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2019-2020年高三数学第一轮复习 第20课时-等差数列与等比数列的基本运算教案

2019-2020 年高三数学第一轮复习 第 20 课时-等差数列与等比数列的

基本运算教案

二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前 n 项和的公式,并能利用这些
知识解决有关问题,培养学生的化归能力.

三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前 n 项和的公式的应用.
四.教学过程:

(一)主要知识:
1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前 n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前 n 项和公式;
3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法:

1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量 a1, d (q) 来处理; 2.使用等比数列前 n 项和公式时,必须弄清公比 q 是否可能等于 1 还是必不等于 1,如果

不能确定则需要讨论;

3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a ? d , a, a ? d ;若偶数个成等差

数列且和为定值时,可设中间两项为 a ? d , a ? d ,其余各项再根据等差数列的定义进行对称

设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求.

(三)例题分析:

例 1.(1)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为12 ,前三项的积为 48 ,则它的首
项为 2 .

(2)已知等差数列{an}的公差 d

?

0

,且

a1,

a3 ,

a9

成等比数列,则

a1 a2

? a3 ? a4

? ?

a9 a10

? 13 . 16

例 2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个

数的和是16 ,第二个数与第三个书的和是12 ,求这四个数.

解:设这四个数为: a ? d, a, a ? d , (a ? d )2 a

,则

? ?a ?

?

d

?

(a

?d a

)2

??2a ? d ? 12

? 16

解得:

?a ??d

? ?

4 8



?a ??d

? ?

9 ?6

,所以所求的四个数为:

?4,

4,12,

36

;或15,

9,

3,1



例 3.由正数组成的等比数列{an},若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11

倍,第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列{an}的通项公式.

解:当 q ? 1时,得 2na1 ? 11na1 不成立,∴ q ? 1,



? ? ?

a1

(1 1

? ?

q2n ) q

?

11a1q(1? q2n ) 1? q2



??a1q2 ? a1q3 ? 11a1q ? a1q3



由①得

q

?

1 10

,代入②得

a1

?

10



∴ an

?

( 1 )n?2 10



说明:用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为 1.

例 4.已知等差数列110,116,122, ,

(1)在区间[450, 600] 上,该数列有多少项?并求它们的和;

(2)在区间[450, 600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和.

解: an ? 110 ? 6(n ?1) ? 6n ?104 , (1)由 450 ? 6n ?104 ? 600 ,得 58 ? n ? 82 ,又 n ? N * ,



该数列在[450, 600] 上有 25 项,

其和 Sn

?

1 2

(a58

? a82 ) ? 25 ? 13100 .

(2)∵ an ? 110 ? 6(n ?1) ,∴要使 an 能被 5 整除,只要 n ?1能被 5 整除,即

n ?1 ? 5k ,

∴ n ? 5k ?1,∴ 58 ? 5k ?1 ? 82 ,∴12 ? k ? 16 ,∴在区间[450, 600] 上该数列中能被

5 整除的项共有 5 项即第 61, 66, 71, 76,81项,其和 S ? 5(a61 ? a81) ? 2650 . 2

五.课后作业:《高考 A 计划》考点 20,智能训练 5,6, 12,13,14,15.