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2013届高三数学(文)一轮复习:3.8 正弦定理、余弦定理的应用举例(广东专用版)


正弦、余弦定理的应用
一、选择题

图 3-8-10 1.如图 3-8-10 所示,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,图中所标的数据 a,b, c, α, β 是可供测量的数据. 下面给出的四组数据中, 对测量河宽较适宜的是( A.c 和 α C.c 和 β B.c 和 b D.b 和 α )

2. (2012· 汕头模拟)已知 A、 B 两地的距离为 10 km, B、 C 两地的距离为 20 km, 现测得∠ABC=120° ,则 A,C 两地的距离为( A.10 km B.10 3 km D.10 7 km )

C.10 5 km

3.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的南 偏西 75° ,则这只船的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 )

B.5 3海里 D.10 3海里

4.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则 斜坡长为( )

A.1 B.2sin 10° C.2cos 10° D.cos 20° 5.为了测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30° ,测得塔基 B 的俯角为 45° ,那么塔 AB 的高度是( 3 3 A.20(1+ 3 )m B.20(1+ 2 )m C.20(1+ 3)m D.30 m
-1-

)

二、填空题 6.(2011· 福建高考)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度 等于________. 7.地上画了一个角∠BDA=60° ,某人从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后,拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点, 我们将该点记为点 B,则 B 与 D 之间的距离为________米.

-2-

图 3-8-11 8.(2012· 潮州模拟)如图 3-8-11,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰 角为 θ, 沿 BE 方向前进 30 米至 C 处测得顶端 A 的仰角为 2θ, 再继续前进 10 3米 至 D 处,测得顶端 A 的仰角为 4θ,则 θ 的值为________. 三、解答题 9.如图 3-8-12,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° , 30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等, 然后求 B, D 间的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

图 3-8-12

10.

图 3-8-13 如图 3-8-13,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

-3-

图 3-8-14 11.如图 3-8-14,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按 固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船 的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里,问乙船每小时航行多少海 里?

答案及解析
1. 【答案】 2. 【解析】 D 由余弦定理知,

AC2=102+202-2×10×20cos 120° =700. ∴AC=10 7 km. 【答案】 D

3. 【解析】

如图所示,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,

所以∠CAD=∠CDA=15° , 从而 CD=CA=10(海里). 在 Rt△ABC 中,AB=5.

-4-

5 于是这只船的速度是0.5=10(海里/小时). 【答案】 C

4. 【解析】

如图所示,∠ABC=20° ,AB=1,∠ADC=10° ,

∴∠ABD=160° . AD AB 在△ABD 中,由正弦定理sin 160° =sin 10° , sin 160° sin 20° ∴AD=AB· =2cos 10° . sin 10°=sin 10° 【答案】 C

5. 【解析】

如图所示,∠BDC=45° ,

∠ADC=30° ,且 BH=20 m. 20 ∴AC=CDtan 30° = 3 3, BC=CD=20. 3 因此 AB=AC+BC=20(1+ 3 ). 【答案】 6. 【解析】 A 1 ∵S△ABC=2BC· AC· sin C,

3 ∴ 3= 2 AC, ∴AC=2, 因此△ABC 为等边三角形,AB=2. 【答案】 2

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7. 【解析】

如图所示,设 BD=x m,

则 142=102+x2-2×10×xcos 60° , ∴x2-10x-96=0, ∴x=16. 【答案】 8. 【解析】 16 由条件知△ADC 中,

∠ACD=2θ,∠ADC=180° -4θ, AC=BC=30,AD=CD=10 3. AD 则由正弦定理得sin 2θ= 10 3 30 ∴sin 2θ=sin 4θ, 3 ∴cos 2θ= 2 . ∵2θ 为锐角,∴2θ=30° , ∴θ=15° . 【答案】 15° AC , sin?180° -4θ?

9. 【解】 在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,所以 CD =AC, 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA. 在△ABC 中, AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC

ACsin 60° 3 2+ 6 即 AB= sin 15° = 20 , 因此,BD= 3 2+ 6 20 ≈0.33 km.

故 B,D 间的距离约为 0.33 km.
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10.【解】

如图所示,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF= MF2+DM2 = 302+1702=10 298, DE= DN2+EN2 = 502+1202=130, EF= ?BE-FC?2+BC2 = 902+1202=150. 在△DEF 中,由余弦定理, DE2+EF2-DF2 cos∠DEF= 2DE· EF 1302+1502-102×298 16 = =65. 2×130×150 16 因此∠DEF 的余弦值为65. 11. 【解】 如图所示,连结 A1B2.

20 由已知 A2B2=10 2,A1A2=30 2×60=10 2, ∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形,

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∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知 A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° . 在△A1B2B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° 2=A1B1+A1B2-2A1B1·

2 =202+(10 2)2-2×20×10 2× 2 =200, ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 20 ×60=30 2(海里/小时).

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