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贵州省湄潭中学2012届高三第五次月考 理科数学试题


湄潭中学 2012 届高三第五次月考 理科数学试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是答合题目要求的.) 1 1.若集合 A={ x|log 1 x ≥ },则?RA=( 2
2

)

2 ,+∞) 2 2 C.(-∞,0]∪[ ,+∞) 2 A.(-∞,0]∪(

2 ,+∞) 2 2 D.[ ,+∞) 2 B.(

?log3x,x>0, ? 1 2.已知函数 f(x)=? x 则 f[f( )]=( ) 9 ?2 ,x≤0, ? 1 A. 4 B. 4 1 C. -4 D. - 4 3.已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则 A∩B=( A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}

)

4.函数 y=2cosx(sinx+cosx)的图象的一个对称中心坐标是( 3π 3π A.( ,0) B.( ,1) 8 8 π π C.( ,1) D.(- ,-1) 8 8 x 2 5.函数 f(x)=cos x-2cos2 的一个单调增区间是( ) 2 π 2π π π A. ( , ) B. ( , ) 3 3 6 2 π π π C. (0, ) D. (- , ) 3 6 6 6.函数 y=x+cosx 的大致图象是( )

)

7.关于 x 的不等式|cosx+lg(9-x2)|<|cosx|+|lg(9-x2)|的解集为( A. (-3,-2 2)∪(2 2,3) π π B. (-2 2,- )∪( ,2 2) 2 2 C. (-2 2,2 2) D. (-3,3)

)

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8.已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,a5=19,S5=55,则过点 P(3, a3),Q(4,a4) 的直线的斜率是( ) 1 A. 4 B. 4 C. -4 D. -14 9.向量 i=(1,0),j=(0,1),下列向量中与向量 3i+j 垂直的是( ) A.2i+2 3j B.-i+ 3j C.2i+ 3j D.-i- 3j 1 1 1 10.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是 、 、 ,则此人将( ) 13 11 5 A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 11.已知两不共线向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则下列说法不正确 的是( ) ... A. (a+b)⊥(a-b) B. a 与 b 的夹角等于 α-β C. |a+b|+|a-b|>2 D. a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等 12.把函数 y=lg(3x)的图象按向量 a 平移,得到函数 y=lg(x+1)的图象,则 a=( ) A. (-1,lg3) B. (1,-lg3) 1 C. (-1,-lg3) D. ( ,0) 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 4 13.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tanα=________. 3 π 14.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象交于点 P,过点 P 2 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ________. 15.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a-b|=________. → 16.已知点 P 是抛物线 y=2x2+1 上的动点,定点 A(0,1),若点 M 分PA所成的比为 2,则 点 M 的轨迹是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) π 17.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期与解析式; 2 π 12 (3)若 f( α+ )= ,求 sinα. 3 12 5 18.(12 分)(2010 年湖南)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 19.(10 分)已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b=(-3,4)垂直的单位向量, 求 a 的终点坐标.

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20.(12 分)已知点 A(1,1),B(1,-1),C( 2cosθ, 2sinθ)(θ∈R),O 为坐标原点.





(1)若|B C-B A|= 2,求 sin2θ 的值; → → → (2)若实数 m,n 满足 mOA+nOB=O C,求(m-3)2+n2 的最大值.

21.(12 分)已知函数 f(x)=lg 义,求实数 a 的取值范围.

1+2x+4x· a ,其中 a 为常数,若当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意 a2-a+1

22.(12 分)(2011 年沈阳)△ABC 中,m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),m· n=sinB+sinC. (1)求证:△ABC 为直角三角形; (2)若△ABC 外接圆半径为 1,求△ABC 的周长的取值范围.

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湄潭中学 2012 届高三理科数学第五次月考试题答题卡
(审题:高中数学组) 第Ⅰ卷(共 60 分) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 题号 答案 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) (13) .(14) . (15) (16) . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分

三、解答题: (本大题有 6 小题,共 70 分. 注意:解答应写出文字说明、证明过程或演算步 .................. 骤 ) . (17)(本题 12 分)

(18)(本题 12 分)

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(19)(本题 12 分)

(20)(本题 12 分)

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(21)(本题 12 分)

(22)(本题 12 分)

湄潭中学 2012 届高三文科数学第五次月考答案
(命题:王先辉) (审题:高中数学组) 一、第 I 卷(选择题,共 60 分)选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是合题目要求的.)

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题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 B

5 A

6 B

7 B

8 A

9

10 B D

11 B

12 C

总分

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

1 2 -2 (14)[答案] 3 2 (16)[答案] y=6x +1
(13) [答案]

(15)[答案]

3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) π 17.(10 分)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 时取得最 12 大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f( α+ )= ,求 sinα. 3 12 5 2π [解] (1)T= . 3 π (2)由题设可知 A=4 且 sin(3× +φ)=1, 12 π π π 则 φ+ = +2kπ,得 φ= +2kπ(k∈Z). 4 2 4 π ∵0<φ<π,∴φ= . 4 π ∴f(x)=4sin(3x+ ). 4 2 π π 12 (3)∵f( α+ )=4sin(2α+ )=4cos2α= , 3 12 2 5 3 ∴cos2α= . 5 1 1 ∴sin2α= (1-cos2α)= . 2 5 5 ∴sinα=± . 5 18.(12 分)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. [解] (1)因为 f(x)=sin2x-(1-cos2x) π? = 2sin? ?2x+4?-1. 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 π π (2)由(1)知,当 2x+ =2kπ+ , 4 2 π 即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)取最大值 2-1.因此函数 f(x)取最大值时 x 的集合为 8 π ? ? ? ?x x=kπ+ ,k∈Z? . 8 ? ? ? 19.(12 分)已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b=(-3,4)垂直的单位向量, 求 a 的终点坐标. [解] 设 a 的终点坐标为(m,n),
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则 a=(m-3,n+1), ∵a⊥b, ? ① ?-3?m-3?+4?n+1?=0 ∴由题意? 2 2 ??m-3? +?n+1? =1 ② ? 1 由①得:n= (3m-13)代入②得 4 2 25m -150m+209=0, 19 11 m1= , m 2= , 5 5 解得 或 2 8 n1=- . n2=- . 5 5 19 2 11 8 ∴a 的终点坐标是( ,- )或( ,- ). 5 5 5 5 20.(12 分)已知点 A(1,1),B(1,-1),C( 2cosθ, 2sinθ)(θ∈R),O 为坐标原点.

? ? ?

? ? ?





(1)若|B C-B A|= 2,求 sin2θ 的值; → → → (2)若实数 m,n 满足 mOA+nOB=O C,求(m-3)2+n2 的最大值.

→ →





[解] (1)∵|B C-B A|=|A C|, ∴|A C|2=( 2cosθ-1)2+( 2sinθ-1)2=-2 2(sinθ+cosθ)+4. 2 ∴-2 2(sinθ+cosθ)+4=2,即 sinθ+cosθ= , 2 1 两边平方得 1+sin2θ= , 2 1 ∴sin2θ=- . 2 (2)由已知得:(m,m)+(n,-n)=( 2cosθ, 2sinθ),

?m+n= 2cosθ, ∴? ?m-n= 2sinθ,

?m= 22?cosθ+sinθ?, 解得? 2 ?n= 2 ?cosθ-sinθ?,
∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9, =-3 2(sinθ+cosθ)+10 π =-6sin(θ+ )+10, 4 π ∴当 sin(θ+ )=-1 时,(m-3)2+n2 取得最大值 16. 4 1+2x+4x· a 21.(12 分)已知函数 f(x)=lg 2 ,其中 a 为常数,若当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意 a -a+1 义,求实数 a 的取值范围. 1+2x+4x· a 1 3 [解] >0,且 a2-a+1=(a- )2+ >0, 2 2 4 a -a+1 1 1 ∴1+2x+4x· a>0,a>-( x+ x), 4 2 1 1 当 x∈(-∞,1]时,y= x与 y= x都是减函数, 4 2
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1 1 ∴y=-( x+ x)在(-∞,1]上是增函数, 4 2 1 1 3 -( x+ x)≤- , 4 2 4 3 3 ∴a>- ,故 a 的取值范围是(- ,+∞). 4 4 22.(12 分)△ABC 中,m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),m· n=sinB+sinC. (1)求证:△ABC 为直角三角形; (2)若△ABC 外接圆半径为 1,求△ABC 的周长的取值范围. [解] (1)证明:∵m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),m· n=sinB+sinC, ∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC. a2+c2-b2 a2+b2-c2 由正余弦定理得 a· +a· =b+c, 2ac 2ab 2 2 2 整理得(b+c)(a -b -c )=0. ∵b+c>0,∴a2=b2+c2,故△ABC 为直角三角形. (2)设△ABC 内角 A、B、C 所对边的边长分别是 a、b、c. π ∵△ABC 外接圆半径为 1,A= ,∴a=2, 2 π ∴b+c=2(sinB+cosB)=2 2· sin(B+ ). 4 π π π 3π ∵0<B< ,∴ <B+ < , 2 4 4 4 ∴2<b+c≤2 2,∴4<a+b+c≤2+2 2, 故△ABC 周长的取值范围为(4,2+2 2].

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2012-2013 学年度湄潭中学高三 第次月考(理科)数学试卷第Ⅰ卷(选择题

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