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2015-2016学年高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 3 反证法课时作业 北师大版选修 2-2

一、选择题 1.反证法是( )

A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法 B.对其否命题的证明 C.对其逆命题的证明 D.分析法的证明方法 [答案] A [解析] 反证法是先否定结论,在此基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定原结 论的真实性. 2.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案] C 3.应用反证法导出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用:①结论相反判断, 即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.( A.①② C.①②③ [答案] C 4.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( A.若 x∈M,则 x?N B.若 x∈N,则 x∈M C.存在 x1∈M 且 x1∈N,又存在 x2∈M 且 x2?N D.存在 x0∈M 且 x0?N [答案] D [解析] 按定义,若 M 是 N 的子集,则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素.所以, 要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M,但 x0?N.故选 D. 5.“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”的否定为( A.自然数 a、b、c 都是奇数
1

)

)

B.①②④ D.②③

)

)

B.自然数 a、b、c 都是偶数 C.自然数 a、b、c 中至少有两个偶数 D.自然数 a、b、c 都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数,其二是至少有两个偶数. 6.若 a、b、c 不全为零,必须且只需( A.abc≠0 B.a、b、c 中至少有一个为 0 C.a、b、c 中只有一个是 0 D.a、b、c 中至少有一个不为 0 [答案] D [解析] a、b、c 不全为零,即 a、b、c 中至少有一个不为 0. 二、填空题 7.某同学准备用反证法证明如下问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|< .那么 2 其反设应该是__________________. [答案] 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,则|f(x1)- )

f(x2)|≥

1 2

[解析] 根据题意知, 反证法解题是从假设原命题不成立开始, 把结论的否定作为条件, 连同其他条件一起经过推断,得出与已知条件或已有原理相矛盾,从而肯定原命题的正确 性.这里进行假设时,注意把函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1)剥离出来作为已知 条件. 8.用反证法证明命题“若 p1p2=2(q1+q2),则关于 x 的方程 x +p1x+q1=0 与 x +p2x +q2=0 中,至少有一个方程有实数根”时,应假设为________. [答案] 两个方程都没有实数根 三、解答题 9.求证:一个三角形中至少有一个内角不小于 60°. [证明] 已知∠A、∠B、∠C 为△ABC 的三个内角. 求证:∠A、∠B、∠C 中至少有一个不小于 60°. 证明:假设△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 都小于 60°, 即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°, 三式相加得∠A+∠B+∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾,
2
2 2

∴∠A、∠B、∠C 都小于 60°的假设不能成立. ∴一个三角形中,至少有一个内角不小于 60°. 1 1 1 10.已知非零实数 a、b、c 构成公差不为 0 的等差数列,求证: 、 、 不能构成等差

a b c

数列. 1 1 1 2 1 1 [证明] 假设 、 、 能构成等差数列,则由 = + ,于是得 bc+ab=2ac.①

a b c

b a c

而由于 a、b、c 构成等差数列,即 2b=a+c.② 所以由①②两式得,(a+c) =4ac,即(a-c) =0,于是得 a=c,这与 a、b、c 构成公 1 1 1 差不为 0 的等差数列矛盾.故假设不成立,因此 、 、 不能构成等差数列.
2 2

a b c

一、选择题 1.(2014·济南模拟)设 x,y,z>0,则三个数 + , + , + ( A.都大于 2 C.至少有一个不小于 2 [答案] C [解析] 假设这三个数都小于 2,则三个数之和小于 6,又 + + + + + =( + ) +( + )+( + )≥2+2+2=6,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于 2.另取 x=y =z=1,可排除 A、B. 2.(2014·山东理,4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少 有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 [答案] A [解析] 至少有一个实根的否定为:没有实根. 反证法的假设为原命题的否定. 1 2 3.设 a、b、c 为一个三角形的三边,S= (a+b+c),若 S =2ab,试证 S<2A.用反证 2 法证明该题时的假设为( A.S ≠2ab
2 3 3 3 3 3

y y z z x x x z x y z y

)

B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不大于 2

y y z z x x x z x y z y

y x x y

y z z y

z x x z

)

) B.S>2a
3

C.S≥2a [答案] C

D.S≤2a

[解析] 对“<”的否定应为“≥”,故选 C. 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 [答案] D [解析] 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形, 假设△A2B2C2 是锐角三角形. )

? ? π 由?sinB =cosB =sin? -B ?, 2 π ? ?sinC =cosC =sin? 2 -C ?,
π sinA2=cosA1=sin? -A1?, 2
2 1 1 2 1 1

? ? π 得?B = -B , 2 π ? ?C = 2 -C .
A2= -A1,
2 1

π 2

2

1

π 那么, A2+B2+C2= , 这与三角形内角和为 180°相矛盾. 所以假设不成立, 所以△A2B2C2 2 是钝角三角形. 二、填空题 5 . “ 任 何 三 角 形 的 外 角 都 至 少 有 两 个 钝 角 ” 的 否 定 应 是 __________________________________. [答案] 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角. 6.设有一组圆 Ck:(x-k+1) +(y-3k) =2k (k∈N ).下列四个命题: (1)存在一条定直线与所有的圆均相切 (2)存在一条定直线与所有的圆均相交 (3)存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . (4)所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是________.(写出所有真命题的代号) [答案] (2)、(4) [解析] 判断(1)是否正确用反证法:因为 Ck:(x-k+1) +(y-3k) =2k (k∈N )表示 以(k-1,3k)为圆心, 以 2k 为半径的一组圆, 假若存在一条直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0) 与所有的圆均相切,则必有 |A?k-1?+3Bk+C|
2 2 2 2 2 4 * 2 2 4 *

A2+B2

= 2k 对于任意 k∈N 恒成立,即

2

*

4

2?A +B ?k -A(k-1)-3Bk-C=0 恒成立,或 2?A +B ?k +A(k-1)+3Bk+C=0 恒 成立,这是不可能的,故(1)不正确. (2)存在直线 y=3(x+1)过所有圆的圆心. (3)由于半径 2k 随着 k 的无限增大而增大, 故不存在这样的直线与所有的圆均不相交. (4)由于将 x=0,y=0 代入方程中得不到恒等式,故所有的圆不经过原点是正确的. 三、解答题 7.已知 a、b 是正有理数, a、 b是无理数,证明: a+ b必为无理数. [证明] 假设 a+ b为有理数,记 p= a+ b,因为 a、b 是正有理数,所以 p>0.将
2

2

2

2

2

2

2

p2+b-a a=p- b两边平方,得 a=p +b-2p b,所以 b= .因为 a、b、p 均为有理数, 2p
2

所以 b必为有理数,这与已知条件矛盾,故假设错误. 所以 a+ b必为无理数. [点评] 数学中的有些命题,所给条件不足以从正面证明结论正确,可采用反证法,否 定结论,由此推出与已知或假设矛盾,证得结论. 8.已知函数 f(x)=a +
x

x-2 (a>1). x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负实数根. [分析] (1)可直接用定义证明单调性;(2)应用反证法要注意准确作出反设. [证明] (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0.

ax2-x1>1,且 ax1>0,所以 ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.
又因为 x1+1>0,x2+1>0, 所以 = =

x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? ?x1+1??x2+1? 3?x2-x1? >0. ?x1+1??x2+1?

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- 又 0<ax0<1,所以 0<-

x0-2 . x0+1

x0-2 1 <1,即 <x0<2,与假设矛盾. x0+1 2

故 x0<0 不成立,故方程 f(x)=0 没有负实数根.
5

[点评] 本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明,即 x< -1 时,f(x)>0,-1<x≤0 时,f(x)≤f(0)=-1,故当 x<0 时,f(x)≠0,所以无负实数根.

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