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必修1第一章集合与函数概念课本习题与近三年高考真题对比解析


必修一经典题型 第一章集合与函数概念 一、集合 1.【教材原题】数学必修一课本 12 页习题 1.1A 组 9 题 1.设 S ? x x是平行四边形或梯形 , A ? x x是平行四边形 , B ? x x是菱形 ,

?

?

?

?

?

?

C ? ?x x是矩形? ,求 B ? C,痧 , S A. AB
解: B ? C ? x x是正方形 , ?A B ? x x是邻边不相等的平行四边形 ,

?

?

?

?

?S A ? ? x x是梯形? .
【高考题或模拟题】 (2012· 高考大纲全国卷)已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是 正方形},D={x|x 是菱形},则( A.A?B B.C?B )

C.D?C D.A?D

解:因为平行四边形包含矩形、正方形、菱形,矩形又包含正方形.故选 B. 对比分析: 1.考查知识点:书本题和高考题共同考查知识点是集合;书本题考查集合的运算;高考 题考查集合间关系. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 高考大纲全国卷高考题是以选择题形式出现, 一般的,高考中这一知识点都是以选择题形式出现的. 3.命题的思路:书本题考查学生对交集、补集的概念的理解应用,2012· 高考大纲全国 卷高考题考查学生对集合间关系的理解. 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,集合间的关系与集合的运算是高考命题 的重点,题型多为选择题,常与函数、方程、不等式等知识结合命题,考查学生对知识的综 合运用能力. 2.【教材原题】数学必修一课本 11 页练习 4 题 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, B={1,3,5,7},求 A ? , (? ) UB (?UA)∩(?UB). 解: ?UA={1,3,6,7},?UB={2,4,6},∴ A ? (? ) ? {2,4 }, (?UA)∩(?UB)={6}. UB 【高考题或模拟题】 (2012· 高考辽宁卷)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3, 5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} B.{7,9} )

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C.{0,1,3}

D.{2,4,6}

解: ?UA={2,4,6,9,7},?UB={0,1,3,9,7},∴(?UA)∩(?UB)={7,9}.故选 B. (2013· 高考全国课标Ⅰ 理数)已知集合 A= {x|x2-2x>0} , B= {x|- 5<x< 5} , 则 ( A.A∩B=? B. A )

B?R

C.B?A

D.A?B

解:A=(- ? ,0)∪ (2,+ ? ), ∴ A 对比分析:

B ? R ,故选 B.

1.考查知识点:书本题与 2012· 高考辽宁卷考查集合的运算;2013· 高考全国课标Ⅰ 理数 考查集合的运算即集合间的关系. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 高考辽宁卷和 2013· 高考全国课标Ⅰ 理数高考题 是以选择题形式出现. 3.命题的思路:书本题与 2012· 高考辽宁卷高考题都是对集合基本运算能力的考查, 2013· 高考全国课标Ⅰ 理数高考题考查一元二次不等式解法、 集合运算及集合间关系, 考查学 生对知识的综合应用能力. 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,集合间的关系与集合的运算是高考命题 的重点,题型多为选择题,常与函数、方程、不等式等知识结合命题,考查学生对知识的综 合运用能力. 二、函数及其表示 1.求函数定义域 1.【教材原题】数学必修一课本 17 页例 1 已知函数 f ( x) ?

x?3 ?

1 . x?2

(1)求函数的定义域; (2)求 f (?3) , f ( ) 的值; (3)当 a ? 0 时,求 f ( a ) , f (a ? 1) 的值. 分析:函数的定义域通常有问题的实际背景确定.如果给出解析式 y=f(x),而没有指明 函数的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. 解:(1)使根式 x ? 3 有意义的实数 x 的集合是 x x ? ?3 ,使分式 实数 x 的集合是 x x ? ?2 .所以,这个函数的定义域就是

2 3

?

?

1 有意义的 x?2

?

?

? x x ? ?3? I ? x x ? ?2? = ? x x ? ?3且x ? ?2? .

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(2) f (?3) ?

?3 ? 3 ?

1 ? ?1 ; ?3 ? 2

2 2 1 3 33 f( )? ?3 ? ? ? . 2 3 3 8 3 ?2 3
(3)因为 a ? 0 ,所以 f ( a ) , f (a ? 1) 有意义.

f (a) ? a ? 3 ?

1 ; a?2 1 1 ? a?2? . a ?1 ? 2 a ?1
x+1 的定义域为________. x

f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ?
【高考题或模拟题】

(2012· 广东高考)函数 y=

分析: 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题,取交集时可借助数轴,并注意端 点值的取舍. 【答案】 {x|x≥-1 且 x≠0}

? ? ?x+1≥0, ?x≥-1, 【解析】要使函数有意义,需? 解得? ?x≠0. ?x≠0. ? ?

∴ 原函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. (2013 · 高 考 大 纲 全 国 卷 ) 已 知 函 数 f ? x ?的定义域为? -1, 0 则函数f ? 2x ?1? ?,

的定义域为 ( )
A. ? ?1,1? B. ? ?1, ?

? ?

1? 2?

C. ? -1,0?

D. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

【解析】 Q f ? x ?的定义域为? -1,0?, 函数f ? 2x ?1? 有意义,则 ?1 ? 2x ?1 ? 0 ,即
1 ?1 ? x ? ? ,故选 B. 2

(2013· 大连模拟)求函数 f(x)=

x2-2x 的定义域. 9-x2

分析:根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可. 【解析】(1)要使该函数有意义,
?x2-2x>0, ?x<0或x>2, ? ? 需要? 则有:? 2 ? ? ?9-x >0, ?-3<x<3,

解得:-3<x<0 或 2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪ (2,3).

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(2013· 高考浙江卷)已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. 【答案】10 【解析】由已知得到 f (a) ? a ?1 ? 3 所以 a-1=9 所以 a=10 ,所以答案为 10. 对比分析: 1.考查知识点: 书本题考查求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域及由函数解析式求值 和复合函数的定义域; 2012 广东高考和 2013 大连模拟考查求用解析式 y=f(x)表示的函数的 定义域;2013· 高考大纲全国卷考查复合函数的定义域求法;2013· 高考浙江卷考查由函数解 析式求值. 2.考查的方式:书本题是解答题,2013 大连模拟和 2013· 高考大纲全国卷高考题是以 选择题形式出现;2012 广东高考和 2013· 高考浙江卷是填空题. 3. 命题的思路: 书本题、 2013 大连模拟、 2013· 高考大纲全国卷、 2012 广东高考和 2013· 高 考浙江卷高考题都是都是考查函数定义域的求法,考查学生解不等式组的能力. 4.进一步挖掘的价值:函数的定义域是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空 题的形式考查,考查已知函数解析式的函数的定义域问题,题目主要较为简单,但具有一定 的综合性,需要牢固掌握求定义域的基本方法. 2.分段函数及其应用 【教材原题】课本 45 页复习参考题 B 组 4 题 已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4), x ? 0 ,求 f (1), f (?3), f (a ? 1) 得值. ? x( x ? 4), x ? 0

解: f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ;

f (?3) ? (?3) ? (?3 ? 4) ? 21;
当 a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 , f (a ? 1) ? (a ? 1) ? (a ? 1 ? 4) ? a ? 6a ? 5 ,
2

当 a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 , f (a ? 1) ? (a ? 1) ? (a ? 1 ? 4) ? a 2 ? 2a ? 3 . 方法规律:应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系 代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论. 【高考题或模拟题】 1,x>0, ? ? (2012· 福建高考)设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, 则 f(g(π))的值为( A.1 ) B.0
?1,x为有理数, ? g(x)=? ?0,x为无理数, ?

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C.-1

D.π

【解析】 根据题设条件,∵ π 是无理数,∴ g(π)=0, ∴ f(g(π))=f(0)=0. 【答案】 B
x ? ?2 ,x>0, (2013· 泉州模拟)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ?x+1,x≤0, ?

(

) A.-3 B.-1 C.1 D.3

x ? ?2 x> , ? 【解析】∵ f(x)= 且 f(a)+f(1)=0, ?x+ x≤ , ?

∴ f(1)=21=2,则 f(a)=-f(1)=-2. 又当 x>0 时,f(x)=2x>0, 因此 a≤0,且 f(a)=a+1=-2. ∴ a=-3.
?2x+a,x<1, ? (2013· 南京模拟)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a ? ?-x-2a,x≥1.

的值为______. 【解析】当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- .当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 4 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 方法规律: 若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一 段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012 福建高考、2013 泉州模拟、2013 南京模拟都是考查分段 函数及其应用;书本题与 2012 福建高考考查由分段函数解析式求值;2013 泉州模拟、2013 南京模拟考查与分段函数有关的方程问题. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 福建高考、2013 泉州模拟 2013 南京模拟考题 是以选择题形式出现;2013 南京模拟是填空题. 3. 命题的思路: 书本题与 2012 福建高考考查学生对分段函数的理解和简单的应用; 2013

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泉州模拟 2013 南京模拟考题考查解分段函数有关的方程问题,考查函数与方程思想,考查 解方程的能力. 4.进一步挖掘的价值:从近近几年高考试题看,分段函数与分段函数有关的方程、不 等式是考查的重点内容, 题型以选择题、 填空题为主, 既重视三基, 又注重思想方法的考查, 估计近几年仍以分段函数及应用为重点,同时应特别关注与分段函数有关的方程的问题. 三、函数的基本性质 1.函数单调性 【教材原题】数学必修一课本 44 页复习参考题 A 组 9 已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 ?5, 20? 上具有单调性,求实数 k 的取值范围. 解: f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 的对称轴 x ? 有单调性,则

k ,要使函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 ?5, 20? 上具 8

k k ? 5 或 ? 20 ,解得 k 的取值范围 k ? 40 或 k ? 160 . 8 8

【高考题或模拟题】 (2012· 徐州模拟)已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是( 3? A.? ?0,4? 3? C.? ?0,4? 答案:D 解析:当 a=0 时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数; ) 3? B.? ?0,4? 3? D.? ?0,4?

a ? 0, ? 3 ? 当 a≠0 时,由 ? 4(a ? 3) 得 0<a≤ . 4 ? ? 0, ? 4a ?
3 综上,a 的取值范围是 0≤a≤ . 4 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012· 徐州模拟都是考查由函数单调性求参数. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012· 徐州模拟考题是以选择题形式出现. 3.命题的思路:书本题与 2012· 徐州模拟都是考查数形结合、转化与化归等数学思想和 学生运算能力. 4.进一步挖掘的价值:函数的单调性是高考考查的重点内容,主要涉及单调性的判断, 求函数的单调区间与最值, 函数单调性的应用; 其中利用函数的单调性解不等式应引起高度 重视.

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2.函数的奇偶性 【教材原题】数学必修一课本 35 页例题 5 例 5 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x 4 ; (2) f ( x) ? x ?

1 . x

解:(1)对于函数 f ( x) ? x4 ,其定义域为 (??, ??) . 因为对定义域内的每一个 x ,都有

f (? x) ? (? x)4 ? x4 ? f ( x) ,所以,函数 f ( x) ? x4 为偶函数.
(2)对于函数 f ( x) ? x ?

1 ,其定义域为 ? x x ? 0? . x

因为对定义域内的每一个 x ,都有

f (? x) ? ? x ?

1 1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ,所以,函数 f ( x) ? x ? 为奇函数. ?x x x
) B.y=x3 D.y=ln x2+1

【高考题或模拟题】 (2012· 广东高考)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex

分析:先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域下,带绝对值符号的要尽量 去掉,分段函数要分情况判断. 【解析】由函数奇偶性的定义知 A、B 项为奇函数,C 项为非奇非偶函数,D 项为偶函 数. 【答案】 D (2013· 山东高考理 3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f ( x ) ? x ?
2

1 , x

则 f(-1)= ( A.-2 【答案】A

) B.0 C.1 D.2

【解析】因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ? 1) ? ?2 ,选 A. 对比分析: 1.考查知识点:书本题与 2012 广东高考、2013 山东高考理考查函数奇偶性的含义;书 本题与 2012 广东高考考查奇偶性判断;2013 山东高考理考查根据函数奇偶性求值.

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2.考查的方式:书本题是解答题,2012 广东高考、2013 山东高考考题是以选择题形式 出现. 3. 命题的思路: 书本题与 2012 广东高考考查学生运用基本初等函数的解析式分析函数 的奇偶性的能力;2013 山东高考理考查对函数奇偶性的应用能力. 4.进一步挖掘的价值:从近几年的高考试题看,奇偶性的考查函数主要考查奇偶性的 判定,利用奇偶性求函数值,属中、低档题目;此外应注意会运用基本初等函数的图象分析 函数的奇偶性. 3.奇偶性与单调性综合应用 【教材原题】数学必修一课本 44 页复习参考题 A 组 10 题 已知函数 y ? x ?2 , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数? (4) 它在 (??, 0) 上是增函数还是减函数? 解:(1)函数 y ? x ?2 的定义域为 x x ? 0 ,令 f ( x) ? x ?2 , 因为对定义域内的每一个 x ,都有 f (? x) ? (? x)?2 ? x?2 ? f ( x) , 所以,函数 f ( x) ? x ?2 为偶函数; (2) 它的图象关于 y 轴对称; (3)它在 (0, ??) 上是减函数; (4) 它在 (??, 0) 上是增函数. 【高考题或模拟题】 (2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x D.y=x|x|
3

?

?

)

【解析】 A 选项中的函数为非奇非偶函数.B、C、D 选项中的函数均为奇函数,但 B、C 选项中的函数不为增函数,故选 D. 【答案】 D (2013· 盐城模拟)已知函数 f(x)= 分析:根据 f(-x)=-f(x)求解. 2 x-a 2x-a 【解析】由 f(-x)=-f(x)得 -x =- x 2 +a 2 +a


2x-a 在其定义域上为奇函数,则 a=________. 2x+a

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1 -2x a a-2x 1 即 = a=± 1. x,∴ =a,∴ 1 a a + 2 +2x a 【答案】± 1 对比分析: 1.考查知识点:书本题、2012 陕西高考、2013 盐城模拟均考查奇偶性与单调性综合应 用;书本题考查奇偶性含义、图象及函数的单调性;2012 陕西高考考查奇偶性与单调性的 判断;2013 盐城模拟均考查知函数奇偶性求参数. 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 陕西高考考题是以选择题形式出现;2013 盐城 模拟考题是以填空题形式出现. 3.命题的思路:书本题、2012 陕西高考考查学生对奇偶性与单调性综合应用题的处理 能力;2013 盐城模拟均考查学生由函数奇偶性求参数的能力,考查化简能力. 4.进一步挖掘的价值:从近几年的高考试题看,奇偶性的考查函数主要考查奇偶性的 判定,利用奇偶性与周期性求函数值,与单调性交汇求解简单的方程与不等式,多以选择题 和填空题的形式出现, 属中、 低档题目, 其中利用函数的周期性时, 应注意隐含条件的挖掘.

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