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山东省德州市平原一中2015届高三上学期第一次月考数学(文)试卷Word版含解析

2014-2015 学年山东省德州市平原一中高三(上)第一次月考数 学试卷(文科)

一、选择题:每小题 5 分. 1.已知函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域为 M,函数 的定义域为 N,则 M∩N=( )
A.{x|x<1 且 x≠0} B.{x|x≤1 且 x≠0} C.{x|x>1} D.{x|x≤1}
2.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题
3.已知 a=log23,b=log46,c=log49,则( ) A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b D.a>c>b

4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位

5.设函数 f(x)=sin(wx+ )+sin(wx﹣ )(w>0)的最小正周期为π,则( ) A.f(x)在(0, )上单调递增 B.f(x)在(0, )上单调递减 C.f(x)在(0, )上单调递增 D.f(x)在(0, )上单调递减

6.已知函数 象相邻的两条对称轴方程为 x=0 与

,则( )

,其图

A.f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为单调递减函数

C.f(x)的最小正周期为π,且在

上为单调递增函数

D.f(x)的最小正周期为π,且在

上为单调递减函数

7.在△ABC 中,

,则 sin∠BAC=( )

A. B. C.

D.

8.已知平面向量 =(1,﹣2), =(4,m),且 ⊥ ,则向量 5 ﹣3 =( ) A.(﹣7,﹣16) B.(﹣7,﹣34) C.(﹣7,﹣4) D.(﹣7,14)

9.平行四边形 ABCD 中, =(1,0), =(2,2),则 A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2

等于( )

10.O 是△ABC 所在的平面内的一点,且满足( ﹣ )?( + ﹣2 )=0,则△ABC 的
形状一定为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

二、填空题:每小题 5 分. 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一

点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐

标为



12.设 、 是平面内两个不平行的向量,若



m=



平行,则实数

13.在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则

=



14.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投

影是



15.已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 ? =0,

则实数 k 的值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤)

16.已知向量 =(cosx,sinx), =(﹣cosx,cosx), =(﹣1,0)

(1)若 x= ,求向量 , 的夹角;

(2)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)=2 ? +1 的最小值.

17.已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若| ﹣ |= ,求证: ⊥ ; (2)设 =(0,1),若 + = ,求α,β的值.

18.已知函数 f(x)=2



(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= ,b+c=2,求实数 a

的最小值.

19.在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a2=b2+c2+bc (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB+sinC=1,试求内角 B、C 的大小.

20.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< ) 的图象过点(0, ),
最小正周期为 ,且最小值为﹣1. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)若 x∈[ ,m],f(x)的值域是[﹣1,﹣ ],求 m 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=(x﹣a)lnx,a∈R. (Ⅰ)当 a=0 时,求函数 f(x)的极小值; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年山东省德州市平原一中高三(上)第一次
月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:每小题 5 分.
1.已知函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域为 M,函数 的定义域为 N,则 M∩N=( )
A.{x|x<1 且 x≠0} B.{x|x≤1 且 x≠0} C.{x|x>1} D.{x|x≤1} 考点: 函数的定义域及其求法;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 由函数 y=lgx 的定义域是{x|x>0}和 y= 的定义域是{x|x≠0},即可求出答案.
解答: 解:∵1﹣x>0,得 x<1,∴函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域 M={x|x<1}.
∵x≠0 时,函数 有意义,∴函数 的定义域 N={x|x≠0}.
∴M∩N={x|x<1}∩{x|x≠0}={x|x<1,且 x≠0}. 故选 A.
点评: 本题考查函数的定义域,充分理解函数 y=lgx 和 y= 的定义域是解决问题的关键.
2.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x2≠1,则 x≠1”,故错误. 对于 B:因为 x=﹣1? x2﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误. 对于 C:因为命题的否定形式只否定结果,应为? x∈R,均有 x2+x+1≥0.故错误.由排除 法即可得到答案. 解答: 解:对于 A:命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1”.因为否命 题应为“若 x2≠1,则 x≠1”,故错误. 对于 B:“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为 x=﹣1? x2﹣5x﹣6=0,应为 充分条件,故错误. 对于 C:命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0”. 因为命题的否定应为? x∈R,均有 x2+x+1≥0.故错误. 由排除法得到 D 正确. 故答案选择 D.

点评: 此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于 命题的否命题和否定形式要注意区分,是易错点.
3.已知 a=log23,b=log46,c=log49,则( ) A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b D.a>c>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的性质和对数的换底公式,即可比较大小. 解答: 解:根据对数的换底公式可知 log23=log49, ∴a=c, ∵函数 y=log4x,为增函数, ∴log46<log49, 即 a=c>b, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,利用对数函数的单调性和对数的换底公式是解决 本题的关键.

4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位

C.向左平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,我们易分析出函数的周期、最值, 进而求出函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,设出平移量 a 后,根据平移法则,我们可 以构造一个关于平移量 a 的方程,解方程即可得到结论.

解答: 解:由已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中

)的图象,

过( ,0)点,(

)点,

易得:A=1,T=4(

)=π,即ω=2

即 f(x)=sin(2x+φ),将(

)点代入得:

+φ= +2kπ,k∈Z 又由

∴φ=
∴f(x)=sin(2x+ ), 设将函数 f(x)的图象向左平移 a 个单位得到函数 g(x)=sin2x 的图象, 则 2(x+a)+ =2x
解得 a=﹣
故将函数 f(x)的图象向右平移 个长度单位得到函数 g(x)=sin2x 的图象, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象确定其中解析式,函数 f (x)=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中根据已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象, 求出函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,是解答本题的关键.
5.设函数 f(x)=sin(wx+ )+sin(wx﹣ )(w>0)的最小正周期为π,则( )
A.f(x)在(0, )上单调递增 B.f(x)在(0, )上单调递减
C.f(x)在(0, )上单调递增 D.f(x)在(0, )上单调递减 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与两角差的正弦可化简得 f(x)=﹣sinwx,依题意知 w=2,利用正弦函 数的单调性可得答案. 解答: 解:∵f(x)=sin(wx+ )+sin(wx﹣ )
=﹣ sinwx+ coswx﹣ sinwx﹣ coswx=﹣sinwx, 又 f(x)的最小正周期为π,w>0, ∴w=2. ∴f(x)=﹣sin2x, ∵y=sin2x 在[﹣ , ]上单调递增,
∴f(x)=﹣sin2x 在[﹣ , ]上单调递减,
∴f(x)在(0, )上单调递减, 故选:B. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查两角和与两角差的正弦及正弦函数 的单调性与周期性,属于中档题.

6.已知函数

,其图

象相邻的两条对称轴方程为 x=0 与 ,则( )

A.f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为单调递减函数

C.f(x)的最小正周期为π,且在

上为单调递增函数

D.f(x)的最小正周期为π,且在

上为单调递减函数

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 f(x)=2sin(ωx﹣ ),由题意可



=

,解得ω的值,即可确定函数的解析式为 f(x)=2sin(2x﹣ ),由此

求得周期,由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的范围,即可得到函数的增区

间,从而得出结论. 解答: 解:∵函数

=2[ sin(ωx﹣ cos

ωx]=2sin(ωx﹣ ),∴函数的周期为 .

再由函数图象相邻的两条对称轴方程为 x=0 与 ,可得

=

,解得ω=2,

故 f(x)=2sin(2x﹣ ).

故 f(x)=2sin(2x﹣ )的周期为 =π.

由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,

故函数的增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z,故函数在

上为单调递增函数,

故选 C. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式,正弦函数的图象、周期性及单调性,属于中档 题.

7.在△ABC 中,

A. B. C.

D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

,则 sin∠BAC=( )

分析: 由 AB,BC 及 cos∠ABC 的值,利用余弦定理求出 AC 的长,再由正弦定理即可求出 sin∠BAC 的值.
解答: 解:∵∠ABC= ,AB= ,BC=3,
∴由余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB? BC? cos∠ABC=2+9﹣6=5, ∴AC= ,

则由正弦定理

=

得:sin∠BAC=

=



故选 C 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.

8.已知平面向量 =(1,﹣2), =(4,m),且 ⊥ ,则向量 5 ﹣3 =( )

A.(﹣7,﹣16) B.(﹣7,﹣34) C.(﹣7,﹣4) 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直与数量积的关系即可得出.

D.(﹣7,14)

解答: 解:∵

,∴

,解得 m=2,



=(5,﹣10)﹣(12,6)=(﹣7,﹣16).

故选 A. 点评: 熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

9.平行四边形 ABCD 中, =(1,0), =(2,2),则

等于( )

A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则和数量积的运算即可得出. 解答: 解:如图所示:

由向量的加减可得:

=(1,2); =

=

=

=

(0,2),



=

=(1,2)?(0,2)=0+4=4.

故选 A.

点评: 熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算是解题的关键.

10.O 是△ABC 所在的平面内的一点,且满足( ﹣ )?( + ﹣2 )=0,则△ABC 的

形状一定为( ) A.正三角形 B.直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题.

C.等腰三角形

D.斜三角形

分析: 利用向量的运算法则将等式中的向量

用三角形的各边对应的向量表

示,得到边的关系,得出三角形的形状. 解答: 解:∵

=

=

=

=0,


∴△ABC 为等腰三角形. 故选 C 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有平面向量的平行四边形法则,平面向 量的数量积运算,向量模的计算,以及等腰三角形的判定方法,熟练掌握平面向量的数量积 运算法则是解本题的关键.
二、填空题:每小题 5 分. 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一
点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐
标为 (2﹣sin2,1﹣cos2) .

考点: 圆的参数方程;平面向量坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用;坐标系和参数方程. 分析: 设滚动后圆的圆心为 O',切点为 A,连接 O'P.过 O'作与 x 轴正方向平行的射线, 交圆 O'于 B(3,1),设∠BO'P=θ,则根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sin

θ),再根据圆的圆心从(0,1)滚动到(2,1),算出θ= ﹣2,结合三角函数的诱导公
式,化简可得 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2),即为向量 的坐标. 解答: 解:设滚动后的圆的圆心为 O',切点为 A(2,0),连接 O'P, 过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B(3,1),设∠BO'P=θ ∵⊙O'的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1, ∴根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sinθ), ∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1),圆滚动到圆心位于(2,1) ∴∠AO'P=2,可得θ= ﹣2
可得 cosθ=cos( ﹣2)=﹣sin2,sinθ=sin( ﹣2)=﹣cos2,
代入上面所得的式子,得到 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) ∴ 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2). 故答案为:(2﹣sin2,1﹣cos2)

点评: 本题根据半径为 1 的圆的滚动,求一个向量的坐标,着重考查了圆的参数方程和平 面向量的坐标表示的应用等知识点,属于中档题.

12.设 、 是平面内两个不平行的向量,若



﹣1 .

平行,则实数 m=

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出.

解答: 解:∵



平行,∴存在实数 k 使得





=



∵ 、 是平面内两个不平行的向量,



,解得 m=k=﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了向量共线定理和平面向量基本定理,属于基础题.

13.在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 =4.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由题意建立直角坐标系,可得 及 , 的坐标,而原式可化为



代入化简可得答案. 解答: 解:由题意可建立如图所示的坐标系
可得 A(2,0)B(0,2),P( , )或 P( , ),

故可得 =( , )或( , ), =(2,0), =(0,2),

所以 + =(2,0)+(0,2)=(2,2),



=

=( , )?(2,2)=4

或=( , )?(2,2)=4, 故答案为:4

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,建立坐标系是解决问题的关键,属基础题.

14.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投 影是 ﹣ .

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 利用求模运算得到



,进而得到向量 ﹣ 与向量 + 的夹角余弦,

根据投影定义可得答案.

解答: 解:

=1+2

cos120°+4=3,

所以 所以

, =1﹣2×1×2cos120°+4=7,


则 cos<

, >=

=



所以向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投影是

=

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义,考查向量模的求解投影等概念,属 基础题.

15.已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 ? =0,

则实数 k 的值为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.
分析: 利用向量的数量积公式求出

;利用向量的运算律求出 ,列出方程求出 k.

解答: 解:∵

是夹角为 的两个单位向量





= =

∵ ∴ 解得 故答案为:

点评: 本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平 方.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16.已知向量 =(cosx,sinx), =(﹣cosx,cosx), =(﹣1,0) (1)若 x= ,求向量 , 的夹角;
(2)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)=2 ? +1 的最小值.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)根据数量积条件下的夹角公式,将已知条件代入可求得两向量夹角的余弦值, 再根据余弦函数的单调性及向量夹角的范围确定夹角;
(2)通过利用三角变换先将 f(x)=2 ? +1 化简成一个角,一次,一种三角函数(正弦
或余弦)的形式,再借助于换元思想研究该函数的最小值. 解答: 解:

(1)当 x= 时,

=

=

= 又因为 0 ∴

≤π, =.

(2)f(x)= =2(﹣cos2x+sinxcosx)+1 =2sinxcosx﹣(2cos2x﹣1)=

=sin2x﹣cos2x= sin(2x﹣ )

∵x∈[

],



∈[

],

故 sin(

)∈[﹣1, ],

∴当

,即 x= 时,f(x)=﹣ .

点评: 本题是一道平面向量与三角函数的综合题,一般是先利用数量积的定义将所求表示 成三角函数的形式,再借助于三角恒等变换将函数化简成形如 y=Asin(ωx+θ)+C 的形式, 然后再求解.要注意计算准确.

17.已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若| ﹣ |= ,求证: ⊥ ; (2)设 =(0,1),若 + = ,求α,β的值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余 弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 平面向量及应用.

分析: (1)由给出的向量

的坐标,求出

的坐标,由模等于 列式得到 cosα

cosβ+sinαsinβ=0,由此得到结论; (2)由向量坐标的加法运算求出 + ,由 + =(0,1)列式整理得到

,结合

给出的角的范围即可求得α,β的值.

解答: 解:(1)由 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),



=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ),



β)=2, 得 cosαcosβ+sinαsinβ=0.

所以

.即



(2)由



,①2+②2 得:

因为 0<β<α<π,所以 0<α﹣β<π.

所以





=2﹣2(cosαcosβ+sinαsin .

代入②得:



因为

.所以



所以,



点评: 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量的模,考查了同角三角函数的基本 关系式和两角和与差的三角函数,解答的关键是注意角的范围,是基础的运算题.

18.已知函数 f(x)=2



(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= ,b+c=2,求实数 a

的最小值.

考点: 余弦定理的应用;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式,化简函数,即可求得函数的最大值,从而可 得 f(x)取最大值时 x 的取值集合;
(Ⅱ)利用 f(A)=sin(2A+ )+1= ,求得 A,在△ABC 中,根据余弦定理,利用 b+c=2,



,即可求得实数 a 的最小值.

解答: 解:(Ⅰ)函数 f(x)=2

=(1+cos2x)﹣(sin2xcos

﹣cos2xsin )

=1+ sin2x+

=1+sin(2x+ ).

∴函数 f(x)的最大值为 2. 要使 f(x)取最大值,则 sin(2x+ )=1,∴2x+ =2kπ+ (k∈Z)

∴x=kπ+ (k∈Z).

故 x 的取值集合为{x|x=kπ+ (k∈Z)}.

(Ⅱ)由题意,f(A)=sin(2A+ )+1= ,化简得 sin(2A+ )= ,

∵A∈(0,π),∴2A+ ∈

,∴2A+ = ,∴A=

在△ABC 中,根据余弦定理,得

=(b+c)2﹣3bc.

由 b+c=2,知

,即 a2≥1.

∴当 b=c=1 时,实数 a 取最小值 1. 点评: 本题考查三角函数的化简,考查函数的最值,考查余弦定理的运用,考查基本不等 式,综合性强.

19.在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a2=b2+c2+bc (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB+sinC=1,试求内角 B、C 的大小.

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由 a2=b2+c2+bc,利用余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA,求得 cosA 的值,即可 求得 A 的大小.
(Ⅱ)由 A 的值求得 B+C 的值,利用两角和差的正弦公式求得 sin(B+ )=1,从而求得

B+ 的值,求得 B 的值,进而求得 C 的大小. 解答: 解:(Ⅰ)∵a2=b2+c2+bc,由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA,故 cosA= ,A=120°.

(Ⅱ)∴B+C= ,∵sinB+sinC=1,∴





,∴

=1.

又∵B 为三角形内角, ∴B+ = ,故 B=C= .

点评: 本题主要考查余弦定理,两角和差的正弦、余弦公式的应用,根据三角函数的值求 角,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< ) 的图象过点(0, ),
最小正周期为 ,且最小值为﹣1. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)若 x∈[ ,m],f(x)的值域是[﹣1,﹣ ],求 m 的取值范围.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)依题意,易求 A=1,ω=3,由函数的图象过点(0, ),0<φ< ,可求得
φ= ,从而可得函数 f(x)的解析式.
(2)x∈[ ,m]? ≤3x+ ≤3m+ ,依题意,利用余弦函数的性质可得π≤3m+ ≤
,从而可求 m 的取值范围. 解答: 解:(1)由函数的最小值为﹣1,A>0,得 A=1,

∵最小正周期为 , ∴ω= =3,

∴f(x)=cos(3x+φ), 又函数的图象过点(0, ),

∴cosφ= ,而 0<φ< ,

∴φ= ,

∴f(x)=cos(3x+ ),

(2)由 x∈[ ,m],可知 ≤3x+ ≤3m+ ,

∵f( )=cos =﹣ ,且 cosπ=﹣1,cos =﹣ ,

由余弦定理的性质得:π≤3m+ ≤ ,

∴ ≤m≤ ,

即 m∈[ , ].
点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)确定函数解析式,着重考查余弦函数的单调性,考 查解不等式的能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=(x﹣a)lnx,a∈R. (Ⅰ)当 a=0 时,求函数 f(x)的极小值; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,可得函数 f(x)的解析式,求导数,令导数为 0,解出 x 的值, 利用导函数值的正负来求其单调区间,进而求得其极小值; (Ⅱ)求导函数,由于函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,转化为 f'(x)≥0,对 x∈ (0,+∞)恒成立,分离参数,利用导数求 g(x)=xlnx+x 的最小值,即可求实数 a 的取值 范围. 解答: 解:(Ⅰ)定义域(0,+∞). 当 a=0 时,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1.
令 f'(x)=0,得 .



时,f'(x)<0,f(x)为减函数;



时,f'(x)>0,f(x)为增函数.

所以函数 f(x)的极小值是



(Ⅱ)由已知得



因为函数 f(x)在(0,+∞)是增函数, 所以 f'(x)≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立.

由 f'(x)≥0 得

,即 xlnx+x≥a 对 x∈(0,+∞)恒成立.

设 g(x)=xlnx+x,要使“xlnx+x≥a 对 x∈(0,+∞)恒成立”,只要 a≤g(x)min.

因为 g'(x)=lnx+2,令 g'(x)=0 得





时,g'(x)<0,g(x)为减函数;



时,g'(x)>0,g(x)为增函数.

所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值是



故函数 f(x)在(0,+∞)是增函数时,实数 a 的取值范围是



点评: 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性,利用导数研究函数的单 调性,求解函数的单调区间、极值、最值问题,是函数这一章最基本的知识,也是教学中的 重点和难点,学生应熟练掌握.