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岳阳县一中2015届高三第三次月考理科数学试题及答案


岳阳县一中 2015 届高三年级第三次月考试卷
理科数学
时量:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x ? ( ) A. ?1 B. ?2 C. 1 D. 2 2.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( A. y ? x3 B. y ? ln(? x) ) D. y ? x ? )

C. y ? xe? x

2 x

3.在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B 等于( A. ?

2 2 2 2 6 6 B. C. ? D. 3 3 3 3 4.已知 {a n } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S9 =12 ,则下列各式一定为定值的是( A. a3 ? a8 B. a10 C. a3 ? a5 ? a7 D. a2 ? a7

)

? ?? 5. 已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? ? 0, ? , f ( x) ? 0 ,则( ? 2?
A. p 是假命题; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0

)

?

2

B. p 是假命题; ?p : ?x0 ? (0, 2 ), f ( x0 ) ? 0 D. p 是真命题; ?p : ?x0 ? (0, 2 ), f ( x0 ) ? 0 ) D.3

?
?

C. p 是真命题; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0

?

2

6.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 A. 2 B.

S6 S ? 3, 则 9 =( S3 S6
C.

7 3
)

8 3

7.函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 是( A.最小正周期为 C.最小正周期为

?
2

,值域为 [

2 ,1] 的函数 2

B.最小正周期为

?
4

,值域为 [

2 ,1] 的函数 2

?
2

,值域为 [ ,1] 的函数

1 2

D.最小正周期为

?
4

,值域为 [ ,1] 的函数
y

1 2

8.如图,面积为 8 的平行四边形 OABC 中, AC ? CO , AC 与 BO 交于点

E ,某指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? ,经过点 E , B ,则 a =(
A. 2 B. 3 C. 2

) D. 3
C O E A

B

x

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-1

9.已知 x ? 1, y ? 1 ,且 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 的最小值是( A. 1 10.已知函数 f ( x) ? 取值范围是( ) B. [0,1] C. [1, 2] D. [ ,1] B.

1 4

1 4

)

1 e

C. e

D. 2

ex ? m ,若对于任意 a , b, c ? R ,都有 f (a) ? f (b) ? f (c) 成立,则实数 m 的 ex ? 1

1 A. [ , 2] 2

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.已知集合 A ? ?x | x ? a?, B ? ?x |1 ? x ? 2?, 且A 12.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

?? B? ? R ,则实数 a 的取值范围是
R

.

2an , n ? N + ,则 a5 ? an ? 2

.

13.已知 tan(? ? ) ? , ? ?(0, ?) ,则 sin ? =

?

4

1 3

.

14.平面向量 a, b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1, b ? e ? 2, a ? b ? 2 ,则向量 a ? b 与 e 的夹角为 15.(2014· 天津一模 ) 设函数 f ( x) ? x x ? a 的图象与函数 g ( x) ? x ? 1 的图象有三个不同

的交点,则 a 的范围是

.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在正项等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? (0,1) ,且满足 a3 ? 2 , a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 25 . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ? log 2 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,当

S S1 S2 ? ? ??? ? n 取最大值时,求 n 的值. 1 2 n

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-2

17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c . 已知 a ? 3 , cos A ? (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求 ?ABC 的面积.

6 ? , B ? A? . 3 2

18.(本小题满分 12 分) ?y ? 0 ? ?y ? x 设约束条件 ? 所确定的平面区域为 D . ?y ? 2 ? x ?t ? x ? t ? 1(0 ? t ? 1) ? (Ⅰ )记平面区域 D 的面积为 S=f(t),试求 f(t)的表达式. (Ⅱ )设向量 a ? (1, ?1), b ? (2, ?1) , Q ? x, y ? 在平面区域 D (含边界)上, OQ ? ma ? nb, ( m,

n ? R) ,当面积 S 取到最大值时,用 x, y 表示 m ? 3n ,并求 m ? 3n 的最大值.

19.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x ?

1 x

? x?

1 1 1 ? 1及g ( x) ? x ? ? x ? ?1 x x x

(Ⅰ )求 f ( x) 的最小值和 g ( x) 的最大值; (Ⅱ )若 a ? x2 ? x ? 1, b ? t x , c ? x ? 1 ,问是否存在满足下列条件的正数 t ,使得对于任意的 正数 x, a , b, c 都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出 t 的取值范围;若不存在, 请说明理由.

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-3

20.(本小题满分 13 分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an . (Ⅰ )求数列 {an }的通项公式; (Ⅱ )令 bn ? (?1) n ?1 ?

4 ? n ? 1? log 1 an ? log 1 an ?1
2 2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? x2 ? ln( x ? a) ,其中 a 为常数. (Ⅰ )讨论函数 g ( x) 的单调性; (Ⅱ )若 g ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,求证:对 ?a ? R ,都有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x ? g ( 1 2 ) 成立. 2 2

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-4

参考答案 一、选择题 B D D C D ; C C A C A 二、填空题 11. 三、解答题 16.【解】(Ⅰ )由 {an }等比,所以 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 25 可化为

a?2

.12.

1 3

.13.

5 5

.14.

2? 3

.15. (1, ??) .

a2 2 ? 2a2 a4 ? a4 2 ? (a2 ? a4 )2 ? 25 ,且 an ? 0
所以 a2 ? a4 ? 5 ,又因 a3 ? 2 , 所以

2 1 ? 2q ? 5, 且 0 ? q ? 1, 解得 q ? ,也所以 a1 ? 8 q 2

故 an ? a1 ? ( )n?1 ? 24?n .……………………………………………………………………6 分 (Ⅱ )由 bn ? log 2 an ? 4 ? n, 故 Sn ? 所以

1 2

S n(7 ? n) 7?n , 也所以 n ? , 2 n 2
? n) ? ? n 2 ? 13n , 4

S S1 S 2 7 1 ? ? ??? ? n ? ? n ? (1 ? 2 ? 1 2 n 2 2

由 n对 ?

13 ? 6.5, 且 n ? N ? ,所以当 n ? 6或7 时, 2

S S1 S2 ? ? ??? ? n 有最大值,故 n ? 6或7 即求. …………………………………………12 分 1 2 n
? 6? 3 17.【解】(Ⅰ )因 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 . …………………2 分 ? ?
2 2

因 B ? A?

?

?? 6 ? ,故 sin B ? sin ? A ? ? ? cos A ? .……………… ……………………4 分 2? 3 2 ?
3? 6 3 ? 3 2 . … …………………………6 分 3 3

a sin B a b 由正弦定理 ,得 b ? ? ? sin A sin A sin B

(Ⅱ )由 cos B ? cos ? A ?

? ?

??

3 .……………………………………………8 分 ? ? ? sin A ? ? 2? 3

故 sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B?? ? ? sin ? A ? B? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? .………………………………… ……………10 分 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-5

则 S ?ABC ?

1 1 1 3 2 ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? .……………………… …………………12 分 2 2 3 2

18.【解】(Ⅰ )由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP, 如图所示,其面积 S=f(t)=S△ OPD-S△ AOB-S△ ECD, 而 S△ OPD=

1 1 1 × 1× 2=1.S△ OAB= t2,S△ ECD= (1-t)2, 2 2 2

所以 S=f(t)=1-

1 2 1 1 t - (1-t)2=-t2+t+ .……6 分 2 2 2

? x ? m ? 2n ? 2 x ? y ? m ? 3n (Ⅱ )由 OQ ? ma ? nb ,得 ? ? y ? ?m ? n

1 1 , 0 ? t ? 1 则当 t ? 时面积 S 取到最大值. 2 2 3 1 3 1 点 E 坐标为 ( , ) ,所以直线 z ? 2 x ? y 经过可行域中点 E( , ) 时 z 有最大值. 2 2 2 2 3 1 7 m ? 3n 的最大值为 zmax ? 2 ? ? ? .…………………………… …………………12 分 2 2 2 1 2 1 ) ? ( x ? ? 1) ? 1 ……………………………2 分 19.【解】(Ⅰ )注意到 f ( x) g ( x) ? ( x ? x x
又 S=f(t)=-t2+t+ 由于 x ?

1 1 ? 2, 且 x ? ? 2 ,都是在 x ? 1 时取到“=”号; x x

故 x? 又 g ( x) ?

1 x

? x?

1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3. 即 x ? 1 时,即 f ( x)min ? 2 ? 3 .………6 分 x

1 ? 2 ? 3 .故 x ? 1 时, g ( x)max ? 2 ? 3 ..…………………………………8 分 f ( x)

(Ⅱ )显然 a ? x2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? c , 所以若能构成三角形,只需
2 ? ? x ? x ?1 ? t x ? x ?1 ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? t x

? 1 1 ? x ? ?1 ?t ? x ? x ? x 即? 对 x ? R? 恒成立.…………………………………………10 分 1 1 ?t ? x ? ? x ? ?1 ? x x ?
?t ? [ g ( x)]max 即? ,由(Ⅰ )知 2 ? 3 ? t ? 2 ? 3 ?t ? [ f ( x)]min

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-6

所以存在 t ? (2 ? 3,2 ? 3) 满足题设条件. ……………………………………………13 分 20.【解】(Ⅰ) 由 6Sn ? 1 ? 2an ……①可知, 1)当 n ? 1 时有, 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2)当 n ? 2 时,由①式可推出 6Sn ?1 ? 1 ? 2an ?1 ……②

1 8

1 ?0 8 1 1 所以数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4 1 1 1 故 an ? a1qn ?1 ? ? ( )n ?1 ? ( )2 n ?1 ,………………………………………………………6 分 8 4 2 1 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 log 1 an ? log 1 ( ) 2 n ?1 ? 2n ? 1 , 2 2 2
① -② 得 an ? an ?1 , n ? 2 ,且 a1 ? 所以 bn ? (?1) n ?1 ?

1 4

4(n ? 1) 4(n ? 1) ? (?1) n ?1 ? log 1 an ? log 1 an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 3)
2 2

1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 ① 当 n 为偶数时, Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 5 5 7 1 1 ? ? 3 2n ? 3 1 1 1 1 ② 当 n 为奇数时, Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 5 5 7 1 1 ? ? 3 2n ? 3
所以 bn ? (?1)n ?1 ? (

?(

1 1 1 1 ? )?( ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

?(

1 1 1 1 ? )?( ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

1 ?1 ? , n ? 2k ? 1, k ? N ? ? ? 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? 1 …………………………………………………13 分 ? ? 1 , n ? 2k , k ? N ? ? ? 3 2n ? 3
21.【解】(Ⅰ )函数的定义域为 (?a, ??) ,且 g ?( x) ? 2 x ? 记 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 ,判别式 ? ? 4a 2 ? 8 ① 当 ? ? 4a 2 ? 8 ? 0, 即 ? 2 ? a ? 2 时, h( x) ? 0 恒成立, g ? ? x ? ? 0 所以 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增 ② 当 a ? ? 2或a ? 2 时, ? ? 0 ,所以 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实数根 x1 , x2

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? , x?a x?a

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-7

记 x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? ,显然 x1 ? x2 2 2

a ? 0, 2 注意到 h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以两根 x1 , x2 在区间 (0, ?a) 上, 所以当 x ? ?a 时, h( x) ? h(?a) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在区间 (?a, ??) 上单调递增. a (ii)若 a ? 2 ,则 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ? ? 0 , 2 注意到 h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以 ?a ? x1 ? x2 ? 0 , 则当 x1 ? x ? x2 时, h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递减 当 ?a ? x ? x1或x ? x2 时, h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递增;
(i)若 a ? ? 2 时, h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ? 综上① ② 可知,当 a ? 2 时 g ( x) 在区间 (?a, ??) 上单调递增 当 a ? 2 时 g ( x) 在 (

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , ) 上单调递减, 2 2

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 ), ( , ??) 上单调递增.……………7 分 2 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )知当 a ? 2 时, g ( x) 没有极值点, 1 当 a ? 2 时, g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? ?a, x1 ? x2 ? . 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x12 ? ln( x1 ? a) ? x2 2 ? ln( x2 ? a)
在 ( ? a,
2 2 =( x1 ? x2 )2 ? 2x1 ? x2 ? ln ? ? x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? a ? ? ? a ? 1 ? ln 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) a 2 ? 1 ? ln 2 x ? x2 a a2 a ? , 又 g( 1 ) ? g (? ) ? ? ln 2 2 2 2 4 2 2 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ? x2 a ? 1 ? ln 2 a a a 1 ln 2 ? g( 1 )? ? ( ? ln ) ? ? ln a ? ? 故 2 2 2 4 2 4 2 2 a2 1 ln 2 ? ln a ? ? 记 ? (a) ? ,其中 a ? 2 4 2 2 a 1 a2 ? 2 ? 0 ,所以 h(a) 在 a ? 2 时单调递增, 则 ? ?(a ) ? ? ? 2 a 2a g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x 2 1 ln 2 ? ( 2) ? ? ln 2 ? ? ? 0 ,即 ? (a) ? 0 ,所以 ? g ( 1 2 ) ………13 分 4 2 2 2 2
所以

2015 届高三· 岳阳县一中月考三(理科数学)-8


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