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2008高考海南宁夏数学理科试卷含详细解答(全word版)080629


安徽高中数学

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2008 年普通高等学校统一考试(海南、宁夏卷) 数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知函数 y ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0) )在区间 ?0, 2?? 的图像如下:那么 ? =( y 1 O 1 A.1 B.2 C. )

1 2

D.

1 3 2? 2 T



x

解:由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ?

2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2i B. ? 2 i

z 2 ? 2z =( z ?1
C. 2

) D. ? 2

解:∵ z ? 1 ? i ,∴

z 2 ? 2 z (1 ? i)2 ? 2(1 ? i) ?2 ? ? ? ?2i ,故选 B z ?1 1 ? i ?1 ?i


3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

开始 输入 a,b,c

解:设顶角为 C,因为 l ? 5c,∴ a ? b ? 2c ,由余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 4c 2 ? 4c 2 ? c 2 7 cos C ? ? ? 2ab 2 ? 2c ? 2c 8

x?a
b?x
) 否 是 是

S 4.设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 4 =( a2
A. 2 B. 4 C.

x?b

15 2

D.

17 2

否 输出 x 结束

x?c

a1 (1 ? q 4 ) S 1 ? 24 15 1? q 解: 4 ? ? ? a2 a1q ?2 2
5.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选

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项中的( ) A. c ? x B. x ? c C. c ? b D. b ? c 解:变量 x 的作用是保留 3 个数中的最大值,所以第二个条件结构的判断框内语句为“ c ? x ” , 满足“是”则交换两个变量的数值后输出 x 的值结束程序,满足“否”直接输出 x 的值结束程序。 6.已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 , 2, 3) 都成立的 x 取值范围是( A. ? 0, ? )

? ?

1? a1 ?
2

B. ? 0, ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?

解: (1 ? ai x) ? 1 ? ai x ? 2ai x ? 0 ? ai x( x ?
2 2 2

2 2 ) ? 0 ,所以解集为 (0, ) , ai ai



2 2 2 ? ? ,因此选 B。 a1 a2 a3
) A.

7.

3 ? sin 70 ?( 2 ? cos 2 10

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

3 ? sin 70 3 ? cos 20 3 ? (2cos 2 20 ? 1) ? ? ? 2 ,选 C。 解: 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10
8.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.? ? ? R , b ? ? a )

D.存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1a ? ?2b ? 0 解:注意零向量和任意向量共线。 9.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且 每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( ) A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种
2 解:分类计数:甲在星期一有 A4 ? 12 种安排方法,甲在星期二有 A32 ? 6 种安排方法, 2 甲在星期三有 A2 ? 2 种安排方法,总共有12 ? 6 ? 2 ? 20 种

10.由直线 x ? A.

15 4

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 17 1 B. C. ln 2 D. 2 ln 2 4 2



解:如图,面积 S ?

?

2

1 2

1 1 ? ln x |2 ? 2ln 2 1 ? ln 2 ? ln x 2 2

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11.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, ?1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和 取得最小值时,点 P 的坐标为( A. ? , ? 1? ) C. (1 , 2)

?1 ?4

? ?

B. ? , 1?

?1 ? ?4 ?

, ? 2) D. (1

解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图

PF ? PQ ? PS ? PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得,
此时 P, Q 的纵坐标都是 ?1 ,所以选 A。 (点 P 坐标为 ( , ?1) ) 12.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在 该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, 则 a+b 的最大值为 ( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 )

1 4

解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

m2 ? n2 ? k 2 ? 7 , m2 ? k 2 ? 6 ? n ? 1 1 ? k ? a , 1 ? m ? b ,所以 (a ?1) ? (b ?1) ? 6
2 2
2 2

k n m

? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a2 ? b2 ? 16
? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?11) , , b ? (4, 1, 0) , ?a ? b ? 13.已知向量 a ? (0,

29 且 ? ? 0 ,则 ? ?



2 2 解:由题意 ?a ? b = (4,1 ? ?, ?) ? 16 ? (? ?1) ? ? ? 29(? ? 0) ? ? ? 3

14.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与 9 16


双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

解:双曲线的右顶点坐标 A(3, 0) ,右焦点坐标 F (5, 0) ,设一条渐近线方程为 y ?

4 x, 3

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4 ? y ? ( x ? 5) ? 32 ? 3 建立方程组 ? 2 ,得交点纵坐标 y ? ? ,从而 S 2 15 ?x ? y ?1 ? ? 9 16
9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

AFB

?

1 32 32 ? 2? ? 2 15 15

15.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 .

解:令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有

h a 2 ? ( )2 ? R , 且 2

? 3 2 9 ?a ? 1 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ? 2 ? R ? 1 ? V ? ? R3 ? ? ? 4 8?? 3 3 ?6a ? 3 ? ?h ? 3 ?
16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ;② . 解:1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度 普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? . (Ⅰ)求 DP 与 CC ? 所成角的大小; D? (Ⅱ)求 DP 与平面 AA?D ?D 所成角的大小. 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . 设 DH ? (m,m, DA ?? 60 , 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH, z

A?

C?
P

B?
C B

D A

D? A?
D A x

H P

C?
B?
C B y

, DH ? 由 DA DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m2 ?1 .解得 m ?

2 , 2

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ? 2 2 ? 2 2 2 ? , , 1 cos ? DH , CC ?? ? 所以 DH ? ? . (Ⅰ)因为 , ? ? 2 2 ? 2 1 ? 2 ? ?

CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . 所以 ? DH,
(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 2 DC ?? ? , 所以 ? DH, DC ?? 60 . 因为 cos ? DH, 2 1? 2

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可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 . 19. (本小题满分 12 分) A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(Ⅰ)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求 方差 DY1,DY2; (Ⅱ)将 x(0 ≤ x ≤100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目所 得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x ) 的最小值,并指出 x 为何值时, f ( x ) 取到最小值. (注: D(aX ? b) ? a DX )
2

解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ) f ( x) ? D ?
2

? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

? x ? ? 100 ? x ? ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ?
4 ? x 2 ? 3(100 ? x) 2 ? 2 ? ? 100 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) , 2 100 600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 当x? 2? 4 ?

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20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 ? =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛 a2 b2
5 . 3

物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= (Ⅰ)求 C1 的方程;

(Ⅱ) 平面上的点 N 满足 MN ? MF 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A, B 两点, 若 OA OB ? 0 , 1 ? MF2 , 求直线 l 的方程. 20.解: (Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1 , 0) .
2

设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

5 5 2 2 6 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b 2 2 ?b ? a ? 1. ?
消去 b 并整理得
2

1 9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去) . 3

故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

O, (Ⅱ)由 MF 1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 1 ? MF 2 ? MN 知四边形 MF
因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . 2 3
2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12, 2 2 由? 消去 y 并化简得 9 x ? 16mx ? 8m ? 4 ? 0 . ? ? y ? 6( x ? m),

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?

16m 8m2 ? 4 , x1 x2 ? . 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2

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?7

1 8m2 ? 4 16m ? 6m ? 6m2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9 9 9

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 .

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值. 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? ?a ? 1, ? 2?b ? 4 于是 ? 解得 ? 或? ?a ? 1 2 ? 0, ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ? ? 3 ? ? (2 ? b)
1 . x ?1 1 (Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 都是奇函数. x 1 所 以 函 数 g ( x) ? x ? 也 是 奇 函 数 , 其 图 像 是 以 原 点 为 中 心 的 中 心 对 称 图 形 . 而 x 1 f ( x) ? x ? 1 ? ? 1 .可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11) , 平移,即得到函数 f ( x) 的 x ?1
因 a,b ? Z ,故 f ( x ) ? x ?

, 为中心的中心对称图形. 图像,故函数 f ( x ) 的图像是以点 (11)
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

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y?

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

令 x ?1得 y ?

? x ?1? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1,0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 , 2 x0 ?1) .

,. 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11)
从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM ,垂足为 P. (Ⅰ)证明: OM OP ? OA ;
2

(Ⅱ)N 为线段 AP 上一点, 直线 NB 垂直直线 ON , 且交圆 O 于 B 点. 过 B 点的切线交直线 ON 于 K .证明:∠OKM ? 90 . 解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知, B A N P K M

O

OA ? OM OP .
2

(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK . 同(Ⅰ) ,有 OB ? ON OK ,又 OB ? OA ,
2

所以 OP OM ? ON OK ,即 又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90 .

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程

? ?x ? ? x ? cos ?, ? 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数方程. C1? 与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 .
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? ? ? C1 : ? ( ? 为参数) ; C2 : ? 1 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?
2 2

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x ? 4 y ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 8 ? x ? 4 . (Ⅰ)作出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 . 解:

y

1 O 1

x

? 4, ? (Ⅰ) f ( x ) ? ? ?2 x ? 12, ? ?4 ?
图像如下:

x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.
y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 , 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 .

5) . 由函数 f ( x ) 图像可知,原不等式的解集为 (?∞,

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