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【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9三角函数的简单应用 新人教A版必修4


§9

三角函数的简单应用

,

)

1.问题导航 (1)如图为电流强度 I 与时间 t 的函数关系的图像,根据图像探求下面的问题:

由图知电流强度 I 与时间 t 的函数关系式是哪种类型的函数? (2)结合三角函数的周期性, 思考下列物理方面的知识, 哪些可以用三角函数模型解决? ①单摆;②简谐振动;③机械波;④电磁学;⑤力学. (3)应用三角函数模型需注意什么? 2.例题导读 P58 例.通过本例学习,学会从实际问题中发现周期变化的规律,并将所发现的规律抽 象为恰当的三角函数模型,进而解决实际问题. 试一试:教材 P59 练习你会吗? 1.三角函数模型 周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型. 2.建立三角函数模型的步骤

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 π? ? t s 的函数关系式为:s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时 6? ? 间为( ) A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s 2π 解析:选 D.T= =1. 2π 2.某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin 160π t+110,其中 f(t)为血压,t 为时 间,则此人每分钟心跳的次数为( ) A.60 B.70 C.80 D.90

1

2π 1 1 解析:选 C.因为 T= = ,所以 f= =80. 160π 80 T 8 3. 用作调频无线电信号的载波以 y=asin(1.83×10 π t)为模型, 其中 t 的单位是秒, 则此载波的周期为________,频率为________. 2π 2π -8 解析:T= = ≈1.09×10 (s). 8 ω 1.83×10 π 1 f= =9.15×107(Hz).

T

答案:1.09×10 s 9.15×10 Hz 4.如图是一弹簧振子做简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移, 则这个振子的函数解析式是________.

-8

7

2π 解析:不妨设所求解析式为 y=Asin(ω t+φ ),(A>0,ω >0),则 A=2, =0.8, ω 5π ω= , 2 由于图像过点(0, 2), 所以 2sin φ = 2, π 结合图像可取 φ = , 4 5 π π ? t+ ?. 故 y=2sin? 4? ? 2 ? 5 π π? ? 答案:y=2sin? t+ ? 4? ? 2

解答三角函数应用题的基本步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题. (1)审题 审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言 表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题中采用 即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,在阅读过程中,注意挖 掘一些隐含条件. (2)建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上, 引进数学符号, 将试题中的非数学语言转化为数 学语言,然后根据题意,列出数量关系——建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义 域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了纯数学问题. (3)解模 运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决. (4)回归实际问题 应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解 出的结果要代入原问题中进行检验、评判.

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应用函数模型解题

k ? 2π ? 估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)的解析式是 D(t)= sin? (t-79)?+ 2 ?365 ? 12,其中 t 表示某天的序号,t=0 表示 1 月 1 日,依此类推,常数 k 与某地所处的纬度有 关. (1)若在波士顿,k=6,试作出函数 D(t)在 0≤t≤365 时的图像; (2)在波士顿,哪一天的白昼时间最长?哪一天最短? (3)估计在波士顿一年中白昼超过 10.5 小时的天数. (链接教材 P60 习题 1-9A 组 T1、T2、T3) ?2π ? [解] (1)当 k=6 时,D(t)=3sin? (t-79)?+12. ?365 ? ?2π ? 设 f(t)=3sin? (t-79)?,利用“五点法”,列出下表: 365 ? ? t 79 170 262 353 444 f(t) 0 3 0 -3 0

?2π ? 描点并连线,作出 f(t)=3sin? (t-79)?的简图,如虚线图.若 t=0, ?365 ? ?2π ? f(0)=3sin? (-79)? ?365 ? ≈3sin(-1.36)≈-2.9. 因为 f(t)的周期为 365,所以 f(365)≈-2.9. 将 y=f(t),t∈[0,365]的图像向上平移 12 个单位长度,得到 y=D(t)的图像,如实 线图. ? 2π ? (2)因为 k=6,所以 D(t)=3sin? (t-79)?+12.白昼时间最长的一天,即 D(t)取 ?365 ? 得最大值的一天,此时 t=170,对应的是 6 月 20 日(闰年除外).类似地,t=353 时,D(t) 取得最小值,即 12 月 20 日白昼时间最短. ?2π ? (3)由 D(t)>10.5,即 3sin? (t-79)?+12>10.5, ?365 ? 2 π 1 ? ? 得 sin? (t-79)?>- ,t∈[0,365], ?365 ? 2 所以 49<t<292,292-49-1=242, 即约有 242 天的白昼时间超过 10.5 小时.
3

方法归纳 (1)对于函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0),最大值为 A+b,最小值为 b-A. (2)解答有关实际问题时,一定要明确各个变量所代表的实际意义,同时自变量的取值 范围要符合实际意义.

1.(1)已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin?

?π x-5π ? ? 4 ? ?8

+20,x∈[4,16]. ①求该地区这一段时间内温度的最大温差; ②若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多 长时间? (2)

如图所示是一个半径为 10 个单位长度的水轮,水轮的圆心离水面 7 个单位长度.已知 水轮每分钟转 4 圈, 水轮上的点 P 到水面的距离 d 与时间 t 满足的函数关系是正弦曲线, 其 d-k t-h 表达式为 =sin .

b

a

①求正弦曲线的振幅; ②正弦曲线的周期是多少? ③如果从 P 点在水中浮现时开始计算时间,写出有关 d 与 t 的关系式; ④P 点第一次到达最高点大约要多少秒? π 5π ? 3π 3π ? π 5π π 解: (1)①x∈[4, 16], 则 x- ∈?- , ?.由函数图像易知, 当 x- = , 4 ? 8 4 ? 4 8 4 2 π 5π π 即 x=14 时,函数取最大值即最高温度为 30 ℃,当 x- =- ,即 x=6 时,函数取 8 4 2 最小值即最低温度为 10 ℃,所以最大温差为 30 ℃-10 ℃=20 ℃. 5π ? 5π ? 1 ?π ?π ②令 10sin? x- ?+20=15,可得 sin? x- ?=- ,而 x∈[4,16],所以 x= 4 ? 4 ? 2 ?8 ?8 26 . 3 5π ? 5π ? 1 34 ?π ?π 令 10sin? x- ?+20=25,可得 sin? x- ?= ,而 x∈[4,16],所以 x= . 8 4 8 4 3 ? ? ? ? 2 34 26 8 故该细菌的存活时间为 - = (小时). 3 3 3 (2)①A=r=10; 60 ②T= =15(s); 4 d-k t-h t-h ③由 =sin ,得 d=bsin +k.

b

a

a

2π 15 又 b=A=10,T= =2π a=15,所以 a= . 1 2π

a
因为圆心距水面 7 个单位长度, 所以 k=7.

4

2π (t-h) 所以 d=10sin +7. 15 将 t=0,d=0 代入上式,得 sin?

?2π h?=0.7, ? ? 15 ?

2π 由计算器计算得 h≈0.775,所以 h≈1.85. 15 2π (t-1.85) 所以 d=10sin +7. 15 2π (t-1.85) ④P 点第一次到达最高点时, d=17, 代入③中的解析式得 17=10sin + 15 7. 2π (t-1.85) 2π (t-1.85) π 即 sin =1,所以 = ,解得 t=5.6 s. 15 15 2

构建函数模型解题 游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心 O 距地面 40.5 m,半径 40 m.若从最低点 处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间变化,5 min 后到达最高点.从你登上摩天轮 时开始计时,请解答下列问题. (1)能求出你与地面的距离 y 与时间 t 的函数解析式吗? (2)当你登上摩天轮 8 min 后,你与地面的距离是多少? (3)当你第一次距地面 30.5 m 时,用了多长时间? (4)当你第四次距地面 30.5 m 时,用了多长时间? (链接教材 P58 例) [解] (1)如图所示,O 是摩天轮中心,作 ON 垂直地面于 N,交轮于 P,ON=40.5 m, OP=40 m.由题意可知,t=0 时,你在摩天轮的 P 点,经过 t min,旋转到 P1 处,P1 到地面 的距离为 P1M=y.作 P1Q 垂直 OP 于 Q.因为人从最低点旋转到最高点需 5 min,所以摩天轮的 π π π 旋转速度为 rad/min,经过 t min 时间摩天轮旋转的角度是 t rad,即∠P1ON= t rad. 5 5 5 由图不难看出: y=P1M=ON-OQ =40.5-OP1cos∠P1OQ ?π ? =40.5-40cos? t? ?5 ? π? ?π =40.5+40sin? t- ?. 2? ?5 即所求函数的解析式为 π? ?π y=40sin? t- ?+40.5. 2? ?5 π? ?π (2)令 t=8,得 y=40sin? ×8- ?+40.5≈28.14,即登上摩天轮 8 min 后与地面的 5 2? ? 距离约为 28.14 m. π? π ?π (3)令 y=30.5,得 40sin? t- ?=-10,即 cos t=0.25,得 t≈2.1,即当第一 2? 5 ?5 次距地面 30.5 m 时,用了约 2.1 min. (4)当第二次距地面 30.5 m 时,用了约 10-2.1=7.9 min.当第四次距地面 30.5 m 时, 用了 10+7.9=17.9 min. 当你登上摩天轮 100 s 后,你的朋友也在摩天轮的最低处登上摩天
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轮. 问你的朋友登上摩天轮多少时间后, 第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大? 求出这个最大值. π? π ?π 解:当你的朋友离地面高度为 y2=40sin? t- ?+40.5=-40cos t+40.5 时, 5 2 5 ? ? 5 由于 100 s= min,这时你自己离地面的高度为 3 π ? 5? y1=-40cos ?t+ ?+40.5. 5 ? 3? π ? 5?? ? π 所以 y1-y2=40?cos t-cos ?t+ ??. 3?? 5 5? ? 5 当两人所处位置的连线垂直于地面时,距离之差最大,此时 t= . 3 5 即当你的朋友登上摩天轮 min=100 s 后,第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差 3 最大,这个最大值为 40 m. 方法归纳 建立三角函数模型解决实际问题的步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 第二步,搜集整理数据,建立函数模型. 第三步,利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果. 第四步,将所得结论转译成实际问题的答案.

2.(1)如图所示,摩天轮的半径为 40 m,O 点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速转 动,每 3 min 转一圈,摩天轮上的 P 点的起始位置在最低点处.

①试确定在时刻 t 分时 P 点距离地面的高度 y; ②在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间 P 点距离地面超过 70 m? (2)某公司的职工活动室全天对职工开放,工作人员经过长期统计而得到的一天中从 0 时到 24 时记录的时间 t(小时)与到活动室活动人数 y 的关系如下表: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 100 150 100 50 100 120 100 50 100 ①选用一个函数模型来近似描述这个活动室的活动人数 y 与时间 t 的函数关系; ②若活动室的活动人数达到 140 人时需工作人员进入活动室帮助管理, 该工作人员应何 ? 3π 4? 时进入活动室?每天在活动室需要工作多长时间??sin ≈ ? 10 5? ? ?2π t-π ?+50. 解:(1)①由题意得 y=40sin? 2? ? 3 ? ?2π t-π ?+50>70, ②令 40sin? 2? ? 3 ? 2π π? 1 ? 所以 sin? t- ?> , 2? 2 ? 3 π 2π π 5π 所以 2kπ + < t- <2kπ + (k∈Z), 6 3 2 6

t(小时) y(人)

6

2π 2π 4π 所以 2kπ + < t<2kπ + (k∈Z), 3 3 3 所以 3k+1<t<3k+2(k∈Z).令 k=0 得 1<t<2. 因此,约有 1 分钟时间 P 点距离地面超过 70 m. (2)①以时间 t 为横坐标、人数 y 为纵坐标在直角坐标系中画出散点图,如图,根据图 像, 可以考虑用函数 y=Asin(ω t+φ )+b 来反映人数与时间之间的对应关系. 从数据和图 2π π 像可以得出:A=50,b=100,T=12,φ =0.由 T= =12,得 ω = . ω 6 πt 所以这个活动室的活动人数 y 与时间 t 的函数关系式为 y=50sin +100. 6

πt πt 4 πt 4 +100≥140,得 sin ≥ ,若 sin = ,在[0,24] 6 6 5 6 5 内可得 t1=1.8,t2=6-1.8=4.2,t3=12+1.8=13.8,t4=12+6-1.8=16.2,所以工作 人员应当在 t1=1.8 时即凌晨 1 点 48 分左右和 t3=13.8 即下午 1 点 48 分左右进入活动室. 每 天在活动室需要工作的时间为 t2-t1+t4-t3=2.4+2.4=4.8(小时). ②由 y≥140,即 y=50sin

思想方法

转化与化归思想 5 59.1 11 39.8 6 68.6 12 27.7

下表是芝加哥 1951~1981 年月平均气温(华氏). 月份 1 2 3 4 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 月份 7 8 9 10 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 以月份为 x 轴,x=月份-1,以平均气温为 y 轴. (1)描出散点图; (2)用正弦曲线去拟合这些数据; (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A; (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据. y y-46 ?π x? ?π x? ① =cos? ?;② =cos? ?; A A ? 6 ? ? 6 ? y-46 y-26 ?π x? ?π x? ③ =cos? ?;④ =sin? ?. 6 -A A ? ? ? 6 ? [解] (1)(2)如图所示.

7

(3)1 月份的气温最低为 21.4,7 月份的气温最高为 73.0,根据图知, =7-1=6,所 2 以 T=12. (4)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6, 所以 A=25.8. (5)因为 x=月份-1, 所以不妨取 x=2-1=1,y=26.0, y 26.0 π 代入①,得 = >1≠cos ,所以①错误; A 25.8 6 y-46 26.0-46 π 代入②,得 = <0≠cos , A 25.8 6 所以②错误;同理④错误,所以四个模型中③最适合这些数据. [感悟提高] (1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题,其实 施的过程就是转化与化归.根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物 理知识及其他相关知识建立关系式, 在此基础上将实际问题转化为三角函数问题, 实现问题 的数学化,即建立三角函数模型. (2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时,应注意的几点 ①反复阅读,通过关键语句领悟其数学本质; ②充分运用转化思想,深入思考,联想所学知识确定变量与已知量; ③结合题目的已知和要求建立数学模型,确定变量的性质与范围及要解决的问题的结 论. 1.如图所示为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是( )

T

A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 解析:选 B.由图知,该质点的振幅为 5 cm. 2.如图所示为一半径为 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知 水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ω x+φ )+2,则( ) 2π 15 A.ω = ,A=3 B.ω = ,A=3 15 2π 2π 15 C.ω = ,A=5 D.ω = ,A=5 15 2π 60 2π 2π 解析:选 A.因为 T= =15,所以 ω = = . 4 T 15 又 ymax=5,所以 A=3. π? ?π ?? 3.已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ??|φ |< ?的图像经过点(0,1),则该简谐运动 2? ?3 ?? 的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( ) π π A.T=6,φ = B.T=6,φ = 6 3

8

π π C.T=6π ,φ = D.T=6π ,φ = 6 3 2π 2π 1 π π 解析:选 A.T= = =6,将点(0,1)代入方程,有 sin φ = .因为- <φ < , ω π 2 2 2 3 π 所以 φ = . 6

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将 2 传播至( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选 C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期,故选 C. 2.一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位 ? g π? 移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos? t+ ?,其中 g 是重力加速度,当小球 3? ? l 摆动的周期是 1 s 时,线长 l 等于( ) A. C.

g
π

B. 2π
2

g

g
π 2π

D. 4π

g

2

解析:选 D.因为周期 T=

g l

,所以

g 2π g = =2π ,则 l= 2. l T 4π

3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数 F(t)= 50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( ) 2 A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] π t π 解析:选 C.由 2kπ - ≤ ≤2kπ + ,k∈Z,得 4kπ -π ≤t≤4kπ +π ,k∈Z.当 k 2 2 2 =1 时,得 t∈[3π ,5π ], 而[10,15]? [3π ,5π ],故在[10,15]上是增加的. 4.设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
9

t

经长期观察,函数 y=f(t)的图像可以近似地看成函数 y=k+Asin(ω t+φ )的图像, 下面函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) π A.y=12+3sin t,t∈[0,24] 6 ?π ? B.y=12+3sin? t+π ?,t∈[0,24] 6 ? ? π C.y=12+3sin t,t∈[0,24] 12 π? ?π D.y=12+3sin? t+ ?,t∈[0,24] 12 2? ? 解析:选 A.将 t=0 及 t=3 分别代入给定的四个选项 A,B,C,D 中,可以看出最能近 似表示表中数据间对应关系的函数是 A. 5.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 ︵ 周,点 P 所旋转过的弧AP的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图像大致是( )

l d α 解析:选 C.由 l=α R 可知 α = ,结合圆的几何性质可知 =Rsin ,所以 d=2Rsin R 2 2
α l l =2Rsin ,又 R=1,所以 d=2sin ,故结合正弦图像可知,选 C. 2 2R 2 6.如图所示,一个单摆以 OA 为始边,OB 为终边的角 θ (-π <θ <π )与时间 π? 1 ? t(s)满足函数关系式 θ = sin?2t+ ?,则当 t=0 时,角 θ 的大小及单摆频率 2? 2 ? 分别是________. 1 π 1 2π 解析:t=0 时,θ = sin = ,由函数解析式易知单摆周期为 =π ,故 2 2 2 2 1 频率为 . π 1 1 答案: , 2 π 7.如图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+ b(ω >0,0<φ <π ),则这段曲线的函数解析式为________.

解析:图中从 6 时到 14 时的图像是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图像. 1 2π π 所以 · =14-6,解得 ω = , 2 ω 8

10

1 1 由图知 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20, 2 2 π ? ? 这时 y=10sin? x+φ ?+20, ?8 ? 3 将 x=6,y=10 代入上式可取 φ = π . 4 综上所求的解析式为 3 ? ?π y=10sin? x+ π ?+20,x∈[6,14]. 4 ? ?8 3 ? ?π 答案:y=10sin? x+ π ?+20,x∈[6,14] 4 ? ?8 8.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针匀速地绕点 O 旋转,当时间 t =0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,若将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函 数,则 d=________,其中 t∈[0,60]. π π 解析:秒针 1 s 转 弧度,t s 后秒针转了 t 弧度,如图所示,(1)当 t=0 时,d=0, 30 30

d
(2)当 0<t<30 时,由 sin πt 2 πt = ,所以 d=10sin ;(3)当 t=30 时,d=10;(4)当 60 5 60

πt d 2π - 30 2 30<t<60 时,sin = , 2 5 π t? d ? 即 sin?π - ?= , 60 ? 10 ? π t? πt ? 所以 d=10sin?π - ?=10sin ;(5)当 t=60 时,d=0. 60 ? 60 ? πt 综上可知当 0≤t≤60 时,均有 d=10sin . 60

πt 60 9.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运 动规律.如图所示,轮胎以角速度 ω 做圆周运动,P0 为气针的初始位置, 气针(看作一点)到原点 O 距离为 r cm,求气针 P 的纵坐标 y 关于时间 t π 的函数关系,并求出 P 的运动周期,当 φ = ,r=ω =1 时,说明其图 6 像与函数 y=sin t 图像有什么关系? 解:过 P 作 x 轴的垂线(图略),设垂足为 M,则 MP 就是正弦线. 答案:10sin

2π 所以 y=rsin(ω t+φ ),因此 T= . ω π π ? π? 当 φ = ,r=ω =1 时,y=sin?t+ ?,其图像是将 y=sin t 的图像向左平移 个 6? 6 6 ?
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单位长度得到的,如图所示. 10.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了 在 24 小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时). 时间(时) 温度(℃) 0 36.8 2 36.7 4 36.6 6 36.7 8 36.8 10 37 12 37.2 14 37.3 16 37.4 18 37.3 20 37.2 22 37 24 36.8 (1)在直角坐标系中以时间为横轴,温度为纵轴,描述以上数据组对应的点的图像; (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据; (3)作出(2)中所选函数的图像. 解:(1)图像如下.

37.4+36.6 37.4-36.6 (2)设 t 时的体温 y=Asin(ω t+φ )+c, 则 c= =37, A= =0.4, 2 2 2π 2π π ω= = = . T 24 12 ?π ? 由 0.4sin? ×16+φ ?+37=37.4,得 12 ? ? 4π 5π ? ? sin? +φ ?=1,取 φ =- . 3 6 ? ? 5π ? ?π 故可用函数 y=0.4sin? t- ?+37 来近似描述这些数据. 6 ? ?12 (3)图像如下.

[B.能力提升]

1.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为
12

P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致是(

)

π 解析:选 C.因为 P0( 2,- 2),所以∠P0Ox= ,按逆时针转时间 t 后得∠POP0=t, 4 π π ? ? ∠POx=t- ,此时 P 点纵坐标为 2sin?t- ?, 4? 4 ? ? ? π ?? 所以 d=2?sin?t- ??, 4 ?? ? ? 当 t=0 时,d= 2,排除 A,D; π 当 t= 时,d=0,排除 B. 4 2. 据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 f(x)=Asin(ω x π? ? +φ )+B?A>0,ω >0,|φ |< ?的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 2? ? 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) π π ? ? A.f(x)=2sin? x- ?+7(1≤x≤12,x∈N+) 4? ?4 π? ?π B.f(x)=9sin? x- ?(1≤x≤12,x∈N+) 4? ?4 π C.f(x)=2 2sin x+7(1≤x≤12,x∈N+) 4 π π? ? D.f(x)=2sin? x+ ?+7(1≤x≤12,x∈N+) 4? ?4 ? ? ?A+B=9, ?A=2, 解析:选 A.由? 得? ?-A+B=5, ? ?B=7, ? 又 T=2(7-3)=8. 2π 2π π 所以 ω = = = , T 8 4 ?π ? 所以 f(x)=2sin? x+φ ?+7, 4 ? ? 3π ? ? 由 f(3)=9,得 sin? +φ ?=1. 4 ? ? 3π π 所以 +φ = +2kπ (k∈Z). 4 2 π 又因为|φ |< , 2

13

π? π ?π 所以 φ =- ,所以 f(x)=2sin? x- ?+7. 4? 4 ?4 3.如图,半圆的直径为 2,A 为直径 MN 的延长线上一点,且 OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为边作等边△ABC,设∠AOB=x 时,S 四边形 OACB 等 于________. 解析:如图,S 四边形 OACB=S△AOB+S△ABC.过点 B 作 BD⊥MN 于 D, 则 BD=BOsin(π -x),即 BD=sin x. 1 所以 S△AOB= ×2sin x=sin x. 2 因为 OD=BOcos(π -x)=-cos x,

所以 AB =BD +AD 2 2 =sin x+(-cos x+2) =5-4cos x. 1 5 3 所以 S△ABC= AB·ABsin 60°= - 3cos x. 2 4 5 3 所以 S 四边形 OACB=sin x- 3cos x+ . 4 5 3 答案:sin x- 3cos x+ 4 4.如图,圆 O 的半径为 2,l 为圆 O 外一条直线,圆心 O 到直线 l 的距离|OA|=3,P0 π 为圆周上一点,且∠AOP0= ,点 P 从 P0 处开始以 2 秒一周的速度绕点 O 在圆周上按逆时针 6 方向作匀速圆周运动.

2

2

2

(1)1 秒钟后,点 P 的横坐标为________. (2)t 秒 钟 后 , 点 P 到 直 线 l 的 距 离 用 t 可 以 表 示 为 ________________________________________________________________________. 解析:(1)1 秒钟后,点 P 从 P0 处绕点 O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了 半周,此时点 P 与 P0 关于原点对称,从而点 P 的横坐标为- 3. (2)由题意得,周期为 2,则 t 秒钟后,旋转角为π t, π? ? 则此时点 P 的横坐标为 2cos?π t+ ?, 6? ? 所以点 P 到直线 l 的距离为 π? ? 3-2cos?π t+ ?,t≥0. 6? ? π? ? 答案:(1)- 3 (2)3-2cos?π t+ ?(t≥0) 6? ? 5.
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一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图).它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角 速度 ω rad/s 做圆周运动.已知绳子的长度为 l,求: (1)P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数解析式; (2)点 P 的运动周期和频率; π π (3)如果 ω = rad/s,l=2,φ = ,试求 y 的最值; 6 4 (4)在(3)中,试求小球到达 x 轴的非负半轴所需的时间. 解:(1)y=lsin(ω t+φ ),t∈[0,+∞). 2π 1 ω (2)由解析式得,周期 T= ,频率 f= = . ω T 2π π π (3)将 ω = rad/s,l=2,φ = 代入解析式, 6 4 π? ?π 得到 y=2sin? t+ ?,t∈[0,+∞). 4? ?6 2π 2π 得最小正周期 T= = =12. ω π 6 当 t=12k+1.5,k∈N 时,ymax=2, 当 t=12k+7.5,k∈N 时,ymin=-2. (4)设小球经过时间 t 后到达 x 轴非负半轴, π π 令 t+ =2π ,得 t=10.5, 6 4 所以当 t∈[0,+∞)时,t=12k+10.5,k∈N, 所以小球到达 x 轴非负半轴所需要的时间为 10.5+12k,k∈N. 6. (选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训, 该海滨区域的海浪高度 y(米) 随着时间 t(0≤t≤24 单位:小时)而周期性变化.为了了解变化规律,该队观察若干天后, 得到每天各时刻 t 的浪高数据平均值如下表:

y(米) t(时)

1.0 0

1.4 3

1.0 6

0.6 9

1.0 12

1.4 15

0.9 18

0.4 21

1.0 24

(1)试画出散点图; (2)观察散点图,从 y=at+b,y=Asin(ω t+φ )+b,y=Acos(ω t+φ )+b 中选择一 个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式; (3)如果确定当浪高不低于 0.8 米时才能进行训练, 试安排白天进行训练的具体时间段. 解:(1)散点图如图.

(2)由散点图可知,选择 y=Asin(ω t+φ )+b 函数模型较为合适.
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2 2π π 由图可知 A=1.4-1.0=0.4= ,T=12,b=1,ω = = , 5 T 6 2 ?π t ? 此时解析式为 y= sin? +φ ?+1,以点(0,1.0)为“五点法”作图的第一关键点则 5 ? 6 ? π 有 ×0+φ =0,所以 φ =0. 6 2 πt 所求函数的解析式为 y= sin +1(0≤t≤24). 5 6 2 πt 4 (3)由 y= sin +1≥ (0≤t≤24), 5 6 5 πt 1 得 sin ≥- , 6 2 π π t 7π 则- +2kπ ≤ ≤ +2kπ ,(k∈Z), 6 6 6 得-1+12k≤t≤7+12k,(k∈Z). 令 k=0,1,2, 从而得 0≤t≤7 或 11≤t≤19,或 23≤t≤24, 所以应在白天 11 时~19 时进行训练.

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