kl800.com省心范文网

上海市金山中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

金山中学 2014 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷
(考试时间:90 分钟 满分:100 分 ) 一、填空题(本题共 36 分)

2n ? _______ . 4n ? 1 2. 已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 35, d ? ?2, S n ? 0 ,则 n ?
1. 计算: lim
n??

. .

a 3. 在等比数列 ?an ? 中, a3 a8 a13 ? 1024,则 9 的值为 a10
3

2

4. 已知 ?an ? 是等差数列, Sn 是其前 n 项和, S11 ? 5. 函数 y ? arccos x 在 x ? [ ?1, ] 的值域是

33 ? ,则 tana6 = 4
.

.

1 2

6. 数列 {an } 中, 则 {an } 的前 2015 项和 S 2015 = a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? an?1 ? an , 7. 在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4, a3 ? 15 ,且数列 {an ? n} 是等比数列,则 an ? 8. 执行右边的程序框图,若 p ? 7 ,则输出的 s ? .

. .

开始 输入P n=1,S=0

9.函数 y ? sin

x x ? cos 在 (?2? ,2? ) 内的单调递增区间为 2 2

.

? 10. 在 ?ABC 中,已知 B ? 60 , c ? 2 , 1 ? a ? 4 ,则 sin C 的取值

范围是

.

? 11.在等腰直角 ?ABC 中, ?A ? 90 , BC ? 6 , ?ABC 中排

n<p
是 n=n+1



列着内接正方形,如图所示,若正方形的面积依次为
? ,其中 n ? N , S1 , S2 ,?, Sn ,? (从大到小)

输出S

则 lim ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ? ? _______ .
n ??

A S2

S=S+1/n(n+1)

结束

[Z-xk.Com]

S1

B
n ?

C

12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1, a2 ? a1, an ?1 ? an ? 2 (n ? N ) ,若数列 ?a2 n ?1?单调递减, 数列 ?a2 n ?单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? . 二、选择题(本题共 12 分)

1

2 2 2 13 . 在 ?ABC 中 , 若 sin A ? sin B ? sin C , 则 ?ABC 的 形 状 是

(

) A.锐角三角形

B.直角三角形
2 n ?1

C.钝角三角形

D.不能确定

14. 利用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a ? ? ? a 成 ( A. 1 立 ) 时 ,

1 ? a n?2 ? (a ? 1,n ? N ? ) ” ,在验证 n ? 1 1? a
号 左 边 是



B. 1 ? a

C. 1 ? a ? a

2

D. 1 ? a ? a ? a
2

3

15.在等差数列 ?an ? 中,若 最 ( A. 11 小 )

a11 ? ?1 ,且 ?an ? 的前 n 项和 Sn 有最小值,则使得 Sn ? 0 的 a10
值 C. 20

n
D. 21



B. 19

16. 有穷数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2015 中的每一项都是 ? 1 ,0,1 这三个数中的某一个数, 若 a1 + a2 + a3 +?+ a2015 =425,且 (a1 ? 1) 2 + (a2 ? 1) 2 + (a3 ? 1) 2 +?+ (a2015 ? 1) 2 =3870, 则 有 穷 数 列 a1 , a2 , a3 , ? , a2015 中 值 为 ( ) A. 1000 B. 1010 C. 1015 D. 1030 0 的 项 数 是

三、解答题 17. (本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 c ? 6, sin(A ? B) ? sin(A ? B)

? sin A . (1)求 B 的大小;
(2)若 b ? 2 7 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分. 已知 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? cos( ?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) , f (0) ? 0 , 且函数 f ( x)

2

图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是 (1)求 f ( ) 的值;

?

? . 2

(2)将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 的 解析式,并求 g ( x) 在 x ? [

8

? ?

, ] 上的最值. 6 2

[Z-XK]

19. (本题满分 10 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? (1)求证:数列 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1,2,? . 5 2an ? 1

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ? 1 1 1 (2) 记 Sn ? ? ? ? ? ,若 Sn ? 100,求最大正整数 n . a1 a2 an

20. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 在上海自贸区的利好刺激下, A 公司开拓国际市场,基本形成了市场规模;自 2014 年 1 月以来的第 n 个月(2014 年 1 月为第一个月)产品的内销量 、出口量 和销售总量 (销售总 ... ... .... 量=内销量 ? 出口量)分别为 bn 、 cn 和 an (单位:万件) ,依据销售统计数据发现形成如 下营销趋势:bn?1 ? a ? an , cn?1 ? an ? ban 2 (其中 a , b 为常数, n ? N ) ,已知 a1 ? 1 万件,
?

a2 ? 1.5 万件, a3 ? 1.875 万件. (1)求 a , b 的值,并写出 an ?1 与 an 满足的关系式;
3

(2)证明: an 逐月递增且控制在 2 万件内.

21. (本题满分 14 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 5 分. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,公比为 q(q ? 1) . (1)若 S4 , S12 , S8 成等差数列,求证: a10 , a18 , a14 成等差数列; (2)若 Sm , Sk , S( an ? 中是否存在不同的 t m, k , t 为互不相等的正整数)成等差数列,试问数列 ? 三项成等差数列?若存在,写出两组这三项;若不存在,请说明理由; (3)若 q 为大于 1 的正整数.试问 ?an ? 中是否存在一项 ak ,使得 ak 恰好可以表示为该数列中 连续两项的和?请说明理由.

3
4

金山中学 2014 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷参考答案 一、填空题(本题共 36 分)

2n 1 ? _______ . n ?? 4n ? 1 2 2. 已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 35, d ? ?2, S n ? 0 ,则 n ?
1. 计算: lim
2

.36

3. 4. 5. 6.

a 在等比数列 ?an ? 中, a3 a8 a13 ? 1024,则 9 的值为 .4 a10 33 ? ,则 tana6 = 已知 ?an ? 是等差数列, Sn 是其前 n 项和, S11 ? 4 1 ? 函数 y ? arccos x 在 x ? [ ?1, ] 的值域是 .[ ,? ] 2 3 数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? an?1 ? an ,则 {an } 的前 2015 项和
3

.-1

7. 在 数 列 ?an ? 中 , 已 知 a2 ? 4, a3 ? 15 , 且 数 列 {an ? n} 是 等 比 数 列 , 则

S 2015 =

.1 .2?3
n ?1

an ?

?n
3 . 8

开始 输入P n=1,S=0

8. 执行右边的程序框图,若 p ? 7 ,则输出的 s ?

x x 9.函数 y ? sin ? cos 在 (?2? ,2? ) 内的单调递增区 2 2 3? ? , ] 间为 . [? 2 2 10. 在 ?ABC 中,已知 B ? 60? , c ? 2 , 1 ? a ? 4 ,则 sin C 的 1 取值范围是 . [ ,1] 2 ? 11.在等腰直角 ?ABC 中, ?A ? 90 , BC ? 6 , ?ABC 中
排列着内接正方形,如图所示,若正方形的面积依次为
? ,其中 n ? N ,则 S1 , S2 ,?, Sn ,? (从大到小) 9 A lim ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ? ? _______ . n ?? 2

n<p
是 n=n+1



输出S

S=S+1/n(n+1)

结束

S2

S1

B

C

12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1, a2 ? a1, an ?1 ? an ? 2 (n ? N ) ,若数列 ?a2 n ?1?单调递减,
n ?

数列 ?a2 n ?单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 二、选择题(本题共 12 分)



( ?2) n ? 1 3

2 2 2 13 . 在 ?ABC 中 , 若 sin A ? sin B ? sin C , 则 ?ABC 的 形 状 是 ( D )

5

A.锐角三角形

B.直角三角形
2 n ?1

C.钝角三角形

D.不能确定

14. 利用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a ? ? ? a 成 ( C A. 1 立 ) 时 B. 1 ? a ,

?

1? a (a ? 1,n ? N ? ) ” ,在验证 n ? 1 1? a

2

n?2

等 C. 1 ? a ? a




2 3



D. 1 ? a ? a ? a

15.在等差数列 ?an ? 中,若

最 ( C ) A. 11 B. 19 C. 20 D. 21 16. 有穷数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2015 中的每一项都是 ? 1 ,0,1 这三个数中的某一个数,
2 2

a11 ? ?1 ,且 ?an ? 的前 n 项和 Sn 有最小值,则使得 Sn ? 0 的 a10 小 值 为 n

若 a1 + a2 + a3 +?+ a2015 =425,且 (a1 ? 1) + (a2 ? 1) + (a3 ? 1) 2 +?+ (a2015 ? 1) 2 =3870, 则 有 穷 数 列 a1 , a2 , a3 , ? , a2015 中 值 为 0 的 项 数 是 ( B ) A. 1000 B. 1010 C. 1015 D. 1030 三、解答题 17. (本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 c ? 6, sin(A ? B) ? sin(A ? B)

? sin A . (1)求 B 的大小;
(2)若 b ? 2 7 ,求 ?ABC 的面积. 解: (1) 2 sin A cos B ? sin A ? cos B ? (2)? b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

1 或 sin A ? 0(舍) ,? 2

B?

?
3

? 28 ? a 2 ? 36 ? 2a ? 6 ?

1 2 ,即 a ? 6a ? 8 ? 0 ,? a ? 2或a ? 4 2 1 1 当 a ? 2 时, S ? ac sin B ? 3 3 ;当 a ? 4 时, S ? ac sin B ? 6 3 2 2

18. (本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分. 已知 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? cos( ?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? 图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是 (2)将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 在 x ?[

?
2

) , f (0) ? 0 , 且函数 f ( x)

, ] 上的最值并求取得最值时的 x 的值. 6 2 ? 2? ?? ?? ? 2 解: (1) f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ? ), T ? ? ,? 4 ? ? f (0) ? 2 sin(? ?

? ?

? 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 6

? ? .(1)求 f ( ) 的值; 8 2

?
4

) ? 0?? ? ?

?
4



? f ( x) ? 2 sin(2x)



6

? f ( ) ? 2 sin ? 1 8 4
( 2 ) g ( x) ?

?

?

2 sin 2( x ? 6

?
6

) ? 2 sin 2 x ?

?

? 当x ?

?

时, g ( x) min ? 0 ; 当x ?

5? 时, g ( x) max ? 2 12

? ? ? 2? ) , ? x ? [ , ],? 2 x ? ? [0, ] , 3 6 2 3 3

19. (本题满分 10 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? (1)求证:数列 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1,2,? . 5 2an ? 1

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ? 1 1 1 (2) 记 Sn ? ? ? ? ? ,若 Sn ? 100,求最大正整数 n . a1 a2 an 1 2 1 1 1 1 1 1 解: (1)? ? ? ,? ?1 ? ? ,且? ? 1 ? 0,? ? 1 ? 0(n ? N ? ) an ?1 3 3an an ?1 3an 3 a1 an ?1 ? ? 数列 ? ? 1? 为等比数列. ? an ? 1 2 1 1 1 (2)由(1)可求得 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ,? ? 2 ? ( ) n ? 1 . an 3 3 an 3

1 1 ? n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? ? ? ? ? ? n ? 2( ? 2 ? ? ? n ) ? n ? 2 ? 3 3 ? n ? 1 ? n 1 a1 a2 an 3 3 3 3 1? 3 1 若 Sn ? 100 , 则 n ? 1 ? n ? 100 ,? nmax ? 99 3
20. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 在上海自贸区的利好刺激下, A 公司开拓国际市场,基本形成了市场规模;自 2014 年 1 月以来的第 n 个月(2014 年 1 月为第一个月)产品的内销量 、出口量 和销售总量 (销售总 ... ... .... 量=内销量 ? 出口量)分别为 bn 、 cn 和 an (单位:万件) ,依据销售统计数据发现形成如 下营销趋势:bn?1 ? a ? an , cn?1 ? an ? ban 2 (其中 a , b 为常数, n ? N ) ,已知 a1 ? 1 万件,
?

a2 ? 1.5 万件, a3 ? 1.875 万件. (1)求 a , b 的值,并写出 an ?1 与 an 满足的关系式; (2)证明: an 逐月递增且控制在 2 万件内.
解: (1)依题意: an?1 ? bn?1 ? cn?1 ? aan ? an ? ban ,
2

∴ a2 ? aa1 ? a1 ? ba1 ,∴ a ? 1 ? b ?
2
2

3 ?????① 2

又 a3 ? aa2 ? a2 ? ba2 ,
2

3 3 ? 3 ? 15 a ? ? b ? ? ? ?????② 2 2 8 ?2? 1 2 从而 an ?1 ? 2an ? an 2


解①②得 a ? 1, b ? ?

1 2

7

(2)由于 an ?1 ? 2an ?

1 2 1 2 an ? ? ? an ? 2 ? ? 2 ? 2 .但 an?1 ? 2 ,否则可推得 a1 ? a2 ? 2 2 2 1 2 1 矛盾. 故 an?1 ? 2 , 于是 an ? 2 . 又 an ?1 ? an ? ? an ? 2an ? an ? ? an ? an ? 2 ? ? 0 , 2 2 所以 an?1 ? an 从而 an ? an?1 ? 2 .

21. (本题满分 14 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 5 分. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,公比为 q(q ? 1) . (1)若 S4 , S12 , S8 成等差数列,求证: a10 , a18 , a14 成等差数列; (2)若 Sm , Sk , S( an ? 中是否存在不同的 t m, k , t 为互不相等的正整数)成等差数列,试问数列 ? 三项成等差数列?若存在,写出两组这三项;若不存在,请说明理由; (3)若 q 为大于 1 的正整数.试问 ?an ? 中是否存在一项 ak ,使得 ak 恰好可以表示为该数列中 连续两项的和?请说明理由. 解 :(1) 若 S4 , S12 , S8 成 等 差 数 列 , 则

2S12 ? S4 ? S8

,



2a1 (1 ? q12 ) a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q8 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 12 4 8 8 4 ? 2q ? q ? q ,? 2q ? 1 ? q , 又 2a18 ? (a10 ? a14 ) ? 2a1q17 ? (a1q9 ? a1q13 ) ? a1q9 (2q8 ? 1 ? q4 ) ? 0 ? 2a18 ? a10 ? a14 ,即 a10 , a18 , a14 成等差数列. 2a1 (1 ? q k ) a1 (1 ? q m ) a1 (1 ? qt ) ? ? 1? q 1? q 1? q k m t k m t ? 2q ? q ? q ,? 2a1q ? a1q ? a1q ,则 am?1, ak ?1, at ?1 成等差数列;
(2)若 Sm , Sk , St 成等差数列,则 2Sk ? Sm ? St ,即

am ? 2 , ak ? 2 , at ? 2 成等差数列. am?l , ak ?l , at ?l (l ? N ? ) 成等差数列.
(3)假设存在 ak 一项符合题意,设 ak ? an ? an ?1 (n ? N ? ) ,? a1qk ?1 ? a1qn ?1 ? a1qn

? qk ? qn ? qn ?1 ,? q ? 1 ,? qn ?1 ? 1 ,? qk ? qn ,即 k ? n .? q k ? n ? 1 ? q 当 q 为偶数时, q k ? n 为偶数,而 1 ? q 为奇数,假设不成立; 当 q 为奇数时, q k ? n 为奇数,而 1 ? q 为偶数,假设不成立. 综上, ?an ? 中是不存在 ak ,使得 ak 恰好可以表示为该数列中连续两项的和.

8