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高二高考圆锥曲线练习题


圆锥曲线精编练习
1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 BC 边上,则△ABC 的周长是 2.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为________ 3.已知椭圆中心在原点, 一个焦点为 F (-2 3 , 0) , 且长轴长是短轴长的 2 倍, 则椭圆的标准方程_______

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为______________ 4. 已知椭圆 2 k ?8 9
5.(1)求经过点 ( ?

3 5 , ) ,且 9 x 2 ? 5 y 2 ? 45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。

6.点 A、B 分别是椭圆 上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标;

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴 36 20

(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值。 7.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
2 2

8.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是

x2 y2 9 椭圆 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 ? 12 3


x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? 10.若椭圆 ,则 m 的值为________ 5 m 5 x2 y2 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3x 的距离为_________ 11..椭圆 4 3
12.与椭圆

x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点 (2, - 3) 的椭圆的标准方程是______________________ 4 3

1

x2 y2 13.椭圆 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4
14. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点 P 到两焦点的距离分别为 在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 , 过 P 点作焦点所 3 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? m ? 6 ? 与曲线 ? ? 1? 5 ? n ? 9 ? 的( 15.曲线 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
A 焦点相同
2 2

) D 焦距相等

B 离心率相等

C 准线相同

16.如果椭圆

x y ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是__________ 25 16

17

离心率 e ?

5 ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是_______________________ 3

x2 y2 18.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 F1 M ? F2 M ? 0 。 a b
求离心率 e 的取值范围

19.给定椭圆中, 过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 , 焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为____ 20.已知 F1、F2 为椭圆

? x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 的弦 AB,则△F2AB 的面积为______ 4 2

21.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 22.椭圆 100 36
24.椭圆

x2 y ? 9? ? ? 1 上不同三点 A?x1,y1 ? , B? 4, ? , C ?x2,y2 ? 与焦点 F ?4, 0? 的距离成等差数列. 25 9 ? 5?

2

求证: x1 ? x2 ? 8 ; 25.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________
2 2

26. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ?3 k ?3

27.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,则此双曲线的离心率为 2

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,则双曲线的标准 28. 已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
方程为
2

29. (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的 标准方程;

9 4

(2)求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, ? 3 点的双曲线方程及离心率. 16 9

?

?

30.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 l 的 a2 b2
4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ?

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 31.双曲线 2 4
32.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为_________________ 33. 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) , P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 , 且 PF 1 ? PF 2 ,

| PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是________________
34. 设 P 是双曲线

x 2 y2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分别是双曲线 a2 9

左右焦点,若 PF 1 =3,则 PF2 =

35.与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程______________ 25 5

36. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 , ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程.

(2)求以曲线 2 x ? y ? 4 x ? 10 ? 0 和 y ? 2 x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双
2 2 2

曲线的标准方程.

3

x2 y2 37.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到直线 l 的距离 a b


3 c ,求双曲线的离心率. 4

38.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m? 在双曲线上,求证: MF 1 ? MF 2 ? 0; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1MF2 的面积. 39.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是 y =16x或x ? ?8 y
2 2

?

?

???? ? ???? ?

40 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4 6 2

41.抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是__(a,0)_ 42.抛物线 y 2 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6, 6 2

?

?

43.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值

2
44. 给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0) ,a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求 d 的最小值.

45.如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的 距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, AM ? 坐标系,求曲线段 C 的方程.

7 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的

46.抛物线 x ?
2

y2 的准线方程是 8

47.抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是

48.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐
2

标为
4

49.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是_________ 50.若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长为 4, 则 a=_______ 51.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长 . 52.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. (1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切.

53.抛物线 y 2 ? 6 x 的焦点的坐标是___________,准线方程是________________ 54..如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 间的距离是

2 x ,那么它的两条准线

55.若双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m =__________ 3 m

56.点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线: x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是

57.已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,两条准线间的距离为 58.已知点 A?3, 0? , F ?2, 0? ,在双曲线 x ?
2

16 13 ,求双曲线标准方程. 13

1 y2 ? 1 上求一点 P ,使 PA ? PF 的值最小. 2 3

59.若双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m ? ____________ 3 m

60.已知双曲线

x2 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为_______________ 2 2 a

61

双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为 16 9

62. 给出下列四个结论: ①当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 且焦点在 y 轴上的抛物线的标 准方程是 x ?
2

4 y; 3

5

x2 y2 ②已知双曲线的右焦点为(5,0) ,一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则双曲线的标准方程是 ? ? 1; 5 20
③抛物线 y ? ax (a ? 0)的准线方程为 y ? ?
2

1 ; 4a

④已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) 。 4 m

其中所有正确结论的个数是

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率 63.设双曲线以椭圆 25 9


x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 64.如果椭圆 36 9 ??? ? ??? ? 2 65. 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是热线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0). 过 A、B 两点分别作
抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。

???? ? ??? ?

66.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y ? 4 x 的准线重合,则该双曲线与
2

抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 21 67.设 F1,F2 分别是双曲线 x ?
2

???? ???? ? ???? ???? ? y2 PF ? PF ? 1的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF , 则 ? PF ? 0 1 2 ? 1 2 9

68.设 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最小值是__________ 9 4

69.已知以 F1(2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 __________________

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同, 70. 双曲线 C 与椭圆 离心率互为倒数, 则双曲线 C 的渐近线的方程是___________ 49 24
71.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 在第一象限内的交点为 P ,则点 P 到椭圆右焦点的距离等 25 9 9 7

于___________
6

x2 y2 72.如图,点 A 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A 作斜率为 1 的直线交 a b
椭圆于 B 点,点 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴, AB ? AP =9,若点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程.

y

P O A

B x

73.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点

O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .求圆 C 的方程. a2 9

p ?p ? 74.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 ,求动圆圆心 C 的轨迹的方程. 2 ?2 ?

7


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