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江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题


2012--2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学试题(文科)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题一第20题,共20题)。本卷满分160分,考试时间为 120分钟。考试结束后,请将本卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题纸的规定位置。 3.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它位 置作答一律无效。 4.如需作图,须用28铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:
球的表面积为 S ? 4?R ,其中 R 表示球的半径.
2

锥体的体积 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题。每小题 5 分。共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上 1.命题“ ?x ? R, x ? x ? 3 ≥ 0 ”的否定是
2

. . .

2.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为 3.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

4.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9




5.已知球 O 的半径为 3,则球 O 的表面积为

6.若一个正三棱锥的高为 5,底面边长为 6,则这个正三棱锥的体积为
2 7.函数 f ( x) ? x 在点(1, f (1) )处的切线方程为





8 . 若 直 线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与 直 线 x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 平 行 , 则 实 数 a 的 值 等 于
2


2 2 2

9 . 已 知 圆 x ? y ? m 与 圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相 内 切 , 则 实 数 m 的 值 为 .
-1-

10.已知直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于 A , B 两点,则线段 AB 的垂 直平分线的方程是 。

11 . 已 知 两 条 直 线 a1 x ? b1 y ? 4 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 4 ? 0 都 过 点 A (2 , 3) , 则 过 两 点

P 1 (a1 , b1 )




P2 (a2 , b2 )

的 .



线







x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P 是椭圆上的动点, 12.已知 F1 是椭圆 25 9
A(1,1) 是 一 定 点 , 则 PA ? PF1 的 最 大 值
为 .

13. 如图, 已知 AB ? 2c (常数 c ? 0 ), 以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD , 且 AB // CD , 若椭圆以 A , B 为焦点,且过 C , D 两点,则当梯形 ABCD 的周长最大时,椭圆的离心 率为 14.设函数 f ( x) ? .

1 2 , g ( x) ? ax ? bx ,若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有 x


两个不同的公共点,则当 b ? (0,1) 时,实数 a 的取值范围为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸制定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AD , AB 的中点. (1)求证: EF ∥平面 CB1 D1 ; (2)求证:平面 CAA 1C1 ⊥平面 CB1 D1 .

16.(本小题满分 l4 分) 已知圆 C 经过三点 O(0,0) , A(1,3) , B(4,0) .
-2-

(1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P(3,6) 且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程. 17.(本小题满分 14 分)

( x ? 2)(x ? 3) ≤ 0 ,命题 q: 1 - m ≤ x ≤1 ? m . 已知 m ? 0 ,命题 p:
(1)若 ? q 是 ? p 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 7 ,“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 l6 分) 现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁 皮盒, 要求材料利用率为 l00%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起, 求此时铁皮盒的体积; 方案二:如图(2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底 面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明如 何剪拼? 。

-3-

19.(本小题满分 l6 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A , B , a2 b2

离心率为

3 ,直线 l:x ? 3 为椭圆的一条准线. 3

(1)求椭圆的方程; (2)若 C( 3,,3) , D(? 3,,3) , Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 CD 于点 M , N . (i)当直线 AQ 的斜率为

1 时,求 ?AMN 的面积; 2

(ii)求证:对任意的动点 Q , DM ? CN 为定值.

20.(本小题满分 l6 分)
3 2 已知函数, f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 .

(1)求实数 c , d 的值; (2)若过点 P(?1,?3) 可作出曲线 y ? f ( x) 的三条不同的切线,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 x ? [1,2] ,均存在 t ? (1,2] ,使得 et ? ln t ? 4 ≤ f ( x) ? 2 x ,试求实数 b 的 取值范围.

-4-

2012—2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学(文)参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ?x ? R , x 2 ? x ? 3 ? 0 6. 15 3 7. 2 x ? y ? 1 ? 0 2. 45o 8. 1 3. (1,0) 9. 1 4. y =

3 x 2

5. 36?

10. 3 x - y - 3 = 0 14. (?

11. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 二、解答题:

12. 10 + 10

13. 3 ? 1

2 3 2 3 , ) 9 9

15. (1)连结 BD ,在 △ ABD 中, E 、 F 分别为棱 AD 、 AB 的中点,故 EF // BD , 又 BD // B1 D1 ,所以 EF // B1 D1 , ……………2 分 A1 D1 B1 C1

又 B1 D1 ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 , 所以直线 EF ∥平面 CB1D1 . ………………6 分

(2)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,则 A1C1 ? B1 D1 , ……………8 分 A E D F B C

又 CC1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , 则 CC1 ? B1 D1 ,………10 分

(第 15 题图)

又 AC 1 1 ? CC1 ? C1 , A 1C1 ? 平 面 CAA 1C1 , CC1 ? 平 面 CAA 1C1 , 所 以 B1 D 1 ? 平面

CAA1C1 ,又 B1 D1 ? 平面 CB1D1 ,所以平面 CAA1C1 ? 平面 CB1D1 . ……………14 分

ì F = 0, ? ? ? 16. (1)设圆 C 的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,则 í 1 + 9 + D + 3E + F = 0, …3 分 ? ? ? ? ? 16 + 4 D + F = 0,
2 2

解得 D = - 4 , E = - 2 , F = 0 ,

……………………………………6 分

所以圆 C 的方程为 x2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0 . ……………………………………7 分 (2)① 若直线斜率不存在,直线方程为 x = 3 ,经检验符合题意; ………9 分

② 若直线斜率存在,设直线斜率为 k ,则直线方程为 y - 6 = k (x - 3) , 即 kx - y - 3k + 6 = 0 ,则

5- k 1+ k
2

= 1 ,解得 k =

12 , 5

……………12 分

所以直线方程为 12 x - 5 y - 6 = 0 . 综上可知,直线方程为 x = 3 和 12 x - 5 y - 6 = 0 . 17. (1) p : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p : x ? x ? 2 ? x ? 3 ,

…………………14 分

q :1-

? ? ……………………………2 分 m ≤ x ≤ 1 + m , q : x ? ?x 1 ? m ? x ? 1 ? m?,
-5-

? ?q 是 ?p 的必要条件, ? q 是 p 的充分条件,

? ?x 1 ? m ? x ? 1 ? m? ? ?x ? 2 ? x ? 3?,
?1 ? m ? ?2 ,解得 0 ? m ? 2 . ? m > 0, ? ? ?1 ? m ? 3
(2)? m = 7 , ? q : x ? x ? 6 ? x ? 8 ,

………………………5 分 ………………………7 分

?

?

? “ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,? 命题 p , q 一真一假,
ì ? ? - 2 #x 3 当 p 真 q 假时, í ,解得 x ? ? , ? ? ? x < - 6或x > 8 ì ? ? x < - 2或x > 3 ,解得 - 6 ? x 当 p 假 q 真时, í ? ? ? - 6 #x 8
…………………………10 分

- 2或3< x

8 , ………13 分

综上可得,实数 x 的取值范围 - 6 ? x - 2 或 3 < x 8 .…………………………14 分 18.方案一:设小正方形的边长为 x ,由题意得 4 x ? 60 , x ? 15 , 所以铁皮盒的体积为 65 ? 30 ?15 ? 29250(cm3 ) . …………………………4 分 方案二:设底面正方形的边长为 x(0 ? x ? 60) ,长方体的高为 y ,

4800 ? x2 , 4x 4800 ? x2 1 所以铁皮盒体积 V ( x) ? x2 y ? x2 ? ? x3 ? 1200x , ……………………10 分 4x 4 3 , V / ( x) ? ? x2 ? 1200 ,令 V / ( x) ? 0 ,解得 x ? 40 或 x ? ?40 (舍) 4 当 x ? (0, 40) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? (40,60) 时, V ?( x) ? 0 ,所以函数 V ( x) 在 x ? 40 时取得
由题意得 x2 ? 4 xy ? 4800 ,即 y ? 最大值 32000cm3 .将余下材料剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮 盒的侧面即可.…………………………………………………………………15 分 答:方案一铁皮盒的体积为 29250cm3 ;方案二铁皮盒体积的最大值为 32000cm3 ,将余下 材料剪拼成四个长 40cm 宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可.16 分

? a2 ?3 ? 2 2 ? x2 y2 ?a ? 3 ? a ? b ? ? 1 .4 分 19. (1)由题意知, ? ,解得 ? 2 ,故椭圆的方程为 3 2 ? ?b ? 2 ? a 2 ? b2 3 ? ? a 3 ?
(2)由(1)知 A(? 3,0) , B( 3,0) , y 设 Q( x0 , y0 ) , y0 ? 0 , 则 2 x0 2 ? 3 y0 2 ? 6 ,直线 AQ 的方程为 D N Q C M

y?

y0 x0 ? 3

( x ? 3) ,令 y ? 3 ,

A

O

B

x

-6-

(第 19 题图)

得M(

3x0 ? 3 y0 ? 3 , 3) , y0
y0 x0 ? 3 ( x ? 3) ,令 y ? 3 ,得 N (

直线 BQ 的方程为 y ?

3x0 ? 3 y0 ? 3 , 3) , y0

1 ? y0 ? 1 ? (i)当直线 AQ 的斜率为 时,有 ? x0 ? 3 2 ,消去 x 0 并整理得, 11y02 ? 8 3 y0 ? 0 , 2 ?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 0 ? 0
解得 y0 ?

8 3 或 y0 ? 0 (舍) , 11
3 3 ? MN ? ? 2 2 ? 3? 3x0 ? 3 y0 ? 3 ? 3 ? y0
3x0 ? 3 ? y0

…………………10 分

所以 △ AMN 的面积 S△ AMN ?

3x0 ? 3 y0 ? 3 3x0 ? 3 y0 ? 3 ? y0 y0
………………12 分

3 ? y0 9 ? . y0 8

(ii) DM ?

3x0 ? 3 , CN ? y0

3x0 ? 3 y0 ? 3 ? 3 ? y0

3x0 ? 3 , y0

所以 DM ? CN ?

3x0 ? 3 3x0 2 ? 9 3x0 2 ? 9 9 ? ? ? . 6 ? 2 x0 2 y0 y0 2 2 3

9 . ………………16 分 2 ) 2 ? f ' ( 0? 20 . ( 1 ) f '( x) ? 3x2 ? 2bx ? c , 由 题 意 得 , 切 点 为 (0, ?1) , 则 ? ,解得 f(0) ?? 1 ? ?c ? 2 . ……………………………………………………………………………4 分 ? ?d ? ?1 (2)设切点为 Q( x0 , y0 ) ,则切线斜率为 k ? 3x02 ? 2bx0 ? 2 , y0 ? x03 ? bx0 2 ? 2 x0 ? 1,
所以对任意的动点 Q , DM ? CN 为定值,该定值为 所以切线方程为 y ? (3x02 ? 2bx0 ? 2)( x ? x0 ) ? y0 , 即 y ? (3x02 ? 2bx0 ? 2) x ? 2 x03 ? bx0 2 ? 1 , ………………6 分
2 又切线过点 P (?1, ?3) ,代入并整理得 x0 ? ?2 x0 ? (b ? 3) x0 ? 2b ? ? ? 0,

由题意,方程 2 x02 ? (b ? 3) x0 ? 2b ? 0 有两个不同的非零实根, ……………8 分

?(b ? 3)2 ? 16b ? 0 ?b ? 1或b ? 9 所以 ? ,解得 ? , ?b ? 0 ?2b ? 0
故实数 b 的取值范围为 (??,0) ? (0,1) ? (9, ??) . …………………10 分

? 即 2x ( 3 ) 由 ( 1 ) 知 , f ( x) ? x3 ? bx2 ? 2x ? 1 , 则 不 等 式 e t? l n t? 4 ? f ( x) et ? ln t ? x3 ? bx 2 ? 3 ,由题意可知, et ? ln t 的最小值应小于或等于 x3 ? bx 2 ? 3 对任意

-7-

x ?[1,2] 恒成立,
令 h(t ) ? et ? ln t ,则 h '(t ) ? e ? ?

……………12 分

t
h '(t ) h (t )

1 et ? 1 1 ,令 h '(t ) ? 0 ,解得 t ? ,列表如下: t t e 1 1 1 (0, ) ( , ??) e e e
?
?
0 极小值 h( )

?
1 e
?
…………14 分

因此, h(t ) 的最小值为 h( ) ? 1 ? ln ? 2 . 所以 2 ? x3 ? bx 2 ? 3 对任意 x ?[1,2] 恒成立,即 b ? ? 令 g ( x) ? ?

1 e

1 e

x3 ? 1 对任意 x ?[1,2] 恒成立, x2

x3 ? 1 2 ,则 g '( x) ? ?1 ? 3 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 3 2 ,列表如下: 2 x x

x
g '(t )
g (t )

1

(1, 3 2)

3

2
0

( 3 2,2)
?
?

2

?

?2

?

极大值 g ( 3 2)

?

9 4

因此, g ( x) 的最大值为 g ( 3 2) ? ? 3

3 4

??

33 2 33 2 ,所以 b ? ? . …………16 分 2 2

-8-


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