kl800.com省心范文网

2.4 二次函数与幂函数课件


数学

北(理)

§2.4 二次函数与幂函数
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.二次函数的定义与解析式
难点正本 疑点清源

1.二次函数的三种形式 (1) 已 知 三 个 点 的 坐 标 (1)二次函数的定义 时,宜用一般式. 2 形如:f(x)= ax +bx+c (a≠0)的函 (2)已知二次函数的顶点 数叫作二次函数. 坐标或与对称轴有关或 与最大(小)值有关时, 常 (2)二次函数解析式的三种形式 2 ax ①一般式:f(x)= +bx+c (a≠0). 使用顶点式. 2 (3)已知二次函数与 x 轴 a ( x - m ) + n ( a ≠ 0) ②顶点式:f(x)= . 有两个交点,且横坐标 a ( x - x )( x - x ) 1 2 ③零点式:f(x)= 已知时,选用零点式求 (a≠0) . f(x)更方便.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
2.二次函数的图像和性质 解 f(x)=ax2+bx+c f(x)=ax2+bx+c 析 (a>0) (a<0) 式 图 像 定 义 域 值 域 (-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? 4a ? ? ?

难点正本 疑点清源

(-∞,+∞)
2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

1.二次函数的三种形式 (1) 已 知 三 个 点 的 坐 标 时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点 坐标或与对称轴有关或 与最大(小)值有关时, 常 使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴 有两个交点,且横坐标 已知时,选用零点式求 f(x)更方便.
练出高分

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
单 上单调递减; 调 ? b 上单调递增 奇 偶 性 顶 点 对 称 性 当
? b? 在 x∈?-∞,- ? 2a ? ?

难点正本 疑点清源
? b? ?-∞,- ? 2a? 在 x∈ ?

? ? b ? 性 在 x∈ ?-2a,+∞? 在 x∈?- ,+∞?上 ? ? ? 2a ?

上单调递增;

单调递减

b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶
? b 4ac-b2? ?- , ? 2 a 4 a ? ?

函数

b x=- 成轴对称图形 图像关于直线 2a
基础知识 题型分类

1.二次函数的三种形式 (1) 已 知 三 个 点 的 坐 标 时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点 坐标或与对称轴有关或 与最大(小)值有关时, 常 使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴 有两个交点,且横坐标 已知时,选用零点式求 f(x)更方便.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

3. 幂函数 形如
y=xα (α∈R) 的函数称为幂

2.幂函数的图像
(1)在(0,1)上, 幂函数中指 数越大, 函数图像越靠近 x 轴,在(1,+∞)上幂函 数中指数越大, 函数图像 越远离 x 轴. (2)函数 y= x, y= x2, y =x , y= x , y=x-1 可作
3
1 2

函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 4.幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较

为研究和学习幂函数图

动画展示
基础知识 题型分类

像和性质的代表.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理 (2)幂函数的性质比较
y=x y=x2 y=x3 y= 定义 域 值域
难点正本 疑点清源

2.幂函数的图像

x

1 2

(1)在 (0,1)上, 幂函数中指
y=x-1
{x|x∈R 且x≠0} {y|y∈R 且y≠0}

数越大, 函数图像越靠近 x 轴,在(1,+∞)上幂函 数中指数越大, 函数图像 越远离 x 轴. (2)函数 y= x, y= x2, y = x , y=x ,y= x- 1 可
3
1 2

R R

R
[0, +∞)

R

[0, +∞) [0, +∞)

R

奇偶 奇函 偶函 奇函 非奇非 性







偶函数

奇函数

作为研究和学习幂函数 图像和性质的代表.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

2.幂函数的图像
(1)在 (0,1)上, 幂函数中指 数越大, 函数图像越靠近
x∈[0,+∞) x∈(0,+∞) 单 时,增; 时,减; 调 增 x∈(-∞,0] 增 增 x∈(-∞,0) 时,减 性 时,减

x 轴,在(1,+∞)上幂函 数中指数越大, 函数图像 越远离 x 轴. (2)函数 y= x, y= x2, y = x , y=x ,y= x- 1 可
3
1 2

作为研究和学习幂函数 图像和性质的代表.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2

答案
(-∞,-2]

解析

[1,2] 1或2
1 1 2,2,-2,-2

3
4 5

A

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求二次函数的解析式
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2) =-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最 大值是 8,试确定此二次函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求二次函数的解析式
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2) =-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最 大值是 8,试确定此二次函数.

确定二次函数采用待定系数 法,有三种形式,可根据条件 灵活运用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求二次函数的解析式
思维启迪 解析
探究提高

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)
2

解 方法一 设 f(x)1 = ax + bx + c (a≠0), =- 1,f(-1) =- ,且 f( x) 的最

? ?4a+2b+c=-1, ?a=-4, ? 大值是 8,试确定此二次函数. ?a-b+c=-1, 依题意有? 解之,得?b=4, 2 ?4ac-b ?c=7, ? = 8 , ? ? 4a

∴所求二次函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 设 f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = . ∴ m = 2 2 2.
又根据题意函数有最大值为 n=8,
? 1?2 ? ∴y=f(x)=a x-2? +8. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求二次函数的解析式
思维启迪 解析
探究提高

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)
?

? 1?2 f(x)的最 =- 1 , f ( - 1) =- 1 ,且 ? ∵f(2)=-1,∴a 2- ? +8=-1,解之,得 a=-4.

2?

12 大值是 8 ,试确定此二次函数. ? ∴f(x)=-4 x- ? +8=-4x2+4x+7.
?

?

?

2?

方法三 依题意知,f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1,
故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.
即 f(x)=ax2-ax-2a-1.
4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a
解之,得 a=-4 或 a=0(舍去).
∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求二次函数的解析式
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2) =-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最 大值是 8,试确定此二次函数.

二次函数有三种形式的解析式, 要根据具体情况选用:如和对称 性、最值有关,可选用顶点式; 和二次函数的零点有关,可选用 零点式;一般式可作为二次函数 的最终结果.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根平方和等于 17. 求 f(x)的解析式. 解 依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15 (a<0),

即 f(x)=ax2-2ax+a+15.
令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ a . ? 15? 30 2 2 2 ? ? x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=4-2 1+ a =2- =17, a ? ?

∴a=-2,∴f(x)=-2x2+4x+13.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的图像与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】已知函数 f(x)=x2+2ax+ 3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的图像与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】已知函数 f(x)=x2+2ax+ 3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

对于 (1) 和 (2) 可根据对称轴与区间 的关系直接求解,对于(3),应先将 函数化为分段函数,再求单调区 间,注意函数定义域的限制作用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的图像与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】已知函数 f(x)=x2+2ax+

3 ,x(1) ∈当 [- . 解 a4,6] =- 2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[ -4,6] , (1) a[ =- 2上单调递减,在 时, 求 f(x)的最值; ∴ f(当 x)在 -4,2] [2,6] 上单调递增, (2) a 的取值范围,使 y4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. ∴ f(求实数 x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-
(2) f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[ -4,6] 上 =由于函数 f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 是单调函数,应有- a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 函数;
2 (3) 当 a = 1 时, f ( x ) = x 2 x|) + 3, (3)当 a=1 时,求 + f(| x 的单调

∴ f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[ -6,6] , 区间.

2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6] f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0]



∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[ -6,0] .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的图像与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】已知函数 f(x)=x2+2ax+ 3,x∈[-4,6]. (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

(1) 二次函数在闭区间上的最值 轴动区间定、轴定区间动,不论 哪种类型,解决的关键是考查对 称轴与区间的关系,当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系 进行分类讨论; (2) 二次函数的 单调性问题则主要依据二次函 数图像的对称轴进行分析讨论 求解.

(1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 主要有三种类型:轴定区间定、

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 2

若函数 f(x)=2x2+mx-1 在区间[-1,+∞)

(-∞,-3] . 上递增,则 f(-1)的取值范围是____________ 解 析
m ∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- , 4 m ∴- ≤-1,∴m≥4. 4
又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3].

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】

若二次函数 f(x)=ax2+

bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x) =2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2) 若在区间 [ - 1,1] 上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】

若二次函数 f(x)=ax +

2

对于(1),由 f(0)=1 可得 c,利用

bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x) f(x+1)-f(x)=2x 恒成立,可求出 =2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2) 若在区间 [ - 1,1] 上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
a,b,进而确定 f(x)的解析式.对 于(2),可利用函数思想求得.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】

2 解 (1)由 f(0)=1,得 c=1.∴f( x ) = ax +bx+1. 2

bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x)
? ?2a=2, = 2 x ,且 f (0) = 1. 即 2ax+a+b=2x,∴? ? ?a+b=0,

又 f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
? ?a=1, ∴? ? ?b=-1.

若二次函数 f(x)=ax +

因此,f(x)=x2-x+1.

(1)求 f(x)的解析式;

(2) 若在区间 [ - 1,1] 上,不等式

(2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不 等式在[ -1,1] 上恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[ -1,1] 上的

f(最小值大于 x)>2x+m 0 恒成立,求实数 m 即可. 的取值范围. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[ -1,1] 上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1.

因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

二次函数、二次方程与二次不等

【例 3】

若二次函数 f(x)=ax2+

式统称“三个二次” ,它们常结 合在一起,而二次函数又是“三 个二次”的核心,通过二次函数 的图像贯穿为一体.因此,有关 二次函数的问题,数形结合,密 切联系图像是探求解题思路的 有效方法.用函数思想研究方 程、不等式(尤其是恒成立)问题 是高考命题的热点.

bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x) =2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2) 若在区间 [ - 1,1] 上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知函数 f ( x ) = x 2 + mx + n 的图像过点 (1,3) ,且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, 函数 y=g(x)与 y=f(x) 的图像关于原点对称. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值 范围.
解 (1)∵f(x)=x2+mx+n, ∴f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n=x2-2x+1+mx+n-m
=x2+(m-2)x+n-m+1, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n =x2+2x+1-mx-m+n=x2+(2-m)x+n-m+1. 又 f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即 m=2. 又 f(x)的图像过点(1,3),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知函数 f ( x ) = x 2 + mx + n 的图像过点 (1,3) ,且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, 函数 y=g(x)与 y=f(x) 的图像关于原点对称. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值 范围.
∴3=12+m+n,即 m+n=2, ∴n=0,∴f(x)=x2+2x,

又 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于原点对称, ∴-g(x)=(-x)2+2×(-x),∴g(x)=-x2+2x. (2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x2+(2-2λ)x, 2-2λ 1-λ 当 λ+1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= = , 2?1+λ? λ+1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知函数 f ( x ) = x 2 + mx + n 的图像过点 (1,3) ,且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, 函数 y=g(x)与 y=f(x) 的图像关于原点对称. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值 范围.
又∵F(x)在(-1,1]上是增函数.

?1+λ<0 ?1+λ>0 ? ? ∴?1-λ 或?1-λ . ?1+λ≤-1 ?1+λ≥1 ? ? ∴λ<-1 或-1<λ≤0. 当 λ+1=0, 即 λ=-1 时, F(x)=4x 显然在(-1,1]上是增函数.
综上所述,λ 的取值范围为(-∞,0].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 幂函数的图像和性质
m 2 ? 2m ? 3

【例 4】 已知幂函数 f(x)=x

思维启迪

解析

探究提高

(m∈N*)的图像关于 y 轴对称, 且 在(0,+∞)上是减函数,求满足 (a+1)
?m 3

<(3-2a)

?m 3

的 a 的取

值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 幂函数的图像和性质
m 2 ? 2m ? 3

【例 4】 已知幂函数 f(x)=x

思维启迪

解析

探究提高

(m∈N*)的图像关于 y 轴对称, 且 由幂函数的性质可得到幂指数 m2 在(0,+∞)上是减函数,求满足 -2m-3<0,再结合 m 是整数,及 m ?m ? (a+1) 3 <(3-2a) 3 的 a 的取 幂函数是偶函数可得 m 的值. 值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 幂函数的图像和性质
m 2 ? 2m ? 3

【例 4】 已知幂函数 f(x)=x

思维启迪

解析

探究提高

* 函数在(0,+∞)上递减, (m解 ∈N∵ )的图像关于 y 轴对称, 且
2 ∴ m -2m) - 3<0,解得-1<m<3. 在(0,+∞ 上是减函数,求满足
m* ?N ?m ∵m∈ ,∴m=1,2. 3 3

(a+1)

值范围. 2

又函数的图像关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 是偶数, 而 2 -2×2-3=-3 为奇数,12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1.而 f(x)=x-3 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
1 1 - <(3-2a) 3

<(3-2a)

的 a 的取

1 - ∴(a+1) 3

等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a

+1<0<3-2a.

2 3 解得 a<-1 或3<a<2.
? ? 2 3? ? ? 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2? . ? ? ?

故a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 幂函数的图像和性质
m 2 ? 2m ? 3

【例 4】 已知幂函数 f(x)=x

思维启迪

解析

探究提高

(m∈N*)的图像关于 y 轴对称, 且 在(0,+∞)上是减函数,求满足 (a+1)
?m 3

(1)幂函数解析式一定要设为 y= xα (α 为常数的形式);(2)可以借 助幂函数的图像理解函数的对 称性、单调性.

<(3-2a)

?m 3

的 a 的取

值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 4 知幂函数 f(x)=x
(m2 ? m)?1

(m∈N*)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单 调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.
解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N*,
(m2 ? m)?1

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数.
∴函数 f(x)=x 上为增函数.
(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2),

(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域

∴ 2=2
基础知识

(m2 ? m)?1

,即 2 =2

1 2

(m2 ? m)?1

.
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 4 知幂函数 f(x)=x
(m2 ? m)?1

(m∈N*)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单 调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.
∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.

又∵m∈N*,∴m=1.
?2-a≥0, ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ?2-a>a-1. ? 3 解得 1≤a<2.
3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(x)≥1 的解集. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(x)≥1 的解集. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)求 a 的取值范围,是寻求关于 a 的不等式,解不等式即可;(2)求 f(x) 的最小值,由于 f(x)可化为分段函数,分段函数的最值分段求,然后综 合在一起;(3)对 a 讨论时,要找到恰当的分类标准.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(x)≥1 的解集. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒



(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1, 所以-a>0, 即 a<0, 由 a2≥1 知 a≤-1,
3分

因此,a 的取值范围为(-∞,-1] (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有 ? a?2 2a2 ? ?3?x- ? + ,x>a 2 3 f(x)=2x +(x-a)|x-a|=? ? 3? 2 2 ? ??x+a? -2a ,x≤a

① ②
5分

(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(x)≥1 的解集. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2.
2 2 (ⅱ)当 a<0 x>a,则由①知 f(x)≥ a . 3 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2, 3 3 -2a2,a≥0 ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a . , a <0 ? ? 3
基础知识 题型分类 思想方法
?a? 2 ? 2 时,f? = a ?3? 3 ,若 ? ?

7分

动画展示

10分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(x)≥1 的解集. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(3)(ⅰ)当 (ⅱ)当

? a∈? ?-∞,- ?

? ? 6? ? ? 2 ? ∪ ,+ ∞ ? 2 ?时,解集为(a,+∞); 2? ? ? ?

? a∈? ?- ?

?a+ 3-2a2 ? 2 2? ? ? ? ; , ?时,解集为? ,+ ∞ ? 2 2? 3 ? ?

? (ⅲ)当 a∈? ?- ?

2? ? 2 ? ? 6 2? a - 3 - 2 a a + 3 - 2 a ? ? ? ? ? 14分 ∪? ,- ?时,解集为?a, ,+ ∞ ? ?. 2 2? 3 3 ? ? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
思想与方法 2.分类讨论思想在二次函数中的应用
典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 h(分 x)≥ 1 的解集. 规 范 解 答 易 错 析 温 馨 提 醒
分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论 的思想方法. 在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时,讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围,易出错;二是求 函数最值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最后的结论. 除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成失分: 1.含绝对值的问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较大小; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系,思路受阻.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1 .二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般 规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数 的图像数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置; ③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次 函数的图像、性质求解. 2.与二次函数有关的不等式恒成立问题 ? ?a>0 2 (1)ax +bx+c>0, a≠0 恒成立的充要条件是? 2 . ? b - 4 ac <0 ? ? ?a<0 2 (2)ax +bx+c<0, a≠0 恒成立的充要条件是? 2 . ? b - 4 ac <0 ?

方 法 与 技 巧

3.幂函数 y=xα(α∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以 幂的底 x 为自变量,指数 α 为常数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就

失 误 与 防 范

必须满足 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就 要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会 出现在第四象限, 至于是否出现在第二、 三象限内, 要看函数的奇偶性; 幂函数的图像最多只能同时出 现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交, 则交点一定是原点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 浙江)设函数 实数 α 等于 A.-4 或-2 C.-2 或 4

? ?-x, f(x)=? 2 ? ?x ,

x≤0, 若 f(α)=4,则 x>0, ( )

B.-4 或 2 D.-2 或 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 浙江)设函数 实数 α 等于 A.-4 或-2 C.-2 或 4

? ?-x, f(x)=? 2 ? ?x ,

x≤0, 若 f(α)=4,则 x>0, ( B )

B.-4 或 2 D.-2 或 2

解 析
当 α≤0 时,f(α)=-α=4,得 α=-4;

当 α>0 时,f(α)=α2=4,得 α=2.∴α=-4 或 α=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2. 已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1, b], 则 b 等于 A.3 B. 2 或 3 C.2 D.1 或 2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2. 已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1, b], 则 b 等于 A.3 B. 2 或 3 C.2 D.1 或 2 ( C )

解 析
函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b] 上递增,

?f?1?=1, ? 由已知条件?f?b?=b, ?b>1, ? 解得 b=2.
基础知识 题型分类

2 ? ?b -3b+2=0, 即? ? ?b>1.

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是( D )

解 析
由 A,C,D 知,f(0)=c<0.

b ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=-2a>0,

知 A,C 错误,D 符合要求.

b 由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=- <0,B 错误. 2a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.[0,2] ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.[0,2] ( D )

解 析
二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1] 上单调递减,则 a≠0, f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1] ,

所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1.

所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值 为-1,则它的解析式为_______________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值 1 2 y = ( x - 2) -1 . 为-1,则它的解析式为_______________ 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减 函数,则实数 a 的取值范围为____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减

(-∞,-2] . 函数,则实数 a 的取值范围为____________ 解 析
f(x)的图像的对称轴为 x=1-a 且开口向上,
∴1-a≥3,即 a≤-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.当

? ? 1 ? ? ? α∈?-1,2,1,3? 时,幂函数 ? ? ?

y=xα 的图像不可能

经过第________象限.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.当

? ? 1 ? ? -1, ,1,3?时,幂函数 α∈? 2 ? ? ? ?

y=xα 的图像不可能

经过第________ 二、四 象限.

解 析
当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图像经过第一、三象限;
1 当 α= 时,y=xα 的图像经过第一象限. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的 解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+6a=0 有两相等实根,求 f(x) 的解析式.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的 解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+6a=0 有两相等实根,求 f(x) 的解析式.
解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3) (a<0),

则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x,

解 析

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a, Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,即(5a+1)(a-1)=0,
1 解得 a=-5或 a=1(舍去). 1 因此 f(x)的解析式为 f(x)=-5(x-1)(x-3).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域 为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在, 说明理由.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域 为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在, 说明理由.
解 f(x)=(x-a)2+a-a2.

解 当 a<-1 时,f(x)在[ -1,1] 上为增函数, 析
? ?f?-1?=1+3a=-2, ∴? ? ?f?1?=1-a=2

?a=-1(舍去); ?a=-1;

当-1≤a≤0

2 ? ?f?a?=a-a =-2, 时,? ? ?f?1?=1-a=2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域 为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在, 说明理由.
2 ? ?f?a?=a-a =-2, 时,? ? ?f?-1?=1+3a=2

解 析

当 0<a≤1

?a 不存在;

当 a>1 时,f(x)在[ -1,1] 上为减函数, ? ?f?-1?=1+3a=2, ∴? ?a 不存在. ? f ? 1 ? = 1 - a =- 2 ?

综上可得 a=-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知幂函数 f(x)=x 等于 A.16 C.2

α

? 的图像经过点? ?2, ?

2? ? ,则 f(4)的值 2? ? ( )

1 B. 16 1 D. 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知幂函数 f(x)=x 等于 A.16 C.2

α

? 的图像经过点? ?2, ?

2? ? ,则 f(4)的值 2? ? ( D )

1 B. 16 1 D. 2

解 析
? 将点? ?2, ?

2 1 2? ? α 代入得: 2 = ,所以 α =- , 2 2 2? ?

1 故 f(4)=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 2.已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任

一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的 取值范围是 A.(0,2) C.(2,8) B.(0,8) D.(-∞,0) ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 2.已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任

一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的 取值范围是 A.(0,2) C.(2,8) B.(0,8) D.(-∞,0) ( B )

当 m≤0 时,显然不合题意;当 m>0 时,f(0)=1>0, 4-m 解 ①若对称轴 2m ≥0,即 0<m≤4,结论显然成立; 析 ②若对称轴4-m<0,即 m>4,只要 Δ=4(4-m)2-8m= 2m
4(m-8)(m-2)<0 即可,即 4<m<8,

综上,0<m<8,选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是 A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是 A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2 ( A )

解 析
由函数图像知, (2,3)在对称轴 x=a 的左侧或右侧, ∴a≥3 或 a≤2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知二次函数

? 3 ? y=f(x)的顶点坐标为?-2,49?,且方程 ? ?

f(x)=0 的两个实根之差等于 7,则此二次函数的解析式 是____________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知二次函数

? 3 ? y=f(x)的顶点坐标为?-2,49?,且方程 ? ?

f(x)=0 的两个实根之差等于 7,则此二次函数的解析式
2 f ( x ) =- 4 x -12x+40 . 是____________________

解 析
设二次函数的解析式为
? 3? 2 f(x)=a?x+2? +49 ? ?

(a<0),方程

32 a(x+2) +49=0 的两个根分别为 x1,x2, 49 则|x1-x2|=2 - =7, a

∴a=-4,故 f(x)=-4x2-12x+40.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范 围是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范
1 0< a ≤ 围是________ 4 .

令 f(x)=x2-11x+30+a,结合图像有

解 析

? ?Δ≥0?图像与x轴有交点?, ?f?5?>0?图像与x轴交点在x=5的右侧?, ? 11 ? ? 无需考虑对称轴,因为对称轴方程 x = >5?. ? 2 ?

1 ∴0<a≤4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知函数 f(x)=x ,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 ? f?x1?+f?x2? ? ?x1+x2? 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1f(x2);④若 0<x1<x2,则 <f? ?. 2 2 ? ? 则所有正确命题的序号是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知函数 f(x)=x ,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 ? f?x1?+f?x2? ? ?x1+x2? 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1f(x2);④若 0<x1<x2,则 <f? ?. 2 2 ? ? ①④ . 则所有正确命题的序号是________
对于①,f(x)=x 是增函数,f(1)=1,当 x>1 时,f(x)>1,①正确;
1 2

解 析

f?x2?-f?x1? 对于②, >1,可举例(1,1),(4,2),故②错; x2-x1

f?x1?-0 f?x2?-0 对于③, < ,说明图像上两点 x1,x2 到原点连线的斜 x1-0 x2-0 率越来越大,由图像可知,③错;
? f?x1?+f?x2? ? ?x1+x2? 对于④, <f? ?,根据图像可判断出④正确. 2 ? 2 ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大 值 2,求 a 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大 值 2,求 a 的值.
解 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,
当 a≥1 时,ymax=f(1)=a;

解 析

当 0<a<1 时,ymax=f(a)=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=f(0)=1-a.
? ?a≥1, 根据已知条件:? ? ?a=2 ? ?0<a<1, 或? 2 ? ?a -a+1=2 ? ?a≤0 或? ? ?1-a=2,

解得 a=2 或 a=-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


赞助商链接

高考大一轮总复习2.4二次函数与幂函数

高考大一轮总复习2.4二次函数与幂函数 - § 2.4 二次函数与幂函数 考纲展示? 1.了解幂函数的概念. 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x x 1 2...

文科一轮学案2.4二次函数与幂函数

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...文科一轮学案2.4二次函数与幂函数_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与...

幂函数与二次函数

幂函数与二次函数 - 幂函数与二次函数 2? ?1 α 1.(2013·南通二调)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像过点? , ?,则 k+α=___. ?2 2 ? ...

第七讲 二次函数与幂函数(完美讲义)

搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2.4一次、二次函数与幂函... 9页 1下载券 第七讲 幂函数与二次函... 暂...

...一轮复习备考讲义(人教A版)2.4 幂函数与二次函数Wor...

2019届高考数学一轮复习备考讲义(人教A版)2.4 幂函数与二次函数Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2019届高考数学一轮复习备考讲义(江苏专版)人教A...

幂函数、二次函数讲义

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...幂函数二次函数讲义_高三数学_数学_高中教育_教育专区。幂函数与二次函数 ...

二次函数与幂函数专题复习

二次函数与幂函数专题复习_数学_高中教育_教育专区。学校: 学员姓名: 年级: 辅导科目:数学 教学课题:二次函数与幂函数 学科教师: 教学目标 教学内容 专题复习二...

...二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数教...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数教师用书文_数学_高中教育_教育专区。2.4 二次函数与幂函数 1.二次函数 (1...

二次函数与幂函数知识梳理

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...二次函数与幂函数知识梳理_数学_高中教育_教育专区。二次函数与幂函数 【考纲要求...

二次函数、幂函数、指数函数专题复习

二次函数幂函数、指数函数专题复习_数学_高中教育_教育专区。第二讲一、知识梳理 1. 幂函数 二次函数幂函数、指数函数 (1)幂函数定义:一般地,形如 y ?...