,

AD

?

平面ABCD,且

AB与AD

相交 [来源:学科网 ZXXK]

∴ PA ? 平面 ABCD .分 (Ⅱ)连接 AF ,则 ?AFE即为? ,分

在 ?AFE中,可求得? ? arctan 5 5

(Ⅲ)解法一:取 BC 的中点 M,连结 EM、FM,则 FM//BD,

∴∠EFM(或其补角)就是异面直线 EF 与 BD 所成的角。
可求得 EM ? EA2 ? AM 2 ? 6 ,同理 EF ? 6 ,又 FM ? 1 BD ? 2 , 2

∴在 Rt△MFE 中, cos ?EFM ? EF 2 ? FM 2 ? ME 2 ? 3 ,

2EF ? FM

6

故异面直线 EF 与 BD 所成角为 arccos 3 . 6
解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设 AB ? 2a , 则 A(0,0,0) , B(2a,0,0) , C(2a,2a,0) , D(0,2a,0) , P(0,0,2a) , E(0,0, a) ,

F(a,2a,0) ,

∵ EF ? (a,2a,?a) , BD ? (?2a,2a,0) ,分
62

∴ cos? ? EF ? BD ? 3 . | EF | ? | BD | 6
故异面直线 EG 与 BD 所成的角为 arccos 3 . 6

21 (2)四棱锥 B1 ? C1A1PC 的体积为 2

22 设 P(x, y) 为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,故 ? 4 ? x ? 4 . 16 12

因为 MP ? ? x ? m, y? ,所以 MP 2 ? (x ? m)2 ? y2 ? (x ? m)2 ?12? (1? x2 )
16

推出 MP 2 ? 1 x2 ? 2mx ? m2 ? 12 ? 1 (x ? 4m)2 ? 12 ? 3m2 .

4

4

依题意可知,当 x ? 4 时, MP 2 取得最小值.而 x ???4, 4? ,

故有 4m ? 4 ,解得 m ? 1.

又点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 4 ? m ? 4. 故实数 m 的取值范围是 m ?[1,4].

综合(6)参考答案
1~10 BCBBD ADABA
11. (x ? 5)2 ? y2 ? 16 12. 2或12

13. ( 2, ??)

14. 3

15. x ? 5 4

16. 7?

? ? 17. 解:若命题 p 为真命题,则有△= 4a2 ? 4 2a2 ? 5a ? 4 ? 0 ,

解得1? a ? 4
63

? ? 对于命题 q ,令 f ? x? ? a2 ? 4a ? 3 x ? 3,

若命题 q 为真命题,则有 f ?0? ? 0且 f ?1? ? 0,可得 0 ? a ? 4

由题设有命题 p 和 q 中有且只有一个真命题,

所以

?1 ? a ? 4 ??a ? 0或a

?

4



?a ??0

? ?

1或a ? a?4

4

解得

0

?

a

?

1或a

?

4



故所求 a 的取值范围是 0 ? a ?1或a ? 4 。

18.解:程序框图如下:
开始 输入 n
i=1 s=1
i=i+1 N
s=s+1/i
i>n Y
输出 s 结束

程序: Input “n=”;n i=1 S=1 Do
i=i+1 S=S+1/i
Loop while i ? n
Print S End
64

19.(1) 2 5 (2)F 为 AB 的中点
20.解:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有 36 种不同结果。 (1) 其中向上的点数之和为 7 的结果有:
(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共 6 种
(2) 向上的点数之和为 7 的概率为 P ? 6 ? 1 36 6
(3) 答:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有 36 种,其中向上
的点数之和为 7 的结果有 6 种;向上的点数之和为 7 的概率为 1 。 6
21.解:⑴由于椭圆焦点为 F(O,±4),离心率为 e= 4 5
所以双曲线的焦点为 F(O,±4),离心率为 2,

从而 c=4,a=2,b= 2 3 .

所以所求双曲线方程为 y 2 ? x2 ?1 4 12
⑵设 PF1=m,PF2=n 则|m-n|=2a 平方得 m2+n2-2mn=16

再由余弦定理得 c2=64=m2+n2-2mncos∠F1PF2=m2+n2-mn

两式相减得 mn=48

∴S△F1PF2=

1 2

mnsin∠F1PF2=12

3

由正弦定理 2c sin ?F1PF2

? 2R ,其中 R 为△F1PF2 外接圆半径

65

∴ R ? 8 ∴外接圆面积为 S= ?R2 ? 64?

3

3

22.解:⑴

a1= OP1

2=100,由

S3=

3 2

(a1+a3)=255,得 a3= OP3

3=70.



? x2 ?

? y2

?100 25

?? x2 ? y2 ?

?1 70

,得

? ? ?

x2 y2

? ?

60 10

∴点 P3 的坐标可以为(±2 15 , ± 10 ).(四解)

⑵原点 O 到二次曲线 C: x2 ? y 2 ? 1(a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大距离为 a. a2 b2

∵a1= OP1 2=a2, ∴d<0, 且 an= OPn 2=a2+(n - 1)d≥b2,
---------------------8 分

∴ b2 ? a 2 ≤d<0. n ?1

∵n≥3, n(n ? 1) >0 2

∴Sn=na2+

n(n ?1) 2

d

在[

b2 ? a2 n ?1

,0)上递增,



Sn 的最小值为

na2+

n(n ? 1) 2

·b2 ? a 2 n ?1

=

n(a2 ? b2 ) 2



(3)

若双曲线

C:

x a

2 2

- y2 b2

=1,点 P1(a,0),

则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0.
∵原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h∈[ a ,+∞),且 OP1 =a2,

∴点 P1, P2,…Pn 存在当且仅当 OPn 2> OP1 2,即 d>0。

试卷 7 参考答案
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 11B 13、三点共线 14 无数 无数

15、 7 16、

2 a3 12

17、证明:

AE ? C F 1

AB ? C1D1
66

12 D

?EAB ? ?FC1D1 ? ?EAB ? ?FC1D1 ? EB ? FD1 过 A1 作 A1G // D1F 又由 A1E ∥ BG 且 A1E = BG 可知 EB // A1G ? EB // D1F ∴四边形 EBFD1 是平行四边形
18、∵ AP ? AC D 为 PC 的中点 ∴ AD ? PC ∵ BP ? BC D 为 PC 的中点 ∴ BD ? PC ∴ PC ? 平面 ABD ∴ AB ? PC
19、 提示:沿 AB 线剪开 ,则 BB? 为周长最小值.易求得 EF 的值为 3 a ,则周长最小 4
值为 11 a . 4
20、解: ? AC??2 ? ? AC?2 ? ?CC??2
? ? AB?2 ? ? BC?2 ? (CC?)2
67

? a2 ? b2 ? c2

21(Ⅰ)由已知此三棱柱为直三棱柱,∴ BB1 ⊥ B1C1 ,又∵ ?ABC ? 90? ,故, A1B1

⊥ B1C1 ,

于是 B1C1 ⊥平面 ABB1 A1 ,∴ B1C1 ? A1B 。

(Ⅱ)∵ BC ∥ B1C1 且 BC = B1C1 ∴ BC ⊥平面 ABB1 A1 ,于是点 C 平面

ABB1 A1 的距离为 2 ,而 O 为 A1C 中点,∴ O 到 C 平面 ABB1 A1 的距离为 1 。

(Ⅲ)由 BC ⊥平面 ABB1 A1 得到 平面 A1BC ⊥平面 ABB1 A1 , 取 A1B 中点 D ,

∵ AB ? AA1 ? 2, ∴ B1D ⊥ A1B , ∴ B1D ⊥平面 A1BC ∴∠ B1 A1B 就是 A1B1

与平面 A1BC 所成的角.而∠ B1 A1B = 450 ,因此 A1B1 与平面 A1BC 所成的角是 450 。

A
22(I)证明:连结 OC

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD. O

M D

B

E

C

在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3.

而 AC ? 2, ? AO2 ? CO2 ? AC2 , ??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.

BD OC ? O, ? AO ? 平面 BCD
(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知
ME∥AB,OE∥DC ?直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 ?OME 中,

68

EM ? 1 AB ? 2 ,OE ? 1 DC ? 1,

2

2

2

OM 是 直 角 ?AOC 斜 边 AC 上 的 中 线 , ?OM ? 1 AC ? 1, 2

?cos ?OEM ? 2 , 4

?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos 2 . 4

(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

VE? ACD ? VA?CDE ,

?

1 3

h.S?ACD

?

1 3

.AO.S

?CDE

.

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

? S?ACD

?

1? 2

2?

22 ? ( 2 )2 ? 2

7. 2



AO

? 1, S?CDE

?

1? 2

3 ? 22 ? 4

3, 2

?h ?

AO.S?CDE

1? ?

3 2

?

21 .

?点 E 到平面 ACD 的距离为

21 .

S?ACD

77

7

2

试卷 8 参考答案

一、选择题: AACCA BBCCC DA
二、填空题

13 ③④

14 没有一个偶数是素数

69

15. ?x ? R, x2 ?1 ? 0 ;16.存在 x∈R, x3 ? x2 ?1 ? 0

三、解答题

17、解:若方程

x2

?

mx

?1

?

0

有两个不等的负根,则

? ?

? ? m2 ? 4 ? 0



?x1 ? x2 ? ?m ? 0

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 . 分

若方程 4x2 ? 4(m ? 2)x ?1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,

即1? m ? 3, 因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”.

所以

?m ? 2

? ?

m

?

1或m

?

3



? ?? 1

m? ?m

2 ?

3

所以 m ? 3 或1? m ? 2 .

故实数 m 的取值范围为 (1, 2] [3, ??) .

18.解:由 p : 1? x ?1 ? 2 ,解得 ?2 ? x ?10 , 3
∴“非 p ”: A ? {x x ? ?2或x ?10}.

由 q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0 解得1? m ? x ? 1? m (m ? 0)

∴“非 q ”: B ?{x x ?1? m或x ?1? m, m ? 0}

由“非 p ”是“非 q ”的必要而不充分条件可知: A ? B .

?m ? 0 ??1? m ? ?2 ??1? m ? 10

解得 m ? 9 .

70

∴满足条件的 m 的取值范围为{m m ? 9}.

19 解: p 为真: 0 ? a ?1; q 为真: a ? 5 或 0 ? a ? 1

2

2

因为 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,所以 p, q 命题一真一假

0? a ?1

(1)当

p



q

假{1

?

a

?

5

?

1 2

?

a

?

1

2

2

a ?1

(2)当

p



q

真{ 0

?

a

?

1

或a

?

5

?

a

?

5 2

2

2

综上, a 的取值范围是[1 ,1) ( 5 , ??)

2

2

20、证明:(1)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y 2 =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于

A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB ? 3 。

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.

?y2 ? 2x ?

得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6.

?y ? k(x ? 3)

又∵x1= 1 2

y12,

x2= 1 2

y22,

∴ OA

? OB

=x1x2+y1y2=

1 4

( y1 y2 )2

?

y1 y2

=3.

综上所述, 命题“......”是真命题.

解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 my =x - 3 与 y 2 =2x 联 立 得 到 y2-2my-6=0

OA ? OB =x1x2+y1y2 =(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9=3
(2)逆命题是:“设直线 l 交抛
物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过点 T(3,0).” 该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 1 ,1),此时 OA ? OB ? 3 =3,
2
71

直线 AB 的方程为 y = 2 (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3
21. 3 ? x或2 ? x ?1
22.解:命题 P 为真的条件是:1< k < 4 ,(3 分)。命题 Q 为真的条件是:- 1 < k < 2 ,
又∵命题“P ? Q”为真,命题“P ? Q”为假。
∴命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,? k ? ?2,4? ? ??1,1?

试卷 9 参考答案(答案仅供参考)
CDABDB BBACBA 13 m-p
14 x 2 ? y 2 ? 1 85

15 2 6
16 ?2,1?

17 y ? ? 2?x ? 2?

18

?? ? 9 , 1 ??

? 5 5?

19

y2 ? x2 ?1

4 12

20

y ? 4x 或 y 2 ? ?12 x

21. 解(1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系



A(2,0),设所求椭圆的方程为:

x2 4

?

y? b2

=1(0<b<2),

y

由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由 AC · BC =0 得 AC⊥BC,

x

∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,

∴△AOC 是等腰直角三角形,∴C 的坐标为(1,1),

∵C 点在椭圆上

∴ 12 ? 1 =1,∴b2= 4 ,所求的椭圆方程为 x 2 ? 3y 2 =1

4 b2

3

44

72

(2)由于∠PCQ 的平分线垂直 OA(即垂直于 x 轴),不妨设直线 PC 的斜率为 k, 则直线 QC 的斜率为-k,直线 PC 的方程为:y=k(x-1)+1,直线 QC 的方程为 y=-k(x-1)+1,



?y ? k(x

? ?x

2

?

3y

?
2

1) ? 1 ?4?0

得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)

∵点 C(1,1)在椭圆上,∴x=1 是方程(*)的一个根,则其另一根为 3k 2 ? 6k ? 1 , 1 ? 3k 2

设 P(xP,yP),

3k 2 ? 6k ? 1 Q(xQ,yQ),xP= 1 ? 3k 2 ,

同理

xQ=

3k 2 1

? 6k ? 3k 2

?

1

,

3k 2 ? 6k ?1 3k 2 ? 6k ?1

kPQ=

yP xP

? ?

yQ xQ

? k(xP ? xQ ) ? 2k xP ? xQ

k ?( ?

1? 3k 2 ? 1? 3k 2 ) ? 2k

3k 2 1

? 6k ? ? 3k 2

1

?

3k 2 1

? 6k ? 3k 2

?

1

?1 3

而由对称性知 B(-1,-1),又 A(2,0)

∴kAB=

1 3

∴kPQ=kAB,∴ AB 与 PQ 共线,且 AB ≠0,即存在实数λ ,使 PQ =λ AB .

22.解 (1)设动点 N 的的坐标为 N(x, y) ,则 M (?x, 0), P(0, y ), (x ? 0) , 2

PM ? (?x, ? y ), PF ? (1, ? y ) ,由 PM ? PF ? 0 得, ?x ? y2 ? 0 ,

2

2

4

因此,动点 N 的轨迹 C 的方程为 y2 ? 4x(x ? 0) .

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , l 与抛物线交于点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,

则 由 O A? O B? ?4 , 得 x1 x2? y1 y2? ?4 , 又 y12 ? 4x1, y22 ? 4x2 , 故

y1 y2 ? ?8 .



?y2 ?

?

4x

? ky2 ? 4y ? 4b ? 0(k ? 0) ,

? y ? kx ? b



?? ? 16(1?

?

? 4b ?? k

?

?8

2k

2

)

?

0

,?|

AB

|2

?

1? k

k
2

2

(16 k2

?

32)



∴4

6 ?| AB |? 4

30

即 96

?

1? k2 k2

16 (k2

?

32)

?

480

解得直线 l 的斜率 k 的取值范围是[?1, ? 1] [1 ,1] 22

73


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