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上海名校2012年三模冲刺试卷集(七宝中学文科)


2012 年上海市七宝中学高三五月考试数学试题(文卷) 2012.5.21 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分): 1. 已知 tan ? ? 2 , ? 是第三象限角,则 sec ? ? . 2. 已知 A ? {x || x |? 2} B ? {x | x ? a} ,若“ x ? A ”是“ x ? B ”成立的充分条件,则实 , 数 a 的取值范围是 . . . . 3. 函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图像恒过定点 A ,则 A 点坐标为 4. 已知虚数 z 是方程 2ax2 ? bx ? 4a ? 0(a、b ? R a ? 0) 的根,则 | z |2 ? , 5. 若 ?OMN 的重心坐标为 (?1 2) ,则线段 MN 的中点坐标为 , 6. 函数 f ( x) ? arccos x(

1 ? x ? 1) 的值域是 2
.

.

7. 等差数列 {an } 共有 20 项,其中前四项的和是 20 ,末四项的和是 100 ,则这个等差数列 的各项和是 8. 已知矩阵 A ? ?

?2 ?a

b ? ?c b ? 和 B?? ,若 A ? B ,且 f ?1 ( x) ? c ,则实数 x 的值 f ( x) ? a 2x ? ? ? ?


是 . 9. 不等式 | x | ? | y |? 1 所围成的区域的面积是

10. 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 160 名学生随机地从 1~160 将 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 1 组抽出 的号码为 6 ,则第 16 组中用抽签的方法确定的号码是 11. 当 n 为正奇数时, 8 除以 9 的余数是
n

.
A

.

12. 如图,某地有南北方向的街道 5 条,东西方向的街道 6 条, 一邮递员从该地东北角的邮局 A 出发,送信到西南角的 B 地, 且途经 C 地,要求所走的路程最短,共有 法(用数字作答) 种不同的走
B C

13. 在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 先改写第 k 项: k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)]

1 3

1 ? ?1? 2 ? 3 (1? 2 ? 3 ? 0 ? 1? 2) ? ?2 ? 3 ? 1 (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 由此得 ? ,两边分别相加,得 3 ?????? ? 1 ?n(n ? 1) ? 3 [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] ? 1 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2). 3 类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”,
其结果是 .
2

14. 设非空集合 S ?{x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x ?S . 给出如下三个命题:①若

1 1 1 2 m ? 1 ,则 S ? {1} ;②若 m ? ? ,则 ? l ?1 ;③若 l ? ,则 ? ? m ? 0 ;④若 l ? 1 , 2 4 2 2 则 ?1? m ? 0 或 m ? 1 .其中正确命题的是 .

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分): 15. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形, 则这个三角形一 定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 16. 如果用反证法证明命题: “若整数系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 则 a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数” .那么下列假设中正确的是 ( ) A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数 B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数 C.假设 a 、 b 、 c 中至多有一个是偶数 D.假设 a 、 b 、 c 中至多有两个是偶数 17. 已知数列 {an } 是首项为 1 的等差数列,若该数列从第 10 项开始为负,则公差 d 的取值 范围是 A. ( ??,? ) ( )

1 9

B. ( ? ,? )

1 8

1 9

C. [ ? ,? )

1 8

1 9

D. [? ,?

1 9

1 ) 10
)

18. 函数 f ( x) ? x2 ? b | x | ?1(b ? R) 有四个单调区间的充要条件是

(

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分): 19. (本题满分 12 分) x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ? ? , A ? B ? R ,求实数 a ? b , 已知 A ? {x | x?2 的值.

20. (本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

f ( x) 在 I 上是减函数,则称 x b y ? f ( x) 在 I 上是“弱增函数”.已知 f ( x) ? x2 ? ax ? b ( a、 是常数, b ? 0 ). (1)若 f ( x ) 是偶函数,求 a 的值; 1] (2)当 a ? 2,b ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是否是“弱增函数” ,请说明理由.
如果函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 y ?

21. (本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 如图,一吊灯的底是直径为 4 米的圆形,圆心为 O ,通过细绳悬挂在天花板上,底面呈水 B 平状态,并且与天花板的距离(即 OB )为 2 米,在圆周上设置 B 三个等分点 A1、 2、 3 ,点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、 ), A A C 同时点 C 与点 A1、 2、 3、 均用细绳相连接,且细绳 CA1、 2、 3 A A B CA CA 的长度相等.设 ?CAO ? ? ,细绳的总长为 y 米. 1 (1)将 y 表示成 ? 的函数,并指出定义域; (2)请你设计:当 C 离 B 多远时,细绳总长 y 与角 ? 余弦值的积 为 6? A1 O A2 A3

2 5 . 5

22. (本题满分 16 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

B C 已知 A、 、 是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中 A 的坐标为 (2 3 0) , , a 2 b2

BC 过椭圆 E 的中心,且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)当直线 BC 的斜率为 1 时,求 ?ABC 面积; (3)设直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 E 交于两点 P、Q , 且线段 PQ 的中垂线过椭圆 E 与 y 轴 y 负半轴的交点 D ,求实数 k 的值. C
o B O A x

23. (本题满分 18 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) y 已知数列 {xn } { yn } 中的项依次由如图所示的程序框图输出的 x, 的值确定. 、 (1)分别写出数列 {xn }、 yn} 的递推公式; { (2)写出 y1, 2,3,4 ,猜想 { yn } 的一个 y y y 通项公式 y n ,并加以证明; 开始

x ?1, ? 2, ?1 y n
输出x,y

yn ? 1 ,是否存在 n0 ? N * , 2 xn ? 2012 使得对任意 n ? N * (n ? 2012) 都有 zn0 ? zn ,
(3)设 zn ? 若存在,求出 n0 的值;若不存在,请说明理由.

n ? n ?1 x? x?2

y ? 3y ? 2
n≤2012 否 结束 是

2012 年上海市七宝中学高三五月考试数学试题(文答) 2012.5.21 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分): 24. 已知 tan ? ? 2 , ? 是第三象限角,则 sec ? ? .? 5 25. 已知 A ? {x || x |? 2} B ? {x | x ? a} ,若“ x ? A ”是“ x ? B ”成立的充分条件,则 , 实数 a 的取值范围是 26. 函 数 y ? l o g x ? a ( . a ? ?2 的 3 ) (a ? 0 且a ? 1 ) 图 像 恒 过 定 点 A , 则 A 点 坐 标 为 ? 1 , .2

(?2,? 1) .
27. 已知虚数 z 是方程 2ax2 ? bx ? 4a ? 0(a、b ? R a ? 0) 的根,则 | z |2 ? ,

, 28. 若 ?OMN 的重心坐标为 (?1 2) ,则线段 MN 的中点坐标为
29. 函数 f ( x) ? arccos x(

3) . (? ,

1 ? x ? 1) 的值域是 2
. 300

. (0, )

?

3 2

3

30. 等差数列 {an } 共有 20 项,其中前四项的和是 20 ,末四项的和是 100 ,则这个等差数 列的各项和是 31. 已知矩阵 A ? ?

?2 ?a

b ? ?c b ? ?1 ? 和 B ? ? a 2 x ? ,若 A ? B ,且 f ( x) ? c ,则实数 x 的值 f ( x) ? ? ?

是 .4 32. 不等式 | x | ? | y |? 1 所围成的区域的面积是 .2 33. 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 160 名学生随机地从 1~160 将 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 1 组抽出 的号码为 6 ,则第 16 组中用抽签的方法确定的号码是 .126 34. 当 n 为正奇数时, 8 除以 9 的余数是 .8 35. 如图,某地有南北方向的街道 5 条,东西方向的街道 6 条, 一邮递员从该地东北角的邮局 A 出发,送信到西南角的 B 地, C 且途经 C 地,要求所走的路程最短,共有 种不同的走 法(用数字作答)60 B 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 36. 在计算“ 先改写第 k 项: k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)]
n

A

1 3

1 ? ?1? 2 ? 3 (1? 2 ? 3 ? 0 ? 1? 2) ? ?2 ? 3 ? 1 (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 由此得 ? ,两边分别相加,得 3 ?????? ? 1 ?n(n ? 1) ? 3 [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] ? 1 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2). 3 类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”, 1 其结果是 . n( n ? 1)( n ? 2)(n ? 3) 4 2 37. 设非空集合 S ?{x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x ?S . 给出如下三个命题:①若
1 1 1 2 m ? 1 ,则 S ? {1} ;②若 m ? ? ,则 ? l ?1 ;③若 l ? ,则 ? ? m ? 0 ;④若 l ? 1 , 2 4 2 2

则 ?1? m ? 0 或 m ? 1 .其中正确命题的是①②③④. 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分): 38. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形, 则这个三角形一 定是 (C ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 39. 如果用反证法证明命题: “若整数系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 则 a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数” .那么下列假设中正确的是 ( B ) A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数 B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数 C.假设 a 、 b 、 c 中至多有一个是偶数 D.假设 a 、 b 、 c 中至多有两个是偶数 40. 已知数列 {an } 是首项为 1 的等差数列,若该数列从第 10 项开始为负,则公差 d 的取值 范围是 ( C )

1 A. ( ??,? ) 9

1 1 B. ( ? ,? ) 8 9

C. [ ? ,? )

1 8

1 9

D. [? ,? B )

1 9

1 ) 10

41. 函数 f ( x) ? x2 ? b | x | ?1(b ? R) 有四个单调区间的充要条件是 (

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分): 42. (本题满分 12 分) x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ? ? , A ? B ? R ,求实数 a ? b , 已知 A ? {x | x?2 的值. ? , A A 解:依题意 A ? (??, 2) ? (1 ? ?), ? B ? R, ? B ? ? . ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 1} ,即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2,x2 ? 1 于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? 1 , b ? x1 ? x2 ? ?2 ,∴ a ? b ? ?1 43. (本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

f ( x) 在 I 上是减函数,则称 x b y ? f ( x) 在 I 上是“弱增函数”.已知 f ( x) ? x2 ? ax ? b ( a、 是常数, b ? 0 ). (1)若 f ( x ) 是偶函数,求 a 的值; 1] (2)当 a ? 2,b ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是否是“弱增函数” ,请说明理由. 解:(1)若 f ( x ) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , 2 2 即 x ? ax ? b ? x ? ax ? b 对任意 x ? R 恒成立, ∴ a ? 0 ,∴若 f ( x ) 是偶函数,则 a ? 0 ;
如果函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 y ? (2)当 a ? 2,b ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? b 的对称轴是 x ? ?1 ? 0 1] ∴ f ( x ) 在 (0, 上是增函数 考察函数 g ( x) ?

f ( x) b ? x? ?2, x x

设 0 ? x1 ? x2 ? 1,

( x ? x )( x x ? b) b b ? 2) ? ( x2 ? ? 2) ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 ∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1 ? b , ( x ? x2 )( x1 x2 ? b) ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 ?0 x1 x2 1] 即 g ( x) 在 (0, 上单调递减. 1] ∴ a ? 2,b ? 1 时, f ( x ) 在 (0, 上是“弱增函数” ;
则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( x1 ?

44. (本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 如图,一吊灯的底是直径为 4 米的圆形,圆心为 O ,通过细绳悬挂在天花板上,底面呈水 平状态,并且与天花板的距离(即 OB )为 2 米,在圆周上设置 B B 三个等分点 A1、 2、 3 ,点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、 ), A A C 同时点 C 与点 A、 、 、 均用细绳相连接,且细绳 CA、 、 A A B CA CA
1 2 3 1 2 3

的长度相等.设 ?CAO ? ? ,细绳的总长为 y 米. 1 (1)将 y 表示成 ? 的函数,并指出定义域; (2)请你设计:当 C 离 B 多远时,细绳总长 y 与角 ? 余弦值的积 为 6?

A1

A3 O A2

2 5 . 5

解:(1) CA1 ? CA2 ? CA3 ?

2 (0 ? ? ? ? ) ,于是 y ? 2 ? 2 tan ? ? 6 (0 ? ? ? ? ) cos ? 4 cos ? 4

(2)由(1)知, g(? ) ? y cos ? ? 2(cos ? ?sin ?) ?6 ? 2 2 cos( ? ? ) ?6

?

4 2 5 知, cos(? ? ? ) ? 10 ,于是 sin(? ? ? ) ? 3 10 , 由 g(? ) ? 6 ? 5 4 10 4 10 ? ) ? ? ] ? 5 , cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? 2 5 , tan ? ? 1 ∴ sin ? ? sin[(? ? 2 4 4 5 4 4 5 ∴ OC ? OA tan? ?1 , 1
即当 BC ? OC ? 1 时,细绳总长 y 与角 ? 余弦值的积为 6 ?

2 5 . 5

45. (本题满分 16 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

x2 y 2 B C 已知 A、 、 是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中 A 的坐标为 (2 3 0) , , a b BC 过椭圆 E 的中心,且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)当直线 BC 的斜率为 1 时,求 ?ABC 面积; (3)设直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 E 交于两点 P、Q , 且线段 PQ 的中垂线过椭圆 E 与 y 轴 y 负半轴的交点 D ,求实数 k 的值. C 3 解:(1)依题意, a ? 2 3 , b ? a ? 2, 3 O M A x 2 2 x y B ? ? 1; ∴椭圆 E 的方程为 12 4 2 2 ?x y ?1 ? ? (2)由 ?12 4 ,得 y ? ? 3 , ?y ? x ? y
作 CM ? x 轴于 M ,则 | CM |? 3 ∵ O 是 BC 的中点, ∴ S?ABC ? 2S?AOC ?| OA | ? | CM |? 2 3 ? 3 ? 6 ; D ? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 2 (3)如图,由 ? x 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , y ? ?1 ?12 4 ? 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , Q H P o x

o

x1 ? x2 ?6 k 2 ? 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? , D (0, ? 2) , 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 ?2 2 由 k DH ? k PQ ? ?1,得 3k ? 1 ? k ? ?1 , 6k ? 2 3k ? 1 3 ∴k ? ? 3
则 x0 ? 46. (本题满分 18 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) y 已知数列 {xn } { yn } 中的项依次由如图所示的程序框图输出的 x, 的值确定. 、 开始 (1)分别写出数列 {xn }、 yn} 的递推公式; { (2)写出 y1, 2,3,4 ,猜想 { yn } 的一个 y y y 通项公式 y n ,并加以证明;

x ?1, ? 2, ?1 y n
输出x,y

y ?1 (3)设 zn ? 2 n ,是否存在 n0 ? N * , xn ? 2012 使得对任意 n ? N * (n ? 2012) 都有 zn0 ? zn ,
若存在,求出 n0 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)数列 {xn } 的递推公式为

n ? n ?1 x? x?2

y ? 3y ? 2
n≤2012 否 结束 是

? x1 ? 1 ? x ? x ? 2(n ? N *,2 ? n ? 2012) ; n ?1 ? n ?y ? 2 数列 { yn } 的递推公式为 ? 1 * ? yn ? 3 yn?1 ? 2(n ? N ,2 ? n ? 2012)
证明:由(1)知, ?

(2) y1 ? 2 y2 ? 8 y3 ? 26,y4 ? 80 ,猜想 yn ? 3n ?1(n ? N ?,n ? 2012) , ,

? y1 ? 2 ,∴数列 { yn ? 1} 是以 y1 ? 1 ? 3 为首项, 3 为公比 ? yn ? 1 ? 3( yn?1 ? 1) 的等比数列,∴ yn ? 1 ? 3n ,即 yn ? 3n ?1( n ? N ?, ? 2012) (也可用数学归纳法证明) n
(3)由(1)知, xn ? 2n ?1(n ? N *,n ? 2012)

yn ? 1 3n , ? 2 xn ? 2012 (2n ? 1)2 ? 2012 显然当 n ? 23 时, zn ? 0 ; n ? 23 时, zn ? 0 ,∴当 zn 最小时, n ? 23 ,设 3n?1 3n (8n2 ? 16n ? 4022)3n zn?1 ? zn ? ? ? ? 0, (2n ? 1)2 ? 2012 (2n ? 1)2 ? 2012 [(2n ? 1)2 ? 2012][(2n ? 1)2 ? 2012]
于是 zn ?

2015 ? 23.4 , 2 ∴当 n ? 23 时, zn?1 ? zn ,即且 0 ? z22 ? z21 ? z20 ? ? ? z1 ,
解得: n ? 1 ? ∴ zn ? z22 ∴对任意 n ? N * (n ? 2012) 都有 z22 ? zn ,即存在 n0 ? 22 满足条件.


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