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湖北省襄阳市四校2014-2015学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案


曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中

2014—2015 学年下学期高一期中考试

数学试题
分值:150 分 命题牵头学校:宜城一中 宜城一中

时间:120 分钟 命题教师: 学 校:曾都一中

枣阳一中

襄州一中

★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答卷前,请考生认真阅读答题卡上的注意事项。网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、 考号填写在答题卡密封线内,将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务必将自 己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3. 非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试 题卷、草稿纸上无效。 第I卷 一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1. sin

7? 的值为( 12



A.

6? 2 4

B. ?

6? 2 4

C. )

6? 2 4

D. ?

6? 2 4

2.已知 sin ? ?

4 3 , cos ? ? ? ,则 2? 是( 5 5
B.第二象限角
2 2

A.第一象限角

C.第三象限角
2

D.第四象限角 )
?

3.在 ?ABC 中,三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? bc ,则角 A 等于( A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D.150

4.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 3 个伙伴;第 2 天,4 只蜜蜂飞出去, 各自找回了 3 个伙伴......如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中蜜蜂的总只数为( A. 243 B. 729 ) C. 1024 D. 4096 )

5.等差数列 {an } 中, 那么方程 x 2 ? (a4 ? a6 ) x ? 10 ? 0 的根的情况 ( a2 ? a5 ? a8 ? 9 , A.没有实根 B.两个相等实根 ) B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 C.两个不等实根 D.无法判断

6.在 ?ABC 中,若 ln a ? ln cos B ? ln b ? ln cos A ,其中角 A , B 的对边分别为 a , b ,则

?ABC

的形状为(

A.等腰三角形

-1-

7.函数 f ( x) ? 3 cos 4x ? sin 4x( x ? R) 的递减区间为(



5? 1 ? 1 ? k? , ? k? ]( k ? Z ) 24 2 24 2 ? 1 ? 1 ? k? ]( k ? Z ) C. [? ? k? , 6 2 12 2
A. [? 8.已知数列 {an } 满足 a1 ? ?1 , a n ? 1 ? A. 2 B. 1

1 7? 1 k? , ? k? ]( k ? Z ) 24 2 24 2 ? 1 ? 1 D. [ ? k? , ? k? ]( k ? Z ) 12 2 3 2
B. [

?

?

1 a n ?1

(n ? 1) ,则 a2015 ? (
C.



1 D. ?1 2 9.一艘向正东航行的船,看见正北方向有两个相距 10 海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继
续航行半小时后,看见一灯塔在船的北偏西 30 ,另一灯塔在船的北偏西 15 ,则这艘船的 速度是每小时( A. 5 海里 ) B. 5 3 海里 C. 10 海里 D.10 3 海里
? ?

10.首项为正数的等差数列 {an } 满足 5a6 ? 3a3 ,则前 n 项和 S n 中最大项为( ) A. S 9 B. S10 C. S11 D. S12

第 II 卷 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上.)
? ? 11.在 ?ABC 中, a ? 3 , A ? 30 , B ? 60 ,则 ?ABC 的面积 S ?

▲ .

12.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 6 , S 3 ? 18 ,则公比 q ?

▲ .

13.化简

1 3 ? ? ? cos 20 sin 20?
▲ .
?

▲ .

14.在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 a ,b ,c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则 cos B ?

15.函数 f ( x) ? sin(x ? 10 ) ? cos(x ? 20 ) 的最大值为 ▲ .
?

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 设公差不等于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 5 ? 30 , a1 , a 2 , a 4 成等比数列 (1)求数列 {an } 的通项公式;

-2-

(2)求

1 1 1 ? ? ... ? 的值. a1 a 2 a 2 a3 a 20 a 21

17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 (1)求角 C 的大小; (2)如果 a ? b ? 6 , CA ? CB ? 4 ,求边长 c 的值.

a c ? sin A 3 cosC

18.(本小题满分 12 分) 已知 sin(? ?

?
4

)?

? 3? 5 3? 10 ) ,求 cos(? ? ? ) 的值. )?? , cos(? ? ,? , ? ? ( , 4 4 5 4 10

19.(本小题满分 12 分)

马航 MH 370 牵动全球人的心,世界各国积极投身到马航的搜救工作 中,了解海底构造是救援工作要做的第一件事.某搜救队在某海域的海平面上的同一条直线 上的 A , B , C 三点进行测量,得 AB ? 50 , BC ? 120 ,于 A , B , C 三处测得水深分 别为 AD ? 80 , BE ? 200 , CF ? 110 ,如图所示,试利用你所学知识求 ?DEF 的余弦 值.
-3-

-4-

20.(本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin x, sin x) , b ? (cosx, sin x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ( x ? R ) (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及 x ? [0,

?
2

] 上的最值;

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在区间 [0,

?
2

] 上只有一个实根,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ① f (1) ?

n2 ? n ,数列 {bn } 的通项为 bn ? f (n) ,且 f (n) 满足: 2

1 ;②对任意正整数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) f (n) 成立. 2

(1)求 a n 与 b n ; (2)设数列 {an bn } 的前 n 项和为 T n ,求证:

1 ? Tn ? 2 ( n ? N ? ) ; 2

(3)数列 {bn } 中是否存在三项,使得这三项按原有的顺序构成等差数列,若存在,求出这 三项,若不存在,说明理由.

-5-

2014—2015 学年下学期高一期中考试 数学参考答案及评分细则
一、选择题: ACCDA 二、填空题: DBACB

11、

12、 或

13、

14、

15、

三、解答题(若有不同解法,可以根据解答情况给出相应分数) 16、 (1)设数列 的首项为 ,公差为 ,则 ,根据条件有

.................................................2 分 解得 所以 (其中 舍去).................................4 分 .................................6 分

(2)

.....................8 分

.....10 分

.........................12 分

17、 (1)由



.......................2 分



,又

,所以

.......................5 分

(2)由 所以 .....................12 分
-6-



.......7 分

.....................9 分

18、由



,故

.............3 分





,故

...........6 分

所以

.............8 分

.......................12 分 19、分别由 与 作 的垂线,垂足为 与 ,令 ...........4 分 .....................6 分 ,

由已知条件可知 故

所以 所以

....................9 分

.......................12 分 20、 (1) ........................1 分 ........................2 分

...........................3 分 所以最小正周期 .........................................4 分



时,

,.........5 分

故当



时,

取得最大值

-7-





时,

取得最小值

所以函数

的最大值为

,最小值为

.........8 分

(少求一个最值扣一分,两个全错扣三分)

(2)由正弦函数的单调性知



上递增,在

上递减..............9 分



.......................................10 分

要想方程 或

在区间

上只有一个实根,结合图像可知只需满足

.......................................13 分(若有分析过程,但无图像,

不扣分, 若只画出了函数的大致图像,但没有得出答案,则扣两分)

21、 (1) 由 令 得

...........................2 分

,即



所以

是以

为首项,

为公比的等比数列,所以

......5 分

(若无推导过程直接得

,则得 1 分,后续问题不扣分

(2)

,所以

单调递增,故

......6 分



......................①

..................②....................7 分

-8-

①-②得 分

.........8

所以

,综上

...................................10 分 ,其中正整数 满足

(3)假设存在符合条件的三项



,即

,两边同乘以



,左边为偶数,右边为奇数,故不存在...............14 分

-9-


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