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高中数学必修5精品课件3.3.4基本不等式1


§3.4基本不等式(1)

赵爽:弦图

ICM2002会标

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

B

B

不等式1: 一般地,对于任意实数a、b

a ? b ? 2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立。

基本不等式:

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

当且仅当a=b时,等号成立。
注意: (1)两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同 (2)

ab
a?b 2

称为正数a、b的几何平均数 称为它们的算术平均数。

(3)两个正数的算术平均值不小于几何平均值。

3.基本不等式的几何解释:

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
D

A

a

C

b

B

半弦CD不大于半径

E

应用一:求函数最值问题

例1.求下列函数的最小值,并求出相应的x的值。 1 1 (1) y ? x ? ( x ? 0) 变式:y ? x ? ( x ? 0) x x 2 (2) y ? 2 x ? ( x ? 0) x 1 1 ( x ? 2) (3) y ? x ? ( x ? 2) 变式:y ? x ? x?2 x?2 4 (4) y ? 2 ? 3x ? ( x ? 1) x ?1

a?b ab ? 2

a?b 2 ab ? ( ) 2

小结:利用基本不等式求最值时要注意三点:
(1)一正:各项均为正数。 (2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。 两个正数和为定值,积有最大值。 (3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是 否能取到 “=”,否则会出现错误。

“一正二定三相等”

1、在下列函数中,最小值为2的是( C ) 1 x 5 A、 B、 y ? lg x ? (1 ? x ? 10) y ? ? ( x ? R, x ? 0) lg x 5 x
x ?x y ? 3 ? 3 ( x ? R) C、

y ? sin x ? D、

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

2、若实数 x, y ,且 x ? y ? 5 ,则 3 x ? 3 y 的最小值是(D) A、10 B、 6 3 C、 4 6 D、 18 3

4.已知

2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0)

则x y 的最大值是

1 6



a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , 1 a?b Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则( B ) 2 2 A、R ? P ? Q B、P ? Q ? R C、R ? P ? Q D、P ? Q ? R
5.若

3.设a>0,b>0,给出下列不等式

1 1 1 2 ?2 (3)( a ? b)( ? ) ? 4 (4)a ? 1 ? 2 a ?1 a b
其中恒成立的
(1)(2)(3)

1 (1) a ? ? 2 a

1 1 (2)( a ? )( b ? ) ? 4 a b



课堂小结
(1)两个不等式的结构特征及适用条件;

(2)利用基本不等式求最值问题时要注意 “一正二定三相等”三个条件,缺一不可。


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