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2015-2016学年人教A版必修四 平面向量 章末综合检测


(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的) → → → → 1.AB+AC-BC+BA化简后等于( ) → → A.3AB B.AB → → C.BA D.CA → → → → → → → → → → 解析:选 B.原式=(AB+BA)+(AC-BC)=(AB-AB)+(AC+CB)=0+AB=AB,故选 B. 2.已知 i=(1,0),j=(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是( ) A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j 解析:选 C.2i+3j=(2,3),C 中-3i+2j=(-3,2).因为 2× (-3)+3× 2=0,所以 2i +3j 与-3i+2j 垂直. 3.下列说法正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为 1 B.若 a· b=a· c,且 a≠0,则 b=c → → → C.AB=OA-OB D.若 b⊥c,则(a+c)· b=a· b 解 析:选 D.A 中,两向量的夹角不确定,故 A 错;B 中,若 a⊥b,a⊥c,b 与 c 反方 → → → 向,则不成立,故 B 错;C 中,应为AB=OB-OA,故 C 错;D 中,因为 b⊥c,所以 b· c= 0,所以(a+c)· b=a· b+c· b=a· b,故 D 正确. 4.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:选 D.因为 a=(1,1),b=(2,x),所以 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), 由于 a+b 与 4b-2a 平行,得 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 x=2. 5.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 解析:选 B.因为|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a· b=0,所以 a⊥b,选 B. 6.已知向量 a=(3,4),b=(-3,1),a 与 b 的夹角为 θ,则 tan θ 等于( ) 1 1 A. B.- 3 3 C.3 D.-3 解析:选 D.由题意,得 a· b=3× (-3)+4× 1=-5,|a|=5 ,|b|= 10, -5 1 a· b 则 cos θ= = =- . |a||b| 5 10 10 3 ∵θ∈[0,π],∴sin θ= 1-cos2θ= , 10 sin θ ∴tan θ= =-3. cos θ → → 7.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶 点 D 的坐标为( )
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7 1 A.(2, ) B.(2,- ) 2 2 C.(3,2) D.(1,3) 解析:选 A.设 D(x,y), → → → → 则BC=(4,3),AD=(x,y-2).又BC=2AD, x=2, ? ? ? ?4=2x, 故? 解得? 7 ?3=2(y-2), ? ?y=2. ? 8.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90° 时,合力的大小为 20 N,则当 它们的夹角为 120° 时,合力的大小为( ) A.40 N B.10 2 N C.20 2 N D. 10 N 解析:选 B.对于两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90° ,合力的大小为 20 N 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是 10 2 N;当它们的夹角为 120° 时,由 三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为 10 2 N. → → → → → 9.A,B,C,D 为平面上四个互异点,且满足(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 → → → → → 解析:选 B.∵(DB+DC-2DA )· (AB-AC) → → → → → → =(DB-DA+DC-DA)· (AB-AC) → → → → → → =(AB+AC)· (AB-AC)=AB2-AC2=0, → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 为等腰三角形. 10.在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A,B,C 三点在同一直线上的等价条 → → → → → 件为存在唯一的实数 λ,使得OC=λOA+(1-λ)OB成立,此时称实数 λ 为“向量OC关于OA和 → → OB的终点共线分解系数”.若已知 P1(3,1),P2(-1,3),且向量OP3与向量 a=(1,1)垂直, → → → 则“向量OP3关于OP1 和OP2的终点共线分解系数”为( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 → → 解析:选 D.设OP3=(x,y),则由OP3⊥a 知 x+y=0, → 于是OP3=(x,-x), → → → 设OP3=λOP1+(1-λ)OP2, (x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3),∴λ=-1. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) → 11.已知点 A(-1,-5),a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为________. 解析:设 B(x,y),(x+1,y+5)=3(2,3), ?x+1=6, ?x=5, ? ? ? 解得? ?y+5=9, ?y=4. ? ? 答案:(5,4) 12.设 e1,e2 是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以 a,b 为基底表示 向 量 e1+2e2,即 e1+2e2=λa+μb,则 λ+μ=________. 解析:由 a=3e1+4e2,b=e1-2e2, 1 2 1 3 得 e1= a+ b,e2= a- b, 5 5 10 10

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2 1 2 1 1 ∴e1+2e2= a- b,即 λ+μ= - = . 5 5 5 5 5 1 答案: 5 13.向量 a=(1,2),b=(-1,m),向量 a,b 在直线 y=x+1 上的投影相等,则向量 b =________. a· c b· c 解析:直线 y=x+1 的方向向量为 c=(1,1),则可知 = ,则 a· c=b· c,所以 1+2 |c| |c| =-1+m,解得 m=4,所以 b=(-1,4). 答案:(-1,4) → 14. 如图所示,在正方形 ABCD 中,已知|AB|=2,若 N 为正方形内(含边界)任意一点, → → 则AB· AN的最大值是________.

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→ → → → → → → → 解析: ∵AB· AN=|AB|· |AN|· cos∠BAN, |AN|· cos∠BAN 表示AN在AB方向上的投影. 又|AB → → |=2,∴AB· AN的最大值是 4. 答案:4 15.设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a· b=0,以 a,b,a-b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为________. 解析:由题意可知该三角 形为 直角三角形,其内切圆半径恰好为 1,它与半径为 1 的圆 最多有 4 个交点.

答案:4 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求|a+b|; (2)求向量 a 在向量 a+b 方向上的投影. 解:(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. ∵|a|=4,|b|=3,∴a· b=-6. 2 2 ∴|a+b|= |a| +|b| +2a· b= 42+32+2× (-6)= 13. (2)∵a· (a+b)=|a|2+a· b=42-6=10. a· (a+b) 10 10 13 ∴向量 a 在向量 a+b 方向上的投影为 = = . 13 |a+b| 13 17.已知向量 a 与 b 的夹角为 θ,|a|=2,|b|= 3. (1)当 a∥b 时,求(a-b)· (a+2b)的值; 5π (2)当 θ= 时,求|2a-b|+(a+b)· (a-b)的值; 6 (3)定义 a?b=|a|2- 3a· b,若 a?b≥7,求 θ 的取值范围. 解:(1)∵a∥b,∴cos θ=± 1. ∴(a-b)· (a+2b)=|a|2+a· b-2|b|2
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=-2+2 3cos θ=-2± 2 3. (2)∵|2a-b|2=4|a|2-4a· b+|b|2=16-4× 2× 3× cos 5π +3=31,∴|2a-b |= 31, 6 又(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=1, ∴|2a-b|+(a+b)· (a-b)= 31+1. 2 (3)∵a?b=|a| - 3a· b=4- 3× 2× 3cos θ≥7, 1 ∴cos θ≤- , 2 2π 又 θ∈[0,π],∴θ∈[ ,π]. 3 18.在△OAB 的边 OA,OB 上分别有一点 P,Q,已知 OP∶PA=1∶2,OQ∶QB=3∶ → → 2,连接 AQ,BP,设它们交于点 R,若OA=a,OB=b. → (1)用 a 与 b 表示OR; → (2)若|a|=1,|b|=2,a 与 b 夹角为 60° ,过 R 作 RH⊥AB 交 AB 于点 H,用 a,b 表示OH. → 1→ 1 → 3 解:(1)OP= OA= a,OQ= b, 3 3 5 → → 由 A,R,Q 三点共线,可设AR=mAQ. → → → → → → 故OR=OA+AR=a+mAQ=a+m(OQ-OA) 3 3 =a+m( b-a)=(1-m)a+ mb. 5 5 → → 同理,由 B,R,P 三点共线,可设BR=nBP. → → → → → n 故OR=OB+BR=b+n(OP-OB)= a+(1-n)b. 3 n 5 1-m= , m= , 3 6 由于 a 与 b 不共线,则有 解得 3 1 m=1-n, n= . 5 2 1 1 → ∴OR= a+ b. 6 2 → → (2)由 A,H,B 三点共线,可设BH=λBA, → 则OH=λa+(1-λ)b, 1 1 → → → RH=OH-OR=(λ- )a+( -λ)b. 6 2 → → → → 又RH⊥AB,∴RH· AB=0. 1 1 ∴[(λ- )a+( -λ)b]· (b-a)=0. 6 2 又∵a· b=|a||b|cos 60° = 1, 1 1 → 1 ∴λ= ,∴OH= a+ b. 2 2 2 19.已知 a=(2+sin x ,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R). π π (1 )若 x∈[- , ],且 a∥(b+c),求 x 的值; 2 2 (2)若函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最小值; (3)是否存在实数 k 和 x,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在, 请说明理由. 解:(1)∵b+c=(sin x-1,-1),又 a∥(b+c), 1 ∴-(2+sin x)=sin x-1,即 sin x=- . 2

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π π π 又 x∈[- , ],∴x=- . 2 2 6 (2)∵a=(2+sin x,1),b=(2,-2), ∴f(x)=a· b=2(2+sin x)-2=2sin x+2. 又 x∈R, ∴当 sin x=-1 时,f(x)有最小值,且最小值为 0. (3)a+d=(3+sin x,1+k),b+c=(sin x-1,-1), 若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)· (b+c)=0, 即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0, ∴k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5. 由 sin x∈[-1,1],得 sin x+1∈[0,2], ∴(sin x+1)2∈[0,4], 故 k∈[-5,-1]. ∴存在 k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c). 2 0.在平面直角坐标系中,A(1,1)、B(2,3)、C(s,t)、P(x,y),△ABC 是等腰直角三 角形,B 为直角顶点. (1)求点 C(s,t); → → → (2)设点 C(s,t)是第一象限的点,若AP=AB-mAC,m∈R,则 m 为何值时,点 P 在第 二象限? → → → → 解:(1)由已知得AB⊥BC,∴AB· BC=0. → ∵AB=(2,3)-(1,1)=(1,2), → BC=(s,t)-(2,3)=(s-2,t-3), ∴(1,2)· (s-2,t-3)=0,即 s+2t-8=0.① → → 又|AB|=|BC|,即 5= (s-2)2+(t-3)2, 即 s2+t2-4s-6t+8=0.② 将①代入②消去 s,得 t2-6t+8=0.解得 t=2 或 4, 相应的 s=4 或 0,所以点 C 为(0,4)或(4,2). → (2)由题意取 C(4,2),∴AP=(x-1,y-1), → → AB-mAC=(1,2)-m(3,1)=(1-3m,2-m). → → → ∵AP=AB-mAC, ? ?x-1=1-3m, ∴? ?y-1=2-m, ? ?x=2-3m, ? ∴? ? ?y=3-m. ?2-3m<0, ? 2 若点 P 在第二象限,则? 解得 <m<3. 3 ?3-m>0. ? 2 ∴当 <m<3 时,点 P 在第二象限. 3
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