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2015届高考数学(苏教,理科)大一轮第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 对应学生用书 P8 1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 f:A→B 名称 记法 设 A,B 是两个非空数集 如果按照某个对应关系 f, 对于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都 存在唯一确定的数 f(x)与之对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f, 使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 对应 f:A→B 是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 1 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成. [试一试] 1.(2013· 苏锡常镇一调)已知常数 t 是负实数,则函数 f(x)= 12t2-tx-x2的定义域是 ________. 解析:因为 f(x)= 12t2-tx-x2= ?-x+3t??x+4t?,则(-x+3t)(x+4t)≥0.又 t<0,所以 x∈[3t,-4t]. 答案:[3t,-4t] ? ?log2x,x>0, 2.(2013· 扬州期末)已知函数 f(x)=? x 则 f(f(0))=________. ?3 ,x≤0, ? 解析:因为 f(0)=30=1,所以 f(f(0))=f(1)=log21=0. 答案:0 求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于________. 解析:f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. 答案:2x+7 2.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________. ?1+b+c=0, ?b=-4, ? ? 解析:由题意得? 解得? ? ? ?9+3b+c=0, ?c=3. ∴f(x)=x2-4x+3. 答案:

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